例 2 和例 3 是一种用初等行变换求\(A^-1\)或\(A^{-1}B\)的方法，当\(A\)为 3 阶或更高阶的矩阵时，求\(A^-1\)或\(A^{-1}B\)通常都用此方法，这是当\(A\)为可逆矩阵时，求解方\(AX=B\)的方法( 求\(A^-1\)也就是求方程\(AX=E\)的解 ).这方法就是把方程\(AX=B\) 的增广矩阵\((A,B)\)化为行最简形矩阵，从而求得方程的解.特别地，求解线性方程组 \(Ax=b(A\) 为可逆矩阵)时把增广矩阵\((A,b)\)化为行最简形矩阵，其最后一列就是解向量，从而得到了一个求解线性方程组的新途径.
定理 1 把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到初等变换的运算规律，也可以利用矩阵的初等变换去研究矩阵的乘法.下面先给出定理1 的一个推论，然后介绍一种利用初等变换求逆阵
的方法.
推论 方阵\(A\)可逆的充分必要条件是\(A\xrightarrow{\prime}E.\)
证 \(A\) 可逆\(\Leftrightarrow\)存在可逆矩阵 \(P\),使 \(PA=E\)
\(\Leftrightarrow A\sim E.\)
证毕
定理 1 表明，如果\(A\) \(\overset{\prime}{\operatorname*{\sim}}B\) ,即\(A\)经一系列初等行变换变为\(B\) ,则有可逆矩阵
\(P\),使\(PA=B.\)那么，如何去求出这个可逆矩阵\(P?\)
由于\(PA= B\Leftrightarrow \begin{cases} PA= B\\ PE= P& \end{cases} , \Leftrightarrow P(\) \(A\) \(, E\) )= ( \(B\) \(, P\) \() \Leftrightarrow (\) \(A\) \(, E\) \() \overset {\prime }{\operatorname* { \sim } }(\) \(B\) \(, P\) ),因此，如果
对矩阵\((A,E)\)作初等行变换，那么，当把\(A\) 变为 \(B\) 时\(,E\) 就变为 \(P.\) 于是就得到
所求的可逆矩阵\(P.\)
矩阵的初等变换与标准形
定义
行阶梯形矩阵：
非零行在零行的上面。
非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面。
行最简形矩阵：
满足行阶梯形矩阵的条件。
非零行的首非零元为1。
首非零元所在的列的其他元均为0。
归纳法证明
对于任何非零矩阵 \( A \)，总可经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
行最简形矩阵的应用
利用初等行变换，把一个矩阵化为行最简形矩阵，是一种很重要的运算。由引例可知，要解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵。由行最简形矩阵 \( B \)，即可写出方程组的解；反之，由方程组的解也可写出矩阵 \( B \)。由此可猜想到一个矩阵的行最简形矩阵是惟一确定的（行阶梯形矩阵中非零行的行数也是惟一确定的）。
标准形矩阵
对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形。例如： \( F = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{m \times n} \) 其中 \( E_r \) 是 \( r \times r \) 的单位矩阵，\( O \) 是零矩阵。
标准形矩阵的特点
\( F \) 的左上角是一个单位矩阵，其余元全为0。
对于 \( m \times n \) 矩阵 \( A \)，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形 \( F \)。
此标准形由 \( m, n, r \) 三个数完全确定，其中 \( r \) 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。
定理1
设 \( A \) 与 \( B \) 为 \( m \times n \) 矩阵，那么：
(i) \( A \sim B \) 的充分必要条件是存在 \( m \) 阶可逆矩阵 \( P \)，使 \( PA = B \);
(ii) \( A \sim B \) 的充分必要条件是存在 \( n \) 阶可逆矩阵 \( Q \)，使 \( AQ = B \);
(iii) \( A \sim B \) 的充分必要条件是存在 \( m \) 阶可逆矩阵 \( P \) 及 \( n \) 阶可逆矩阵 \( Q \)，使 \( PAQ = B \).
