第五节 反常积分的审敛法
\(\Gamma\) 函数
反常积分的收敛性，可以通过求被积函数的原函数，然后按定义取极限，根据极限的存在与否来判定。本节中我们来建立不通过被积函数的原函数判定反常积分收敛性的判定法。
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1 设函数 \( f(x) \) 在区间 \([a,+\infty)\) 上连续，且 \( f(x) \geq 0 \)。若函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a,+\infty)\) 上有上界，则反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
事实上，因为 \( f(x) \geq 0 \)，\( F(x) \) 在 \([a,+\infty)\) 上单调增加，又 \( F(x) \) 在 \([a,+\infty)\) 上有上界，故 \( F(x) \) 在 \([a,+\infty)\) 上是单调有界的函数。按照“\([a,+\infty)\) 上的单调有界函数 \( F(x) \) 必有极限 \(\lim_{x \to +\infty} F(x)\)”的准则，就可知道极限 \( \lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t) dt \) 存在，即反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
根据定理1，对于非负函数的无穷限的反常积分，有以下比较审敛原理：
定理2（比较审敛原理） 设函数 \( f(x), g(x) \) 在区间 \([a,+\infty)\) 上连续。如果 \( 0 \leq f(x) \leq g(x) (a \leq x < +\infty) \)，并且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 也收敛；如果 \( 0 \leq g(x) \leq f(x) (a \leq x < +\infty) \)，并且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 也发散。
证 设 \( a < t < +\infty \)，由 \( 0 \leq f(x) \leq g(x) \) 及 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，得 \( \int_a^t f(x) dx \leq \int_a^t g(x) dx \leq \int_a^{+\infty} g(x) dx \)
这表明作为积分上限 \( t \) 的函数 \( F(t) = \int_a^t f(x) dx \)
在 \([a,+\infty)\) 上有上界。由定理1 即知反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
如果 \( 0 \leq g(x) \leq f(x) \)，且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 必定发散。因为如果 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛，由定理的第一部分即知 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 也收敛，这与假设相矛盾。证毕。
由上节例3 知道，反常积分 \(\int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p} (a > 0)\) 当 \( p > 1 \) 时收敛，当 \( p \leq 1 \) 时发散。因
因此，取 \( g(x) = \frac{A}{x^p} \) (A>0)，立即可得下面的反常积分的比较审敛法。
定理3（比较审敛法1） 设函数 \( f(x) \) 在区间 \([a,+\infty)\) (\( a>0 \)) 上连续，且 \( f(x) \geq 0 \)。如果存在常数 \( M>0 \) 及 \( p>1 \)，使得 \( f(x) \leq \frac{M}{x^p} \) (\( a \leq x < +\infty \))，那么反常积分 \( \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \) 收敛；如果存在常数 \( N>0 \)，使得 \( f(x) \geq \frac{N}{x} \) (\( a \leq x < +\infty \))，那么反常积分 \( \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \) 发散。
扩展与讲解
反常积分的审敛法
反常积分的审敛法是用来判断一个反常积分（即积分区间包含无穷大或被积函数在某些点上无界的积分）是否收敛的方法。反常积分的收敛性可以通过求被积函数的原函数，然后按定义取极限，根据极限的存在与否来判定。然而，这种方法有时会非常复杂或不可行。因此，我们需要一些不通过求原函数来判定反常积分收敛性的方法。
无穷限反常积分的审敛法
定理1 提供了一种判定无穷限反常积分收敛性的方法。设函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, +\infty)\) 上连续且 \( f(x) \geq 0 \)。若函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a, +\infty)\) 上有上界，则反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
定理2（比较审敛原理）是基于定理1的推广。它通过比较两个函数 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的积分来判定反常积分的收敛性。如果 \( 0 \leq f(x) \leq g(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 也收敛。反之，如果 \( 0 \leq g(x) \leq f(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 也发散。
定理3（比较审敛法1）是基于定理2的具体应用。它通过与已知收敛性的积分 \(\int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p}\) 进行比较来判定反常积分的收敛性。如果 \( f(x) \leq \frac{M}{x^p} \) 且 \( p > 1 \)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛；如果 \( f(x) \geq \frac{N}{x} \)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散。
选择题
定理1的主要内容是什么？
A. 反常积分收敛的条件是函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, +\infty)\) 上连续且 \( f(x) \geq 0 \)。
B. 反常积分收敛的条件是函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a, +\infty)\) 上有上界。
C. 反常积分收敛的条件是函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, +\infty)\) 上单调递增。
D. 反常积分收敛的条件是函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, +\infty)\) 上有下界。
答案：B 解释： 定理1的主要内容是，如果函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a, +\infty)\) 上有上界，则反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
定理2的比较审敛原理中，如果 \( 0 \leq f(x) \leq g(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 可能发散也可能收敛
答案：B 解释： 根据定理2，如果 \( 0 \leq f(x) \leq g(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 也收敛。
定理3中，如果 \( f(x) \leq \frac{M}{x^p} \) 且 \( p > 1 \)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 可能发散也可能收敛
答案：B 解释： 根据定理3，如果 \( f(x) \leq \frac{M}{x^p} \) 且 \( p > 1 \)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
定理3中，如果 \( f(x) \geq \frac{N}{x} \)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 可能发散也可能收敛
答案：A 解释： 根据定理3，如果 \( f(x) \geq \frac{N}{x} \)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散。
定理1中，函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a, +\infty)\) 上有上界的条件是什么？
A. \( f(x) \geq 0 \)
B. \( f(x) \leq 0 \)
C. \( f(x) \) 在 \([a, +\infty)\) 上单调递增
D. \( f(x) \) 在 \([a, +\infty)\) 上有下界
答案：A 解释： 定理1中，函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a, +\infty)\) 上有上界的条件是 \( f(x) \geq 0 \)。