总结
矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，为探讨它的应用，需要研究它的性质。定理1给出了矩阵等价的充分必要条件，通过初等变换可以将矩阵化为标准形，标准形是等价矩阵集合中形状最简单的矩阵。
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
概述
本章主要内容包括：
引进矩阵的初等变换。
建立矩阵的秩的概念。
利用初等变换讨论矩阵的秩的性质。
利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的充分必要条件。
介绍用初等变换解线性方程组的方法。
§1 矩阵的初等变换
引言
矩阵的初等变换在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中起重要作用。为引入矩阵的初等变换，先分析用消元法解线性方程组的例子。
引例：求解线性方程组
\( \begin{cases} 2x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 2, & \text{①} \\ x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 4, & \text{②} \\ 4x_1 - 6x_2 + 2x_3 - 2x_4 = 4, & \text{③} \\ 3x_1 + 6x_2 - 9x_3 + 7x_4 = 9. & \text{④} \end{cases} \)
解法步骤
初始方程组： \( \begin{array}{ccc} x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 4, & ① \\ 2x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 2, & ② \\ 2x_1 - 3x_2 + x_3 - x_4 = 2, & ③ \\ 3x_1 + 6x_2 - 9x_3 + 7x_4 = 9, & ④ \\ \end{array} \)
消元过程：
保留 \( x_1 \) 并消去其他方程中的 \( x_1 \)： \( \begin{array}{ccc} x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 4, & ① \\ 2x_2 - 2x_3 + 2x_4 = 0, & ② \\ -5x_2 + 5x_3 - 3x_4 = -6, & ③ \\ 3x_2 - 3x_3 + 4x_4 = -3, & ④ \\ \end{array} \)
保留 \( x_2 \) 并消去其他方程中的 \( x_2 \)： \( \begin{array}{ccc} x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 4, & ① \\ x_2 - x_3 + x_4 = 0, & ② \\ 2x_4 = -6, & ③ \\ x_4 = -3, & ④ \\ \end{array} \)
矩阵的初等变换
在上述消元过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算。因此，如果记方程组(1)的增广矩阵为： \( B = (A, b) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9 \\ \end{pmatrix} \) 那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 \( B \) 的变换。
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
对换两行（对换 \( i, j \) 两行，记作 \( r_i \leftrightarrow r_j \)）。
以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元（第 \( i \) 行乘 \( k \) 记作 \( r_i \times k \)）。
把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去（第 \( j \) 行的 \( k \) 倍加到第 \( i \) 行上，记作 \( r_i + k r_j \)）。
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）。
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。
初等变换的可逆性
三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换：
变换 \( r_i \leftrightarrow r_j \) 的逆变换就是其本身。
变换 \( r_i \times k \) 的逆变换为 \( r_i \times \left( \frac{1}{k} \right) \)（或记作 \( r_i \div k \)）。
变换 \( r_i + k r_j \) 的逆变换为 \( r_i - k r_j \)（或记作 \( r_i - k r_j \)）。
矩阵的等价关系
如果矩阵 \( A \) 经有限次初等行变换变成矩阵 \( B \)，就称矩阵 \( A \) 与 \( B \) 行等价，记作 \( A \sim B \)；如果矩阵 \( A \) 经有限次初等列变换变成矩阵 \( B \)，就称矩阵 \( A \) 与 \( B \) 列等价，记作 \( A \sim B \)；如果矩阵 \( A \) 经有限次初等变换变成矩阵 \( B \)，就称矩阵 \( A \) 与 \( B \) 等价，记作 \( A \sim B \)。
矩阵之间的等价关系具有下列性质：
反身性：\( A \sim A \)。
对称性：若 \( A \sim B \)，则 \( B \sim A \)。
传递性：若 \( A \sim B, B \sim C \)，则 \( A \sim C \)。
扩展讲解
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本操作，主要用于简化矩阵的结构，从而更容易求解线性方程组、求逆矩阵等问题。初等变换包括三种基本操作：
对换两行：交换矩阵中的两行，记作 \( r_i \leftrightarrow r_j \)。
以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元：将矩阵的某一行乘以一个非零常数 \( k \)，记作 \( r_i \times k \)。
把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去：将矩阵的某一行乘以 \( k \) 后加到另一行上，记作 \( r_i + k r_j \)。
这些操作同样可以应用于列，称为初等列变换，记号为 \( c_i \leftrightarrow c_j \)、\( c_i \times k \)、\( c_i + k c_j \)。
初等变换的可逆性
初等变换是可逆的，即每种初等变换都有其逆变换：
对换两行的逆变换是其本身。
以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元的逆变换是乘以 \( \frac{1}{k} \)。
把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去的逆变换是减去 \( k \) 倍。
矩阵的等价关系
如果矩阵 \( A \) 可以通过有限次初等变换变成矩阵 \( B \)，则称 \( A \) 与 \( B \) 等价，记作 \( A \sim B \)。等价关系具有以下性质：
反身性：任何矩阵都与自身等价，即 \( A \sim A \)。
对称性：如果 \( A \sim B \)，则 \( B \sim A \)。
传递性：如果 \( A \sim B \) 且 \( B \sim C \)，则 \( A \sim C \)。
应用
初等变换在解线性方程组、求逆矩阵、矩阵的秩等方面有广泛应用。例如，通过初等变换可以将一个矩阵化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，从而更容易分析矩阵的性质和求解相关问题。
选择题
矩阵的初等变换不包括以下哪种操作？
A. 对换两行
B. 以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元
C. 把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去
D. 以数 \( k = 0 \) 乘某一行中的所有元
答案：D
解释：初等变换中，以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元，而 \( k = 0 \) 不符合条件。
矩阵的初等行变换中，对换两行的逆变换是什么？
A. 对换两行
B. 以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元
C. 把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去
D. 以数 \( k = 0 \) 乘某一行中的所有元
答案：A
解释：对换两行的逆变换是其本身。
矩阵的初等行变换中，以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元的逆变换是什么？
A. 以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元
B. 以数 \( \frac{1}{k} \) 乘某一行中的所有元
C. 把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去
D. 以数 \( k = 0 \) 乘某一行中的所有元
答案：B
解释：以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元的逆变换是乘以 \( \frac{1}{k} \)。
矩阵的初等行变换中，把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去的逆变换是什么？
A. 把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去
B. 把某一行所有元的 \( -k \) 倍加到另一行对应的元上去
C. 以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元
D. 以数 \( k = 0 \) 乘某一行中的所有元
答案：B
解释：把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去的逆变换是减去 \( k \) 倍。
矩阵的等价关系具有以下哪种性质？
A. 反身性
B. 对称性
C. 传递性
D. 以上都是
答案：D
解释：矩阵的等价关系具有反身性、对称性和传递性。
如果矩阵 \( A \) 经有限次初等行变换变成矩阵 \( B \)，则称矩阵 \( A \) 与 \( B \) 什么关系？
A. 行等价
B. 列等价
C. 等价
D. 相似
答案：A
解释：如果矩阵 \( A \) 经有限次初等行变换变成矩阵 \( B \)，则称矩阵 \( A \) 与 \( B \) 行等价。
如果矩阵 \( A \) 经有限次初等列变换变成矩阵 \( B \)，则称矩阵 \( A \) 与 \( B \) 什么关系？
A. 行等价
B. 列等价
C. 等价
D. 相似
答案：B
解释：如果矩阵 \( A \) 经有限次初等列变换变成矩阵 \( B \)，则称矩阵 \( A \) 与 \( B \) 列等价。
如果矩阵 \( A \) 经有限次初等变换变成矩阵 \( B \)，则称矩阵 \( A \) 与 \( B \) 什么关系？
A. 行等价
B. 列等价
C. 等价
D. 相似
答案：C
解释：如果矩阵 \( A \) 经有限次初等变换变成矩阵 \( B \)，则称矩阵 \( A \) 与 \( B \) 等价。
矩阵的初等变换中，以下哪种操作是不可逆的？
A. 对换两行
B. 以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元
C. 把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去
D. 以数 \( k = 0 \) 乘某一行中的所有元
答案：D
解释：以数 \( k = 0 \) 乘某一行中的所有元是不可逆的，因为无法通过乘以非零数恢复原矩阵。
矩阵的初等变换中，以下哪种操作是对称的？
A. 对换两行
B. 以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元
C. 把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去
D. 以数 \( k = 0 \) 乘某一行中的所有元
答案：A
解释：对换两行的操作是对称的，因为交换两次后矩阵恢复原状。
矩阵的初等变换中，以下哪种操作是线性的？
A. 对换两行
B. 以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元
C. 把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去
D. 以上都是
答案：D
解释：所有初等变换都是线性的，因为它们保持矩阵的线性结构。
矩阵的初等变换中，以下哪种操作不改变矩阵的秩？
A. 对换两行
B. 以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元
C. 把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去
D. 以上都是
答案：D
解释：所有初等变换都不改变矩阵的秩。
矩阵的初等变换中，以下哪种操作不改变矩阵的行列式？
A. 对换两行