定理2中，如果 \( 0 \leq g(x) \leq f(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 可能发散也可能收敛
答案：A 解释： 根据定理2，如果 \( 0 \leq g(x) \leq f(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 也发散。
定理3中，比较审敛法1的主要应用是什么？
A. 比较 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的积分
B. 比较 \( f(x) \) 和 \(\frac{M}{x^p}\) 的积分
C. 比较 \( f(x) \) 和 \(\frac{N}{x}\) 的积分
D. 比较 \( f(x) \) 和 \(\frac{1}{x}\) 的积分
答案：B 解释： 定理3中，比较审敛法1的主要应用是比较 \( f(x) \) 和 \(\frac{M}{x^p}\) 的积分。
定理1中，函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a, +\infty)\) 上单调递增的条件是什么？
A. \( f(x) \geq 0 \)
B. \( f(x) \leq 0 \)
C. \( f(x) \) 在 \([a, +\infty)\) 上单调递增
D. \( f(x) \) 在 \([a, +\infty)\) 上有下界
答案：A 解释： 定理1中，函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a, +\infty)\) 上单调递增的条件是 \( f(x) \geq 0 \)。
定理2中，如果 \( 0 \leq f(x) \leq g(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 可能发散也可能收敛
答案：C 解释： 根据定理2，如果 \( 0 \leq f(x) \leq g(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性不确定。
定理3中，如果 \( f(x) \leq \frac{M}{x^p} \) 且 \( p \leq 1 \)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 可能发散也可能收敛
答案：C 解释： 根据定理3，如果 \( f(x) \leq \frac{M}{x^p} \) 且 \( p \leq 1 \)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性不确定。
定理1中，函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a, +\infty)\) 上有上界的条件是什么？
A. \( f(x) \geq 0 \)
B. \( f(x) \leq 0 \)
C. \( f(x) \) 在 \([a, +\infty)\) 上单调递增
D. \( f(x) \) 在 \([a, +\infty)\) 上有下界
答案：A 解释： 定理1中，函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a, +\infty)\) 上有上界的条件是 \( f(x) \geq 0 \)。
定理2中，如果 \( 0 \leq f(x) \leq g(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 可能发散也可能收敛
答案：B 解释： 根据定理2，如果 \( 0 \leq f(x) \leq g(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 也收敛。
定理3中，如果 \( f(x) \leq \frac{M}{x^p} \) 且 \( p > 1 \)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 可能发散也可能收敛
答案：B 解释： 根据定理3，如果 \( f(x) \leq \frac{M}{x^p} \) 且 \( p > 1 \)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
定理3中，如果 \( f(x) \geq \frac{N}{x} \)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 可能发散也可能收敛
答案：A 解释： 根据定理3，如果 \( f(x) \geq \frac{N}{x} \)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散。
定理1中，函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a, +\infty)\) 上有上界的条件是什么？
A. \( f(x) \geq 0 \)
B. \( f(x) \leq 0 \)
C. \( f(x) \) 在 \([a, +\infty)\) 上单调递增
D. \( f(x) \) 在 \([a, +\infty)\) 上有下界
答案：A 解释： 定理1中，函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a, +\infty)\) 上有上界的条件是 \( f(x) \geq 0 \)。
定理2中，如果 \( 0 \leq g(x) \leq f(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 可能发散也可能收敛
答案：A 解释： 根据定理2，如果 \( 0 \leq g(x) \leq f(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 也发散。
定理3中，比较审敛法1的主要应用是什么？
A. 比较 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的积分
B. 比较 \( f(x) \) 和 \(\frac{M}{x^p}\) 的积分
C. 比较 \( f(x) \) 和 \(\frac{N}{x}\) 的积分
D. 比较 \( f(x) \) 和 \(\frac{1}{x}\) 的积分
答案：B 解释： 定理3中，比较审敛法1的主要应用是比较 \( f(x) \) 和 \(\frac{M}{x^p}\) 的积分。
定理1中，函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a, +\infty)\) 上单调递增的条件是什么？
A. \( f(x) \geq 0 \)
B. \( f(x) \leq 0 \)
C. \( f(x) \) 在 \([a, +\infty)\) 上单调递增
D. \( f(x) \) 在 \([a, +\infty)\) 上有下界
答案：A 解释： 定理1中，函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a, +\infty)\) 上单调递增的条件是 \( f(x) \geq 0 \)。
定理2中，如果 \( 0 \leq f(x) \leq g(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 可能发散也可能收敛
答案：C 解释： 根据定理2，如果 \( 0 \leq f(x) \leq g(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性不确定。
定理3中，如果 \( f(x) \leq \frac{M}{x^p} \) 且 \( p \leq 1 \)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 可能发散也可能收敛
答案：C 解释： 根据定理3，如果 \( f(x) \leq \frac{M}{x^p} \) 且 \( p \leq 1 \)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性不确定。
第五节 反常积分的审敛法扩展讲解
反常积分在处理无界区间或无界被积函数时，是数学分析的重要工具。判断反常积分是否收敛通常需要分析其被积函数的行为。本节主要介绍无穷限反常积分的审敛法及其应用，重点是通过比较法和上下界的方式来判断反常积分的收敛性，而不依赖于求原函数。
\(\Gamma\) 函数
\(\Gamma\) 函数是数学中重要的特殊函数之一，用于延拓阶乘函数到实数域和复数域。\(\Gamma\) 函数定义为：
\( \Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-t} dt \quad (s > 0) \)
这一函数在分析与概率统计中有广泛的应用，其收敛性源于被积函数 \(t^{s-1} e^{-t}\) 的迅速衰减。
一、无穷限反常积分的审敛法
无穷限反常积分是指积分区间为 \([a, +\infty)\) 的积分形式 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\)。研究其收敛性的基本方法如下：
基本定理（单调有界性）
如果 \( f(x) \geq 0 \) 且积分上限 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \) 在 \([a, +\infty)\) 上有上界，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
原因在于：非负函数的积分是单调增加的，而有上界的单调函数必有极限。
比较审敛原理
如果 \( f(x), g(x) \) 满足 \( 0 \leq f(x) \leq g(x) \)，并且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 必收敛。
反之，如果 \( g(x) \leq f(x) \) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 也发散。
二、反常积分的比较法
为了进一步简化收敛性的判定，利用典型函数如 \(\frac{1}{x^p}\) 的性质进行比较：
典型结论
\(\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 的收敛性与 \(p\) 的取值有关：当 \(p > 1\) 时，积分收敛；