B. 以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元
C. 把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去
D. 以上都不是
答案：C
解释：把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去不改变矩阵的行列式。
矩阵的初等变换中，以下哪种操作会改变矩阵的行列式？
A. 对换两行
B. 以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元
C. 把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去
D. 以上都不是
答案：A
解释：对换两行会改变矩阵的行列式，使其符号相反。
矩阵的初等变换中，以下哪种操作会改变矩阵的行列式？
A. 对换两行
B. 以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元
C. 把某一行所有元的 \( k \) 倍加到另一行对应的元上去
D. 以上都不是
答案：B
解释：以数 \( k \neq 0 \) 乘某一行中的所有元会改变矩阵的行列式，使其乘以 \( k \)。
矩阵 \( B_4 \) 和 \( B_5 \) 的特点是: 都可画出一条从第一行某元左方的竖线开始到最后一列某元下方的横线结束的阶梯线, 它的左下方的元全为0; 每段竖线的高度为一行, 竖线的右方的第一个元为非零元, 称为该非零行的首非零元。具有这样特点的矩阵称为行阶梯形矩阵。为明确起见给出如下定义:
定义2
(1) 非零矩阵若满足 (i) 非零行在零行的上面; (ii) 非零行的首非零元所在列在上一行(如果存在的话)的首非零元所在列的右面, 则称此矩阵为行阶梯形矩阵;
(2) 进一步, 若 \( A \) 是行阶梯形矩阵, 并且还满足: (i) 非零行的首非零元为1; (ii) 首非零元所在的列的其他元均为0, 则称 \( A \) 为行最简形矩阵。
于是 \( B_4 \) 和 \( B_5 \) 都是行阶梯形矩阵, 且 \( B_5 \) 还是行最简形矩阵。
用归纳法不难证明(这里不证): 对于任何非零矩阵 \( A_{m \times n} \), 总可经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
利用初等行变换, 把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 是一种很重要的运算。由引例可知, 要解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵。
由于最简形矩阵 \( B_3 \), 即可写出方程组的解(2); 反之, 由于方程组的解(2)也可写出矩阵 \( B_3 \), 由此可猜想到一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的(行阶梯形矩阵中非零行的行数也是唯一确定的)。
对行最简形矩阵再施以初等列变换, 可变成一种形状更简单的矩阵, 称为标准形。例如
\( B_s = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{s=2s+1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = F, \)
矩阵 \( F \) 称为矩阵 \( B \) 的标准形, 其特点是: \( F \) 的左上角是一个单位矩阵, 其余元全为 0。
对于 \( m \times n \) 矩阵 \( A \), 总可经过初等变换(行变换和列变换)把它化为标准形
\( F = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{m \times n}, \)
此标准形由 \( m, n, r \) 三个数完全确定, 其中 \( r \) 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。
所有与 \( A \) 等价的矩阵组成一个集合, 标准形 \( F \) 是这个集合中形状最简单的矩阵。
矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算, 为探讨它的应用, 需要研究它的性质。下面介绍它的一个最基本的性质。
定理1
设 \( A \) 和 \( B \) 为 \( m \times n \) 矩阵, 则
(i) \( A \sim B \) 的充分必要条件是存在 \( m \) 阶可逆矩阵 \( P \), 使 \( PA = B \);
(ii) \( A \sim B \) 的充分必要条件是存在 \( n \) 阶可逆矩阵 \( Q \), 使 \( AQ = B \);
(iii) \( A \sim B \) 的充分必要条件是存在 \( m \) 阶可逆矩阵 \( P \) 和 \( n \) 阶可逆矩阵 \( Q \), 使 \( PAQ = B \)。
定义3
由单位矩阵 \( E \) 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应有三种初等矩阵:
(i) 把单位矩阵中第 \( i, j \) 两行对换(或第 \( i, j \) 两列对换), 得初等矩阵
\( E(i,j) = \begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 0 & \cdots & 1 & \\ & & \vdots & \ddots & \vdots & \\ & & 1 & \cdots & 0 & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} \)
用 \( m \) 阶初等矩阵 \( E_m(i,j) \) 左乘矩阵 \( A = (a_{ij})_{m \times n} \), 得
\( E_m(i,j)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \)
其结果相当于对矩阵 \( A \) 施行第一种初等行变换: 把 \( A \) 的第 \( i \) 行与第 \( j \) 行交换 (\( r_i \leftrightarrow r_j \))。类似地, 以 \( n \) 阶初等矩阵 \( E_n(i,j) \) 右乘矩阵 \( A \), 其结果相当于对矩阵 \( A \) 施行第一种初等列变换: 把 \( A \) 的第 \( i \) 列与第 \( j \) 列交换 (\( c_i \leftrightarrow c_j \))。
(ii) 以数 \( k \neq 0 \) 乘单位矩阵的第 \( i \) 行(或第 \( i \) 列), 得初等矩阵
\( E(i(k)) = \begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & k & & \\ & & & & 1 & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} \)
可以验知: 以 \( E_m(i(k)) \) 左乘矩阵 \( A \), 其结果相当于以数 \( k \) 乘 \( A \) 的第 \( i \) 行 (\( r_i \times k \)); 以 \( E_n(i(k)) \) 右乘矩阵 \( A \), 其结果相当于以数 \( k \) 乘 \( A \) 的第 \( i \) 列 (\( c_i \times k \))。
(iii) 以 \( k \) 乘单位矩阵的第 \( j \) 行加到第 \( i \) 行上或以 \( k \) 乘单位矩阵的第 \( i \) 列加到第 \( j \) 列上, 得初等矩阵
\( E(i,j(k)) = \begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & k & 1 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 1 \end{pmatrix} \)
可以验知: 以 \( E_m(i,j(k)) \) 左乘矩阵 \( A \), 其结果相当于把 \( A \) 的第 \( j \) 行乘 \( k \) 加到第 \( i \) 行上 (\( r_i + kr_j \)); 以 \( E_n(i,j(k)) \) 右乘矩阵 \( A \), 其结果相当于把 \( A \) 的第 \( i \) 列乘 \( k \) 加到第 \( j \) 列上 (\( c_j + kc_i \))。
性质1
设 \( A \) 是一个 \( m \times n \) 矩阵, 对 \( A \) 施行一次初等行变换, 相当于在 \( A \) 的左边乘相应的 \( m \) 阶初等矩阵; 对 \( A \) 施行一次初等列变换, 相当于在 \( A \) 的右边乘相应的 \( n \) 阶初等矩阵。
显然初等矩阵都是可逆的, 且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵: \( E(i,j)^{-1} = E(i,j) \), \( E(i(k))^{-1} = E(i\left(\frac{1}{k}\right)) \), \( E(i,j(k))^{-1} = E(i,j(-k)) \)。
性质2
方阵 \( A \) 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 \( P_1, P_2, \cdots, P_l \), 使 \( A = P_1P_2 \cdots P_l \)。
推论
方阵 \( A \) 可逆的充分必要条件是 \( A \sim E \)。
定理1的证明
(1) 依据 \( A \sim B \) 的定义和初等矩阵的性质, 有
\( A \sim B \Leftrightarrow A \) 经有限次初等行变换变成 \( B \)
\(\Leftrightarrow\) 存在有限个 \( m \) 阶初等矩阵 \( P_1, P_2, \cdots, P_l \), 使 \( P_1P_2 \cdots P_l A = B \)
\(\Leftrightarrow\) 存在 \( m \) 阶可逆矩阵 \( P \), 使 \( PA = B \)。
类似可证明 (ii) 和 (iii)。 证毕
定理1表明, 如果 \( A \sim B \), 即 \( A \) 经一系列初等行变换变为 \( B \), 则有可逆矩阵 \( P \), 使 \( PA = B \)。那么, 如何去求出这个可逆矩阵 \( P \)?
由于 \( PA = B \Leftrightarrow PA = B, PB = P \Leftrightarrow P(A, E) = (B, P) \Leftrightarrow (A, E) \sim (B, P) \), 因此, 如果对矩阵 \( (A, E) \) 作初等行变换, 那么, 当把 \( A \) 变为 \( B \) 时, \( E \) 就变为 \( P \)。于是就得到所求的可逆矩阵 \( P \)。
例1
设 \( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 4 & -6 & 2 \end{pmatrix} \) 的行最简形矩阵为 \( F \), 求 \( F \), 并求一个可逆矩阵 \( P \), 使 \( PA = F \)。
解
把 \( A \) 用初等行变换化成行最简形矩阵, 即为 \( F \)。但需求出 \( P \), 故按上段所述, 对 \( (A, E) \) 作初等行变换把 \( A \) 化成行最简形矩阵, 便同时得到 \( F \) 和 \( P \)。运算如下:
\( (A, E) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -6 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -6 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) \( \xrightarrow{r_2 - 2r_1, r_3 - 4r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & -10 & 10 & 0 & -4 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 \leftrightarrow r_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & 10 & 0 & -4 & 1 \\ 0 & -3 & 3 & 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \) \( \xrightarrow{r_2 \div (-10), r_3 - 3r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0.4 & -0.1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -0.8 & 0.3 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 - r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 0.6 & -0.1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0.4 & -0.1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -0.8 & 0.3 \end{pmatrix} \)
故 \( F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) 为 \( A \) 的行最简形矩阵, 而使 \( PA = F \) 的可逆矩阵