当 \(p \leq 1\) 时，积分发散。
比较审敛法1
如果 \( f(x) \leq \frac{M}{x^p} \) (\( M > 0, p > 1 \))，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
如果 \( f(x) \geq \frac{N}{x} \) (\( N > 0 \))，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散。
这一方法通过建立上界或下界，直接借助已知函数的收敛性来判断目标积分。
通过分析 \( f(x) \) 在无穷远处的渐近行为，选择适当的比较函数 \( g(x) \)。
借助 \(\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 的标准结论，为积分问题提供快捷的收敛性判别依据。
反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性可以通过以下哪种方式判定？
A. 求原函数并计算极限
B. 比较法
C. 单调有界性原理
D. 以上全部
答案：D
解释：所有方法均可用来判断反常积分的收敛性。\(\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 在以下何种条件下收敛？
A. \(p \leq 1\)
B. \(p = 1\)
C. \(p > 1\)
D. 始终收敛
答案：C
解释：当 \(p > 1\) 时，\(x^{-p}\) 的下降速度足够快，从而积分收敛。以下哪种描述是比较审敛法的核心思想？
A. 上界分析
B. 下界分析
C. 与已知积分比较
D. 求原函数
答案：C
解释：比较审敛法通过与已知的收敛或发散积分进行比较。如果 \( f(x) \leq g(x) \)，且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，则以下结论正确的是：
A. \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散
B. \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛
C. \(f(x)\) 不满足条件
D. 无法判断
答案：B
解释：根据比较审敛法，\(f(x)\) 的积分也收敛。比较审敛法中的典型参考函数是以下哪种形式？
A. \(\frac{1}{x^p}\)
B. \(\sin(x)\)
C. \(e^{-x}\)
D. \(x^2\)
答案：A
解释：\(\frac{1}{x^p}\) 是反常积分分析的典型函数。\(\Gamma(s)\) 函数的收敛性与以下哪个被积函数相关？
A. \(t^{s-1} e^{-t}\)
B. \(t^s e^t\)
C. \(e^{-t^2}\)
D. \(\frac{1}{t^s}\)
答案：A
解释：\(\Gamma(s)\) 的定义基于 \(t^{s-1} e^{-t}\)。如果 \(\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} dx\) 收敛，则可以说明：
A. \(\ln x\) 对收敛性无影响
B. \(x^{-2}\) 的下降速度决定收敛性
C. 积分发散
D. 无法判断
答案：B
解释：\(\ln x\) 的增长比 \(x^{-2}\) 的下降慢，整体积分收敛。若 \( f(x) \geq \frac{1}{x \ln x} \) 且 \( x > e \)，则 \(\int_e^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性是：
A. 一定收敛
B. 一定发散
C. 与 \(f(x)\) 的具体形式无关
D. 无法判断
答案：B
解释：\(\int_e^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} dx\) 是发散的，\(f(x)\) 的下界足够强保证其整体发散。比较审敛法要求被积函数在区间 \([a,+\infty)\) 上满足的条件是：
A. 连续且非负
B. 必须等于 \(\frac{1}{x^p}\)
C. 任意可积函数
D. 单调递减
答案：A
解释：比较审敛法要求 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 必须在 \([a,+\infty)\) 上连续且非负。对于 \(\int_a^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x^2} dx\)，可判断收敛性的方法是：
A. 比较 \(\frac{\sin(x)}{x^2}\) 和 \(\frac{1}{x^2}\)
B. 求 \(\sin(x)\) 的原函数
C. 判断 \(\sin(x)\) 是否单调
D. 无法使用任何方法
答案：A
解释：\(\sin(x)\) 的振荡特性对积分收敛性无关键影响，而 \(\frac{1}{x^2}\) 的收敛性决定整体收敛。若 \( f(x) \leq \frac{3}{x^{1.5}} \) 且 \( x \geq 1 \)，则 \(\int_1^{+\infty} f(x) dx\)：
A. 一定发散
B. 一定收敛
C. 无法确定
D. 收敛与否与 3 无关
答案：B
解释：\(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{1.5}} dx\) 收敛，因此 \(f(x)\) 的积分也收敛。如果已知 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，下列关于 \(f(x)\) 的描述正确的是：
A. \(f(x)\) 必须小于 \(g(x)\)
B. \(f(x)\) 必须大于 \(g(x)\)
C. \(f(x)\) 可以小于或等于 \(g(x)\) 且积分收敛
D. 无法判断
答案：C
解释：比较审敛法允许 \(f(x) \leq g(x)\) 且积分收敛。对于 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\)，当 \(p = 1\) 时，积分结果为：
A. \(1\)
B. 发散
C. \(0\)
D. \(\ln(x)\)
答案：B
解释：\(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \ln(x) |_{1}^{+\infty}\)，发散。\(\int_1^{+\infty} f(x) dx\) 发散的一个充分条件是：
A. 存在 \(N > 0\)，使得 \(f(x) \geq \frac{N}{x}\)
B. \(f(x)\) 是正值函数
C. \(f(x)\) 不连续
D. \(f(x)\) 存在上下波动
答案：A
解释：若 \(f(x)\) 的下界为发散函数，则其积分一定发散。\(\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^p} dx\) 在以下哪种条件下收敛？
A. \(p > 1\)
B. \(p = 1\)
C. \(p \geq 0\)
D. \(p > 2\)
答案：D
解释：\(\ln(x)\) 的增长对收敛性有影响，需 \(p > 2\) 才能保证收敛。若 \(f(x) = \frac{1}{x^p}\) 且 \(p > 1\)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛的原因是：
A. \(f(x)\) 随 \(x\) 迅速减少
B. \(f(x)\) 是单调函数
C. \(p > 1\) 保证被积函数在无穷远足够小
D. \(f(x)\) 连续
答案：A
解释：\(p > 1\) 保证 \(x^{-p}\) 衰减快于 \(x^{-1}\)，因此收敛。若 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，但 \(f(x) \leq g(x)\)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的结论是：
A. 一定收敛
B. 一定发散
C. 无法判断
D. 以上都不对
答案：C
解释：比较审敛法要求 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的具体关系，无法直接判断。
以下是对该知识点的扩展讲解：
反常积分审敛法的背景与重要性
在数学分析中，反常积分是对普通定积分概念的一种推广，它处理的是积分区间为无穷区间或者被积函数在积分区间上有无穷间断点的情况。而判断反常积分是否收敛就显得尤为重要，因为只有收敛的反常积分才有确定的数值意义，就如同我们在普通定积分中希望得到一个确切的积分值一样。直接通过求被积函数的原函数然后按定义取极限来判定反常积分的收敛性，在很多时候是比较困难的，因为有些被积函数的原函数可能很难求出甚至无法用初等函数表示。所以，本节所介绍的不通过求原函数来判定反常积分收敛性的审敛法就具有很大的实用价值。
关于Γ函数的相关铺垫
这里虽然先提到了Γ函数，但在当前给出的内容里，主要还是围绕反常积分的审敛法展开，尚未深入涉及Γ函数的具体内容（可能后续会进一步讲解其与反常积分审敛法的联系等），目前重点在于掌握反常积分审敛法的相关定理。
无穷限反常积分审敛法的具体定理剖析
定理1
条件与结论：定理1给出了一种判断无穷限反常积分收敛的方法。条件是函数\(f(x)\)在区间\([a, +\infty)\)上连续且\(f(x) \geq 0\)，同时定义了函数\(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\)在\([a, +\infty)\)上有上界。结论就是反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛。
原理分析：因为\(f(x) \geq 0\)，所以\(F(x)\)作为其变上限积分，是单调增加的函数。又已知\(F(x)\)在\([a, +\infty)\)上有上界，根据单调有界函数必有极限的准则，那么\(\lim_{x \to +\infty}F(x)\)存在，也就是反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛。
定理2（比较审敛原理）
条件与结论：此定理涉及两个函数\(f(x)\)和\(g(x)\)在区间\([a, +\infty)\)上连续。有两种情况的条件和结论：第一种情况是当\(0 \leq f(x) \leq g(x)\)（\(a \leq x < +\infty\)）且\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)收敛时，得出\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)也收敛；第二种情况是当\(0 \leq g(x) \leq f(x)\)（\(a \leq x < +\infty\)）且\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)发散时，得出\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)也发散。
证明思路：对于第一种情况，通过不等式关系以及已知\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)收敛，得出函数\(F(t)=\int_{a}^{t}f(x)dx\)在\([a, +\infty)\)上有上界，再依据定理1就可证明\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛。对于第二种情况，采用反证法，假设\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛，根据定理的第一部分会推出与已知\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)发散相矛盾的结果，从而证明了第二种情况。
定理3（比较审敛法1）
条件与结论：函数\(f(x)\)在区间\([a, +\infty)\)（\(a>0\)）上连续且\(f(x) \geq 0\)。如果存在常数\(M>0\)及\(p>1\)，使得\(f(x) \leq \frac{M}{x^p}\)（\(a \leq x < +\infty\)），那么反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛；如果存在常数\(N>0\)，使得\(f(x) \geq \frac{N}{x}\)（\(a \leq x < +\infty\)），那么反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散。
推导依据：它是基于前面的比较审敛原理以及已知反常积分\(\int_{a}^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\)（\(a>0\)）当\(p>1\)时收敛，当\(p\leq1\)时发散的结论推导而来的。通过选取合适的比较函数\(g(x)=\frac{A}{x^p}\)（\(A>0\)），利用比较审敛原理得出了具体的审敛方法。
例1 判定反常积分 \( \int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^4+1}} \) 的收敛性。
解 由于 \( 0 < \frac{1}{\sqrt{x^4+1}} < \frac{1}{\sqrt{x^4}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \)
根据比较审敛法1，这个反常积分收敛。以比较审敛法1为基础，可以得到在应用上较为方便的极限审敛法。
定理4（极限审敛法1） 设函数 \( f(x) \) 在区间 \([a,+\infty)\) 上连续，且 \( f(x) \geq 0 \)。如果存在常数 \( p>1 \)，使得 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\infty\)，那么，反常积分 \( \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \) 收敛；如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = d > 0 \) (或 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = +\infty\))，那么反常积分 \( \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \) 发散。
证 由假设 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = c (p>1)\)。根据极限的定义，存在充分大的 \( x_1 (x_1 \geq a, x_1 > 0) \)，当 \( x > x_1 \) 时，必有 \( |x^p f(x) - c| < 1 \)
由此得 \( 0 \leq x^p f(x) < 1 + c \)
令 \( 1+c = M > 0 \)，于是在区间 \( x_1 < x < +\infty \) 内不等式 \( 0 \leq f(x) < \frac{M}{x^p} \) 成立。由比较审敛法1知 \( \int_{x_1}^{+\infty} f(x) \, dx \) 收敛，而 \( \int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(t) \, dt = \lim_{t \to +\infty} \left[ \int_a^{t_1} f(t) \, dt + \int_{t_1}^{t_1} f(t) \, dt \right] = \int_a^{t_1} f(t) \, dt + \lim_{t \to +\infty} \int_{t_1}^{t_1} f(t) \, dt = \int_a^{t_1} f(t) \, dt + \int_{t_1}^{t_1} f(t) \, dt \)
故反常积分
\( \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \)
收敛。
如果 \(\lim_{x \to +\infty} xf(x) = d > 0\)（或 \(+\infty\)），那么存在充分大的 \(x_1\)，当 \(x \to x_1\) 时，必有
\( |xf(x)-d| < \frac{d}{2}, \)
由此得
\( xf(x) > \frac{d}{2}. \)
（当 \(\lim_{x \to +\infty} xf(x) = +\infty\) 时，可取任意正数作为 \(d\).）令 \(\frac{d}{2} = N > 0\)，于是区间 \(x_1 < x < +\infty\) 内不等式 \(f(x) \geq \frac{N}{x}\) 成立。根据比较审敛法1知 \(\int_{x_1}^{+\infty} f(x) \, dx\) 发散，从而反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 发散。
例2 判定反常积分 \(\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}}\) 的收敛性。
解 由于
\( \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}} = 1, \)
根据极限审敛法1, 知所给反常积分收敛。
例3 判定反常积分 \(\int_1^{+\infty} \frac{x^{3/2}}{1+x^2} \, dx\) 的收敛性。
解 由于
\( \lim_{x \to +\infty} x \cdot \frac{x^{3/2}}{1+x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{3/2}x}{1+x^2} = +\infty, \)
根据极限审敛法1, 知所给反常积分发散。
例4 判定反常积分 \(\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x} \, dx\) 的收敛性。
解 由于
\( \lim_{x \to +\infty} x \cdot \frac{\arctan x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}, \)
根据极限审敛法1, 知所给反常积分发散。
假定反常积分的被积函数在所讨论的区间上可取正值也可取负值，对于这类反常积分的收敛性，有如下的结论：
定理5 设函数 \( f(x) \) 在区间 \([a,+\infty)\) 上连续. 如果反常积分 \( \int_a^{+\infty} |f(x)| dx \) 收敛, 那么反常积分 \( \int_a^{+\infty} f(x) dx \) 也收敛.
证 令 \(\varphi (x)=\frac{1}{2}(f(x)+|f(x)|)\). 于是 \(\varphi (x)\geq0\), 且 \(\varphi (x)\leq|f(x)|\), 而 \( \int_a^{+\infty} |f(x)| dx \) 收敛, 由比较审敛法1即知 \(\int_a^{+\infty} \varphi (x) dx\) 也收敛. 但 \(f(x)=2\varphi (x)-|f(x)|\), 因此 \( \int_a^{+\infty} f(x) dx=2\int_a^{+\infty} \varphi (x) dx-\int_a^{+\infty} |f(x)| dx. \) 可见反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 是两个收敛的反常积分的差, 因此它是收敛的. 证毕.
通常称满足定理5条件的反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 绝对收敛. 于是, 定理5可简单地表达为: 绝对收敛的反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 必定收敛.
例5 判定反常积分 \(\int_0^{+\infty} e^{-ax} \sin bxdx (a,b 都是常数, 且 a>0)\) 的收敛性.
解 因为 \(|e^{-ax} \sin bx|\leq e^{-ax}\), 而 \(\int_0^{+\infty} e^{-ax} dx\) 收敛, 根据比较审敛法1, 反常积分 \(\int_0^{+\infty} |e^{-ax} \sin bx| dx\) 收敛. 由定理5可知所给反常积分收敛.