\( P = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.1 & 0.4 \\ 0.4 & -0.1 & -0.8 \\ -0.8 & 0.3 & 0.3 \end{pmatrix} \)
注
上述解中所得 \((F, P)\), 可继续作初等行变换 \( r_1 \times k, r_1 + kr_3, r_2 + kr_3 \), 则 \( F \) 不变而 \( P \) 变。由此可知本例中使 \( PA = F \) 的可逆矩阵 \( P \) 不是唯一的。
例2
设 \( A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \end{pmatrix} \), 证明 \( A \) 可逆, 并求 \( A^{-1} \)。
解
如同例1, 初等行变换把 \((A, E)\) 化成 \((F, P)\), 其中 \( F \) 为 \( A \) 的行最简形矩阵。如果 \( F = E \), 由定理1之推论知 \( A \) 可逆, 并由 \( PA = E \), 知 \( P = A^{-1} \)。运算如下:
\( (A, E) = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) \( \xrightarrow{r_3 + \frac{2}{3}r_1} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -\frac{4}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 \leftrightarrow r_3} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & -\frac{4}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 1 \\ 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) \( \xrightarrow{r_2 \div 3, r_3 + \frac{2}{3}r_2} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{9} & 0 & \frac{2}{9} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & \frac{1}{9} & 1 & \frac{2}{9} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 + 2r_2} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{9} & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{4}{9} & 0 & \frac{2}{9} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & \frac{1}{9} & 1 & \frac{2}{9} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \) \( \xrightarrow{r_1 \div 3, r_2 + \frac{4}{9}r_3, r_3 \div \frac{1}{9}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{27} & \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{10}{27} & \frac{5}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \frac{2}{9} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \)
因 \( A \sim E \), 故 \( A \) 可逆, 且 \( A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{5}{27} & \frac{2}{9} \\ \frac{10}{27} & \frac{5}{9} \\ \frac{2}{9} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \)。
例3
求解矩阵方程 \( AX = B \), 其中 \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \)。
解
设可逆矩阵 \( P \) 使 \( PA = F \) 为行最简形矩阵, 则
\( P(A, B) = (F, PB), \)
因此对矩阵 \((A, B)\) 作初等行变换把 \( A \) 变为 \( F \), 同时把 \( B \) 变为 \( PB \)。若 \( F = E \), 则 \( A \) 可逆, 且 \( P = A^{-1} \), 这时所给方程有唯一解 \( X = PB = A^{-1}B \)。由
\( (A, B) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 2 & -2 & 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -3 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 2 & -2 & 5 \end{pmatrix} \)
\( \xrightarrow{r_2 - 2r_1, r_3 + r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 \leftrightarrow r_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & -3 & 1 & -3 & -1 \end{pmatrix} \)
\( \xrightarrow{r_2 \div 5, r_3 + 3r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 - 2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{pmatrix} \)
可见 \( A \sim E \), 因此 \( A \) 可逆, 且 \( X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \) 即为所给方程的唯一解。
例4
求解线性方程组
\( \begin{cases} x_1 - x_2 - x_3 = 2, \\ 2x_1 - x_2 - 3x_3 = 1, \\ 3x_1 + 2x_2 - 5x_3 = 0. \end{cases} \)
解
记此方程组为 \( Ax = b \), 则增广矩阵
\( (A, b) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -5 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 - 2r_1, r_3 - 3r_1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 5 & -2 & -6 \end{pmatrix} \)
\( \xrightarrow{r_3 - 5r_2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 9 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 \div 3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \)
\( \xrightarrow{r_1 + r_3, r_2 + r_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \)
因 \( A \sim E \), 故 \( A \) 可逆, 于是方程组有解, 且解为 \( x = A^{-1}b = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \)
此方程组我们已在第2章例16中分别用克拉默法则和逆矩阵求解过。比较这三种方法, 显然这里介绍的方法最为方便和快捷。
好的，我们将内容分点理解，以便更清晰地掌握每个部分的核心概念和步骤。
1. 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的定义
行阶梯形矩阵：
非零行在零行的上面。
非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面。
行最简形矩阵：
非零行的首非零元为1。
首非零元所在的列的其他元均为0。
2. 矩阵的标准形
标准形：
左上角是一个单位矩阵，其余元全为0。
对于 \( m \times n \) 矩阵 \( A \)，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形： \( F = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{m \times n} \)
其中 \( r \) 是行阶梯形矩阵中非零行的行数。
3. 初等变换与初等矩阵
初等变换：
三种初等变换：行（列）交换、行（列）数乘、行（列）加法。
初等矩阵：
由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。
三种初等矩阵：
\( E(i,j) \)：行（列）交换。
\( E(i(k)) \)：行（列）数乘。
\( E(i,j(k)) \)：行（列）加法。
4. 初等变换的性质
性质1：
对 \( A \) 施行一次初等行变换，相当于在 \( A \) 的左边乘相应的 \( m \) 阶初等矩阵。
对 \( A \) 施行一次初等列变换，相当于在 \( A \) 的右边乘相应的 \( n \) 阶初等矩阵。
性质2：
方阵 \( A \) 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 \( P_1, P_2, \cdots, P_l \)，使 \( A = P_1P_2 \cdots P_l \)。
5. 定理1及其推论
定理1：
\( A \sim B \) 的充分必要条件是存在 \( m \) 阶可逆矩阵 \( P \)，使 \( PA = B \)。
\( A \sim B \) 的充分必要条件是存在 \( n \) 阶可逆矩阵 \( Q \)，使 \( AQ = B \)。
\( A \sim B \) 的充分必要条件是存在 \( m \) 阶可逆矩阵 \( P \) 和 \( n \) 阶可逆矩阵 \( Q \)，使 \( PAQ = B \)。
推论：
方阵 \( A \) 可逆的充分必要条件是 \( A \sim E \)。
6. 利用初等变换求逆矩阵
方法：
对矩阵 \( (A, E) \) 作初等行变换，把 \( A \) 变为 \( E \)，同时 \( E \) 变为 \( A^{-1} \)。
7. 例题解析
例1：
求矩阵 \( A \) 的行最简形矩阵 \( F \) 和可逆矩阵 \( P \)，使 \( PA = F \)。
通过初等行变换将 \( (A, E) \) 变为 \( (F, P) \)。
例2：
证明矩阵 \( A \) 可逆，并求 \( A^{-1} \)。
通过初等行变换将 \( (A, E) \) 变为 \( (E, A^{-1}) \)。
例3：
求解矩阵方程 \( AX = B \)。
通过初等行变换将 \( (A, B) \) 变为 \( (E, X) \)。
例4：
求解线性方程组。
通过初等行变换将增广矩阵 \( (A, b) \) 变为行最简形矩阵，求得解向量。
矩阵 \( B_4 \) 和 \( B_5 \) 的特点
矩阵 \( B_4 \) 和 \( B_5 \) 都是行阶梯形矩阵，这意味着它们满足以下条件：
非零行在零行的上面。
非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面。
此外，\( B_5 \) 还是行最简形矩阵，这意味着它还满足以下条件：
非零行的首非零元为1。
首非零元所在的列的其他元均为0。
行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的定义
定义2
(1) 非零矩阵若满足 (i) 非零行在零行的上面; (ii) 非零行的首非零元所在列在上一行(如果存在的话)的首非零元所在列的右面, 则称此矩阵为行阶梯形矩阵;
(2) 进一步, 若 \( A \) 是行阶梯形矩阵, 并且还满足: (i) 非零行的首非零元为1; (ii) 首非零元所在的列的其他元均为0, 则称 \( A \) 为行最简形矩阵。
初等行变换和初等矩阵
初等行变换包括以下三种：
交换矩阵的两行。
以非零数乘矩阵的某一行。
以某数乘矩阵的某一行加到另一行上。
初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。三种初等变换对应三种初等矩阵：
交换单位矩阵的两行或两列，得到 \( E(i,j) \)。
以数 \( k \neq 0 \) 乘单位矩阵的某一行或某一列，得到 \( E(i(k)) \)。
以数 \( k \) 乘单位矩阵的某一行加到另一行上，或以数 \( k \) 乘单位矩阵的某一列加到另一列上，得到 \( E(i,j(k)) \)。
标准形矩阵
对于 \( m \times n \) 矩阵 \( A \)，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形
\( F = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{m \times n}, \)
其中 \( r \) 是行阶梯形矩阵中非零行的行数。