二、无界函数的反常积分的审敛法
对于无界函数的反常积分, 也有类似的审敛法. 由上节例6知道, 反常积分 \( \int_a^b \frac{dx}{(x-a)^q} \) 当 \(q<1\) 时收敛, 当 \(q\geq1\) 时发散. 于是, 与定理3, 定理4类似可得如下两个审敛法:
定理6（比较审敛法2） 设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b]\) 上连续, 且 \(f(x)\geq0,x=a\) 为 \(f(x)\) 的瑕点. 如果存在常数 \(M>0\) 及 \(q<1\), 使得
\( f(x) \leq \frac{M}{(x-a)^q} \quad (a<x\leq b), \)
那么反常积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 收敛；如果存在常数 \(N>0\)，使得
\( f(x) \geq \frac{N}{x-a} \quad (a<x\leq b), \)
那么反常积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 发散。
定理7（极限审敛法2） 设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b]\) 上连续，且 \(f(x)\geq 0, x=a\) 为 \(f(x)\) 的瑕点。如果存在常数 \(0<q<1\)，使得
\( \lim_{x\to a^+}(x-a)^q f(x) \)
存在，那么反常积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 收敛；如果
\( \lim_{x\to a^+}(x-a)f(x)=d>0 \quad (\text{或} \lim_{x\to a^+}(x-a)f(x)=+\infty), \)
那么反常积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 发散。
例6 判定反常积分 \(\int_1^3 \frac{dx}{\ln x}\) 的收敛性。
解 这里 \(x=1\) 是被积函数的瑕点。由洛必达法则知
\( \lim_{x\to 1^+}(x-1) \frac{1}{\ln x} = \lim_{x\to 1^+} \frac{1}{1/x} = 1>0, \)
根据极限审敛法2，所给反常积分发散。
扩展讲解
反常积分的极限审敛法
极限审敛法是一种利用被积函数渐近性质判断反常积分收敛性的重要工具。主要思想是通过分析函数的极限行为，构造与其相关的渐近函数（如 \(\frac{1}{x^p}\) 或 \(\frac{1}{(x-a)^q}\)），并利用这些渐近函数的积分性质来判定目标反常积分是否收敛。
定理4（极限审敛法1）
内容：如果函数 \(f(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上连续且非负，并满足如下条件之一：
存在常数 \(p > 1\)，使得 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\infty\)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 收敛；
如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = d > 0\) 或 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = +\infty\)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 发散。
核心原理：该方法通过对 \(x^p f(x)\) 的极限分析，将 \(f(x)\) 的行为归结为与 \(\frac{1}{x^p}\) 类似，从而利用标准积分的性质判断收敛性。
定理5（绝对收敛性与收敛性关系）
内容：如果 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| \, dx\) 收敛（绝对收敛），则 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 一定收敛。即，绝对收敛的反常积分必定收敛。
核心原理：反常积分的绝对收敛性是判断其收敛性的充分条件。通过拆分 \(f(x)\) 为正部分和负部分的积分，并分别验证其收敛性，可保证总体积分的收敛。
定理6和定理7（无界函数的审敛法）
针对无界函数的反常积分，常见的情况是积分端点（如 \(x=a\)）处被积函数趋于无穷大。这类积分的收敛性可通过比较法或极限法来判断。
定理6（比较审敛法2）：
如果 \(f(x)\) 的渐近行为满足 \(f(x) \leq \frac{M}{(x-a)^q}\)，其中 \(q < 1\)，则积分收敛；
如果 \(f(x) \geq \frac{N}{x-a}\)，则积分发散。
定理7（极限审敛法2）：
如果 \(\lim_{x \to a^+} (x-a)^q f(x)\) 存在，且 \(q < 1\)，则积分收敛；
如果 \(\lim_{x \to a^+} (x-a) f(x) = d > 0\) 或 \(+\infty\)，则积分发散。
选择题
以下为基于上述定理扩展的20道选择题。
选择题1-10：基础理论
根据定理4，当 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\infty\) 且 \(p > 1\) 时，可以推断：
A. \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 收敛
B. \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 发散
C. 无法判断
D. 与 \(p\) 无关
答案：A
解释：极限审敛法表明，在此条件下，\(f(x)\) 的反常积分收敛。若 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = +\infty\)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 的结论是：
A. 一定收敛
B. 一定发散
C. 不一定发散
D. 无法确定
答案：B
解释：极限趋于无穷表明被积函数趋于较慢的下降速度，积分发散。\(\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^{3/2}}\) 的收敛性是：
A. 收敛
B. 发散
C. 与区间无关
D. 无法判断
答案：A
解释：\(p = 3/2 > 1\)，积分收敛。若 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| \, dx\) 收敛，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 的结论是：
A. 一定收敛
B. 一定发散
C. 不一定收敛
D. 无法确定
答案：A
解释：绝对收敛是反常积分收敛的充分条件。\(\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x} \, dx\) 的收敛性是：
A. 收敛
B. 发散
C. 无法判断
D. 收敛与否取决于 \(\arctan x\) 的单调性
答案：B
解释：\(\lim_{x \to +\infty} x \cdot \frac{\arctan x}{x} = \frac{\pi}{2}\)，根据极限审敛法1，积分发散。
选择题11-20：高级应用
\(\int_1^{+\infty} \frac{x^{3/2}}{1+x^2} \, dx\) 的收敛性是：
A. 收敛
B. 发散
C. 无法判断
D. 与区间无关
答案：B
解释：\(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = +\infty\)，积分发散。\(\int_1^3 \frac{dx}{\ln x}\) 的收敛性是：
A. 收敛
B. 发散
C. 无法判断
D. 与 \(\ln x\) 的增长有关
答案：B
解释：\(x = 1\) 是瑕点，极限值趋于无穷，积分发散。对于 \(\int_0^{+\infty} e^{-ax} \sin bx \, dx\)，其中 \(a, b > 0\)，正确结论是：
A. 收敛
B. 发散
C. 无法判断
D. 与 \(a\) 和 \(b\) 的大小无关
答案：A
解释：比较法表明 \(\int_0^{+\infty} |e^{-ax} \sin bx| dx\) 收敛，绝对收敛保证其收敛。若 \(f(x) \geq \frac{N}{x-a}\)，则 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 的收敛性是：
A. 收敛
B. 发散
C. 无法判断
D. 取决于 \(N\)
答案：B
解释：比较审敛法表明 \(f(x)\) 的增长速度过快，积分发散。\(\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x \sqrt{1+x^2}}\) 的收敛性是：
A. 收敛
B. 发散
C. 无法判断
D. 与被积函数的单调性无关
答案：A
解释：\(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = 1\)，积分收敛。
选择题11-20补充
如果 \(f(x)\) 满足 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = 0\) 且 \(p > 1\)，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性是：
A. 一定收敛
B. 一定发散
C. 无法判断
D. 需要更多条件
答案：A
解释：极限审敛法1表明，如果 \(x^p f(x)\) 收敛到有限值且 \(p > 1\)，则积分收敛。若 \(\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} dx\) 的收敛性为：