定理1
设 \( A \) 和 \( B \) 为 \( m \times n \) 矩阵，则
(i) \( A \sim B \) 的充分必要条件是存在 \( m \) 阶可逆矩阵 \( P \)，使 \( PA = B \);
(ii) \( A \sim B \) 的充分必要条件是存在 \( n \) 阶可逆矩阵 \( Q \)，使 \( AQ = B \);
(iii) \( A \sim B \) 的充分必要条件是存在 \( m \) 阶可逆矩阵 \( P \) 和 \( n \) 阶可逆矩阵 \( Q \)，使 \( PAQ = B \)。
选择题
行阶梯形矩阵的特点是：
A. 非零行在零行的下面
B. 非零行的首非零元所在列在上一行(如果存在的话)的首非零元所在列的右面
C. 非零行的首非零元为1
D. 首非零元所在的列的其他元均为0
答案：B
解释： 行阶梯形矩阵的特点是非零行在零行的上面，且非零行的首非零元所在列在上一行(如果存在的话)的首非零元所在列的右面。
行最简形矩阵的特点是：
A. 非零行的首非零元为1
B. 首非零元所在的列的其他元均为0
C. 非零行在零行的下面
D. 非零行的首非零元所在列在上一行(如果存在的话)的首非零元所在列的左面
答案：A, B
解释： 行最简形矩阵的特点是非零行的首非零元为1，且首非零元所在的列的其他元均为0。
初等矩阵是由单位矩阵经过以下哪种变换得到的？
A. 交换两行
B. 以非零数乘某一行
C. 以某数乘某一行加到另一行上
D. 以上都是
答案：D
解释： 初等矩阵是由单位矩阵经过交换两行、以非零数乘某一行、或以某数乘某一行加到另一行上这三种初等变换得到的。
标准形矩阵的特点是：
A. 左上角是一个单位矩阵
B. 其余元全为0
C. 非零行的首非零元为1
D. 首非零元所在的列的其他元均为0
答案：A, B
解释： 标准形矩阵的特点是左上角是一个单位矩阵，其余元全为0。
设 \( A \) 和 \( B \) 为 \( m \times n \) 矩阵，\( A \sim B \) 的充分必要条件是：
A. 存在 \( m \) 阶可逆矩阵 \( P \)，使 \( PA = B \)
B. 存在 \( n \) 阶可逆矩阵 \( Q \)，使 \( AQ = B \)
C. 存在 \( m \) 阶可逆矩阵 \( P \) 和 \( n \) 阶可逆矩阵 \( Q \)，使 \( PAQ = B \)
D. 以上都是
答案：D
解释： \( A \sim B \) 的充分必要条件是存在 \( m \) 阶可逆矩阵 \( P \)，使 \( PA = B \)；存在 \( n \) 阶可逆矩阵 \( Q \)，使 \( AQ = B \)；或存在 \( m \) 阶可逆矩阵 \( P \) 和 \( n \) 阶可逆矩阵 \( Q \)，使 \( PAQ = B \)。
初等矩阵的逆矩阵是：
A. 同一类型的初等矩阵
B. 不同类型的初等矩阵
C. 单位矩阵
D. 零矩阵
答案：A
解释： 初等矩阵的逆矩阵是同一类型的初等矩阵。
方阵 \( A \) 可逆的充分必要条件是：
A. 存在有限个初等矩阵 \( P_1, P_2, \cdots, P_l \)，使 \( A = P_1P_2 \cdots P_l \)
B. \( A \sim E \)
C. \( A \) 是行最简形矩阵
D. \( A \) 是标准形矩阵
答案：A, B
解释： 方阵 \( A \) 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 \( P_1, P_2, \cdots, P_l \)，使 \( A = P_1P_2 \cdots P_l \)，或 \( A \sim E \)。
行最简形矩阵的非零行的首非零元必须是：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 任意非零数
答案：B
解释： 行最简形矩阵的非零行的首非零元必须是1。
标准形矩阵的左上角是一个：
A. 零矩阵
B. 单位矩阵
C. 对角矩阵
D. 上三角矩阵
答案：B
解释： 标准形矩阵的左上角是一个单位矩阵。
初等行变换不包括以下哪种操作？
A. 交换矩阵的两行
B. 以非零数乘矩阵的某一行
C. 以某数乘矩阵的某一行加到另一行上
D. 以零数乘矩阵的某一行
答案：D
解释： 初等行变换不包括以零数乘矩阵的某一行。
行阶梯形矩阵中非零行的行数是：
A. 唯一确定的
B. 不唯一确定的
C. 取决于矩阵的大小
D. 取决于矩阵的元素
答案：A
解释： 行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。
行最简形矩阵的首非零元所在的列的其他元必须是：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 任意非零数
答案：A
解释： 行最简形矩阵的首非零元所在的列的其他元必须是0。
初等矩阵的逆矩阵是：
A. 同一类型的初等矩阵
B. 不同类型的初等矩阵
C. 单位矩阵
D. 零矩阵
答案：A
解释： 初等矩阵的逆矩阵是同一类型的初等矩阵。
方阵 \( A \) 可逆的充分必要条件是：
A. 存在有限个初等矩阵 \( P_1, P_2, \cdots, P_l \)，使 \( A = P_1P_2 \cdots P_l \)
B. \( A \sim E \)
C. \( A \) 是行最简形矩阵
D. \( A \) 是标准形矩阵
答案：A, B
解释： 方阵 \( A \) 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 \( P_1, P_2, \cdots, P_l \)，使 \( A = P_1P_2 \cdots P_l \)，或 \( A \sim E \)。
行最简形矩阵的非零行的首非零元必须是：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 任意非零数
答案：B
解释： 行最简形矩阵的非零行的首非零元必须是1。
标准形矩阵的左上角是一个：
A. 零矩阵
B. 单位矩阵
C. 对角矩阵
D. 上三角矩阵
答案：B
解释： 标准形矩阵的左上角是一个单位矩阵。
初等行变换不包括以下哪种操作？
A. 交换矩阵的两行
B. 以非零数乘矩阵的某一行
C. 以某数乘矩阵的某一行加到另一行上
D. 以零数乘矩阵的某一行
答案：D
解释： 初等行变换不包括以零数乘矩阵的某一行。
行阶梯形矩阵中非零行的行数是：
A. 唯一确定的
B. 不唯一确定的
C. 取决于矩阵的大小
D. 取决于矩阵的元素
答案：A
解释： 行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。
行最简形矩阵的首非零元所在的列的其他元必须是：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 任意非零数
答案：A
解释： 行最简形矩阵的首非零元所在的列的其他元必须是0。
初等矩阵的逆矩阵是：
A. 同一类型的初等矩阵
B. 不同类型的初等矩阵
C. 单位矩阵
D. 零矩阵
答案：A
解释： 初等矩阵的逆矩阵是同一类型的初等矩阵。