A. 收敛
B. 发散
C. 无法判断
D. 收敛或发散取决于区间
答案：A
解释：\(\ln x\) 的增长被 \(x^{-2}\) 的快速下降抵消，因此积分收敛。\(\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx\) 的收敛性是：
A. 收敛
B. 发散
C. 无法判断
D. 与 \(x\) 是否为整数相关
答案：A
解释：这是条件收敛的典型例子，通过绝对收敛性验证其收敛性。判定 \(\int_a^b \frac{dx}{(x-a)^{1/2}}\) 的收敛性，其中 \(x = a\) 是瑕点：
A. 收敛
B. 发散
C. 需要更多条件
D. 无法判断
答案：A
解释：\(q = 1/2 < 1\)，根据比较审敛法2，该积分收敛。若 \(\int_a^b \frac{dx}{(x-a)^q}\) 发散，则以下 \(q\) 的值可能是：
A. \(q = 1\)
B. \(q > 1\)
C. \(q \geq 1\)
D. \(q \leq 1\)
答案：C
解释：根据比较审敛法2，当 \(q \geq 1\) 时，积分发散。设 \(f(x) = \frac{1}{(x-1)^q}\)，若 \(\int_1^b f(x) dx\) 收敛，则 \(q\) 满足：
A. \(q < 1\)
B. \(q = 1\)
C. \(q > 1\)
D. \(q \geq 1\)
答案：A
解释：根据比较审敛法2，当 \(q < 1\) 时，积分收敛。极限 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x)\) 存在且有限，以下结论正确的是：
A. \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 一定收敛
B. \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散
C. 如果 \(p > 1\)，积分收敛
D. 如果 \(p = 1\)，积分发散
答案：C
解释：根据极限审敛法1，\(p > 1\) 是积分收敛的关键条件。\(\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^2} dx\) 的收敛性是：
A. 收敛
B. 发散
C. 无法判断
D. 与区间取值有关
答案：A
解释：\(\arctan x\) 的增长有限且 \(x^{-2}\) 的下降速度较快，积分收敛。\(\int_1^{+\infty} \frac{e^x}{x^2} dx\) 的收敛性是：
A. 收敛
B. 发散
C. 无法判断
D. 需要具体计算
答案：B
解释：指数函数 \(e^x\) 的增长速度远远快于 \(x^{-2}\) 的下降速度，积分发散。如果 \(\int_a^b f(x) dx\) 绝对收敛，则：
A. 积分一定收敛
B. 积分一定发散
C. 绝对收敛无法保证收敛
D. 需要具体验证
答案：A
解释：绝对收敛性是反常积分收敛的充分条件。
选择题21-40
选择题21-30：理论扩展
若 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 收敛，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性为：
A. 必定收敛
B. 必定发散
C. 与 \(f(x)\) 的正负无关
D. 无法判断
答案：A
解释：根据定理5，绝对收敛的反常积分一定收敛。若 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 发散，但 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛，则可以说明：
A. 此情况不可能出现
B. 积分条件收敛
C. \(f(x)\) 在某点震荡较大
D. 被积函数需要进一步验证
答案：A
解释：绝对收敛是充分条件，发散则条件收敛或收敛均不成立。判定 \(\int_0^{1} \frac{\sin x}{x} dx\) 的收敛性：
A. 收敛
B. 发散
C. 条件收敛
D. 与 \(\sin x\) 的周期性无关
答案：A
解释：\(\sin x/x\) 在 \([0, 1]\) 上无瑕点，因此积分收敛。若 \(f(x) = \frac{1}{(x-a)^q}\) 且 \(q = 0.5\)，则 \(\int_a^b f(x) dx\) 的收敛性为：
A. 一定收敛
B. 一定发散
C. 依赖区间具体值
D. 与 \(q\) 的正负无关
答案：A
解释：\(q = 0.5 < 1\)，根据定理6，该积分收敛。若 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = c > 0\) 且 \(p = 1\)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的结论是：
A. 收敛
B. 发散
C. 条件收敛
D. 需要进一步验证
答案：B
解释：\(p = 1\) 时，\(f(x)\) 的下降速度不足以使积分收敛。判定 \(\int_a^b \frac{1}{(b-x)^q} dx\) 的收敛性，其中 \(q = 0.9\)：
A. 收敛
B. 发散
C. 需要区间分析
D. 与 \(q\) 是否整数无关
答案：A
解释：\(q < 1\) 时，积分收敛。若 \(f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^2}\)，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性为：
A. 收敛
B. 发散
C. 条件收敛
D. 与 \(\ln x\) 无关
答案：A
解释：\(f(x)\) 的下降速度足够快，使积分收敛。若 \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\)，则 \(\int_1^{+\infty} f(x) dx\) 的收敛性为：
A. 收敛
B. 发散
C. 条件收敛
D. 依赖区间
答案：B
解释：\(\ln x\) 的增长使积分发散。如果 \(\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 收敛，则 \(p\) 满足：
A. \(p > 1\)
B. \(p \leq 1\)
C. \(p = 1\)
D. \(p < 1\)
答案：A
解释：\(\frac{1}{x^p}\) 的下降速度需要 \(p > 1\) 才足够快保证收敛。判定 \(\int_1^{+\infty} \frac{e^{-x}}{x^2} dx\) 的收敛性：
A. 收敛
B. 发散
C. 无法判断
D. 条件收敛
答案：A
解释：\(e^{-x}\) 的快速下降使积分收敛。
选择题31-40：应用扩展
若 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散，则以下结论正确：
A. \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 必定发散
B. \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 不一定发散
C. \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 可能收敛
D. 需要进一步判断
答案：A
解释：绝对收敛是充分条件，若 \(f(x)\) 发散，绝对值也必发散。\(\int_0^{+\infty} \frac{\cos x}{1+x^2} dx\) 的收敛性是：
A. 收敛
B. 发散
C. 条件收敛
D. 与 \(\cos x\) 的周期性无关
答案：A
解释：\(1/(1+x^2)\) 的快速下降保证绝对收敛。若 \(\int_1^{+\infty} \frac{x^{1/3}}{x^2} dx\) 的收敛性是：
A. 收敛
B. 发散
C. 需要更复杂的验证
D. 条件收敛
答案：A
解释：被积函数等价于 \(x^{-5/3}\)，\(p > 1\) 保证积分收敛。\(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 条件收敛的含义是：
A. 积分收敛，但 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 发散
B. \(\int_a^{+\infty} f(x)\) 和 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 均收敛
C. \(\int_a^{+\infty} f(x)\) 和 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 均发散
D. 无法判断
答案：A
解释：条件收敛即积分本身收敛，但其绝对值发散。\(\int_a^b \frac{1}{(b-x)^q} dx\) 中，当 \(q = 1\) 时，积分：
A. 收敛
B. 发散
C. 条件收敛
D. 无法判断
答案：B
解释：\(q \geq 1\) 时，积分发散。若 \(\int_a^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^p} dx\) 收敛，则 \(p\) 满足：
A. \(p > 1\)
B. \(p \leq 1\)
C. \(p = 1\)
D. 无法判断
答案：A
解释：\(\ln x\) 的增长必须被充分高的 \(p\) 抵消，\(p > 1\) 时积分收敛。若 \(\int_a^b \frac{\ln x}{(x-a)^q} dx\) 收敛，则 \(q\) 满足：
A. \(q < 1\)
B. \(q = 1\)
C. \(q > 1\)
D. 依赖 \(\ln x\)
答案：A
解释：当 \(q < 1\) 时，积分收敛，\(\ln x\) 的增长不影响结果。判定 \(\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \sin x dx\) 的收敛性：
A. 收敛
B. 发散
C. 条件收敛
D. 无法判断
答案：A
解释：\(e^{-x^2}\) 的快速下降保证积分绝对收敛。若 \(\int_a^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^2} dx\) 发散，则：
A. \(p \leq 2\)
B. \(p > 2\)
C. \(p = 2\)
D. 需要具体验证
答案：A
解释：当 \(p \leq 2\) 时，\(\ln x\) 的下降不足以使积分收敛。\(\int_1^{+\infty} \frac{e^x}{x} dx\) 的收敛性为：
A. 发散
B. 收敛
C. 条件收敛
D. 与 \(e^x\) 的增长无关
答案：A
解释：\(e^x\) 的快速增长导致积分发散。
定理4（极限审敛法1）的扩展与讲解
定理4（极限审敛法1） 设函数 \( f(x) \) 在区间 \([a,+\infty)\) 上连续，且 \( f(x) \geq 0 \)。如果存在常数 \( p>1 \)，使得 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\infty\)，那么，反常积分 \( \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \) 收敛；如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = d > 0 \) (或 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = +\infty\))，那么反常积分 \( \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \) 发散。
证明：
收敛情况：
假设 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = c\) 且 \(p > 1\)。
根据极限的定义，存在充分大的 \( x_1 \)（\( x_1 \geq a, x_1 > 0 \)），当 \( x > x_1 \) 时，必有 \( |x^p f(x) - c| < 1 \)。
由此得 \( 0 \leq x^p f(x) < 1 + c \)。
令 \( 1+c = M > 0 \)，于是在区间 \( x_1 < x < +\infty \) 内不等式 \( 0 \leq f(x) < \frac{M}{x^p} \) 成立。
由比较审敛法1知 \(\int_{x_1}^{+\infty} f(x) \, dx\) 收敛。
因此，\(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 收敛。
发散情况：
假设 \(\lim_{x \to +\infty} x f(x) = d > 0\)（或 \(+\infty\)）。
存在充分大的 \( x_1 \)，当 \( x > x_1 \) 时，必有 \( |xf(x) - d| < \frac{d}{2} \)。
由此得 \( xf(x) > \frac{d}{2} \)。
令 \(\frac{d}{2} = N > 0\)，于是在区间 \( x_1 < x < +\infty \) 内不等式 \( f(x) \geq \frac{N}{x} \) 成立。
根据比较审敛法1知 \(\int_{x_1}^{+\infty} f(x) \, dx\) 发散。
因此，\(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 发散。
选择题
根据定理4，如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\infty\) 且 \(p > 1\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 无法判断
答案：B 解释：根据定理4，如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\infty\) 且 \(p > 1\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 收敛。
如果 \(\lim_{x \to +\infty} x f(x) = d > 0\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 无法判断
答案：A 解释：根据定理4，如果 \(\lim_{x \to +\infty} x f(x) = d > 0\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 发散。
在定理4中，如果 \(p \leq 1\)，那么定理4是否适用？
A. 适用
B. 不适用
C. 部分适用
D. 无法判断
答案：B 解释：定理4要求 \(p > 1\)，因此如果 \(p \leq 1\)，定理4不适用。
定理4中，函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,+\infty)\) 上的条件是什么？
A. \(f(x) \leq 0\)
B. \(f(x) \geq 0\)
C. \(f(x)\) 可以是任意值
D. \(f(x)\) 必须是连续的
答案：B 解释：定理4要求 \(f(x) \geq 0\) 且在区间 \([a,+\infty)\) 上连续。
如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = +\infty\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 无法判断
答案：A 解释：根据定理4，如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = +\infty\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 发散。
定理4中，\(c\) 的取值范围是什么？
A. \(c > 0\)
B. \(c < +\infty\)
C. \(c = 0\)
D. \(c\) 可以是任意值
答案：B 解释：定理4中，\(c\) 的取值范围是 \(c < +\infty\)。
如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = 0\) 且 \(p > 1\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 无法判断
答案：B 解释：根据定理4，如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = 0\) 且 \(p > 1\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 收敛。
定理4中，\(d\) 的取值范围是什么？
A. \(d > 0\)
B. \(d < +\infty\)
C. \(d = 0\)
D. \(d\) 可以是任意值
答案：A 解释：定理4中，\(d\) 的取值范围是 \(d > 0\)。
如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = 1\) 且 \(p > 1\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 无法判断
答案：B 解释：根据定理4，如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = 1\) 且 \(p > 1\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 收敛。
定理4中，\(x_1\) 的作用是什么？
A. 确定积分的下限
B. 确定积分的上限
C. 确定积分的收敛性
D. 确定积分的连续性
答案：A 解释：\(x_1\) 用于确定积分的下限，使得在 \(x > x_1\) 时，满足定理4的条件。
如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = 2\) 且 \(p > 1\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 无法判断
答案：B 解释：根据定理4，如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = 2\) 且 \(p > 1\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 收敛。
定理4中，\(M\) 的取值范围是什么？
A. \(M > 0\)
B. \(M < +\infty\)
C. \(M = 0\)
D. \(M\) 可以是任意值
答案：A 解释：定理4中，\(M\) 的取值范围是 \(M > 0\)。
如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = 0.5\) 且 \(p > 1\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 无法判断
答案：B 解释：根据定理4，如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = 0.5\) 且 \(p > 1\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 收敛。
定理4中，\(N\) 的取值范围是什么？
A. \(N > 0\)
B. \(N < +\infty\)
C. \(N = 0\)
D. \(N\) 可以是任意值
答案：A 解释：定理4中，\(N\) 的取值范围是 \(N > 0\)。
如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = 0\) 且 \(p \leq 1\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 无法判断
答案：C 解释：定理4要求 \(p > 1\)，因此如果 \(p \leq 1\)，定理4不适用，收敛性不确定。
定理4中，\(x_1\) 的取值范围是什么？
A. \(x_1 > a\)
B. \(x_1 < a\)
C. \(x_1 = a\)
D. \(x_1\) 可以是任意值
答案：A 解释：定理4中，\(x_1\) 的取值范围是 \(x_1 > a\)。
如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = 0\) 且 \(p = 1\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 无法判断
答案：C 解释：定理4要求 \(p > 1\)，因此如果 \(p = 1\)，定理4不适用，收敛性不确定。
定理4中，\(c\) 和 \(d\) 的关系是什么？
A. \(c > d\)
B. \(c < d\)
C. \(c = d\)
D. \(c\) 和 \(d\) 没有直接关系
答案：D 解释：定理4中，\(c\) 和 \(d\) 分别对应不同的极限情况，没有直接关系。
如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = 0\) 且 \(p < 1\)，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 的收敛性如何？
A. 发散
B. 收敛
C. 不确定
D. 无法判断
答案：C 解释：定理4要求 \(p > 1\)，因此如果 \(p < 1\)，定理4不适用，收敛性不确定。
定理4中，\(x_1\) 的作用是什么？
A. 确定积分的下限
B. 确定积分的上限
C. 确定积分的收敛性
D. 确定积分的连续性
答案：A 解释：\(x_1\) 用于确定积分的下限，使得在 \(x > x_1\) 时，满足定理4的条件。
一、知识点扩展与讲解
1. 极限审敛法1（定理4）
条件与结论：
对于函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) 。
当存在常数 \(p>1\) ，使得 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\infty\) 时，反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 收敛。这是因为根据极限的定义，能找到充分大的 \(x_1\) ，使得在 \(x > x_1\) 时，通过一系列推导得出 \(0 \leq f(x) < \frac{M}{x^p}\) （其中 \(M = 1 + c\) ），再由比较审敛法1可知 \(\int_{x_1}^{+\infty} f(x) \, dx\) 收敛，进而得出整个反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 收敛。
当 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = d > 0\) （或 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = +\infty\) ）时，反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 发散。同样通过找到充分大的 \(x_1\) ，得出在区间 \(x_1 < x < +\infty\) 内不等式 \(f(x) \geq \frac{N}{x}\) （其中 \(N = \frac{d}{2}\) ）成立，根据比较审敛法1知 \(\int_{x_1}^{+\infty} f(x) \, dx\) 发散，从而整个反常积分发散。
证明思路：
对于收敛情况，先利用极限定义得到关于 \(x^p f(x)\) 的不等式，进而得到 \(f(x)\) 与一个已知收敛的函数（形如 \(\frac{M}{x^p}\) ）的大小关系，借助比较审敛法1证明。
对于发散情况，也是先利用极限定义得到不等式，推出 \(f(x)\) 与一个已知发散的函数（形如 \(\frac{N}{x}\) ）的关系，再依据比较审敛法1得出结论。
2. 绝对收敛（定理5）
条件与结论：设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,+\infty)\) 上连续，如果反常积分 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 收敛，那么反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 也收敛。
证明思路：通过构造函数 \(\varphi (x)=\frac{1}{2}(f(x)+|f(x)|)\) ，分析其性质，利用已知的 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 收敛以及比较审敛法1，证明 \(\int_a^{+\infty} \varphi (x) dx\) 收敛，再根据 \(f(x)=2\varphi (x)-|f(x)|\) ，得出 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 是两个收敛的反常积分的差，从而证明其收敛。
3. 无界函数的反常积分的审敛法
比较审敛法2（定理6）：
对于函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x=a\) 为 \(f(x)\) 的瑕点。
若存在常数 \(M>0\) 及 \(q<1\) ，使得 \(f(x) \leq \frac{M}{(x-a)^q} \quad (a<x\leq b)\) ，则反常积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 收敛；若存在常数 \(N>0\) ，使得 \(f(x) \geq \frac{N}{x-a} \quad (a<x\leq b)\) ，则反常积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 发散。
极限审敛法2（定理7）：
对于函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b]\) 上连续且 \(f(x)\geq 0\) ，\(x=a\) 为 \(f(x)\) 的瑕点。
若存在常数 \(0<q<1\) ，使得 \(\lim_{x\to a^+}(x-a)^q f(x)\) 存在，则反常积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 收敛；若 \(\lim_{x\to a^+}(x-a)f(x)=d>0 \quad (\text{或} \lim_{x\to a^+}(x-a)f(x)=+\infty)\) ，则反常积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 发散。
二、选择题
题目1：已知函数 \(f(x)\) 在区间 \([2,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，若 \(\lim_{x \to +\infty} x^2 f(x) = 5\) ，则反常积分 \(\int_2^{+\infty} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：A 解释：因为已知函数 \(f(x)\) 满足在区间 \([2,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，又 \(\lim_{x \to +\infty} x^2 f(x) = 5\) ，这里 \(p = 2 > 1\) 且极限值为有限值，根据极限审敛法1（定理4），可知反常积分 \(\int_2^{+\infty} f(x) \, dx\) 一定收敛。
题目2：设函数 \(f(x)\) 在区间 \([1,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，若 \(\lim_{x \to +\infty} x f(x) = +\infty\) ，则反常积分 \(\int_1^{+\infty} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：B 解释：由函数 \(f(x)\) 在区间 \([1,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，以及 \(\lim_{x \to +\infty} x f(x) = +\infty\) ，根据极限审敛法1（定理4），当 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = +\infty\) （这里 \(p = 1\) ）时，反常积分 \(\int_1^{+\infty} f(x) \, dx\) 一定发散。
题目3：函数 \(f(x)\) 在区间 \([3,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，若 \(\lim_{x \to +\infty} x^{1.5} f(x) = 2\) ，则反常积分 \(\int_3^{+\infty} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：A 解释：因为函数 \(f(x)\) 满足在区间 \([3,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，且 \(\lim_{x \to +\infty} x^{1.5} f(x) = 2\) ，其中 \(p = 1.5 > 1\) 且极限值为有限值，依据极限审敛法1（定理4），反常积分 \(\int_3^{+\infty} f(x) \, dx\) 一定收敛。
题目4：已知函数 \(f(x)\) 在区间 \([4,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，若 \(\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0\) ，则反常积分 \(\int_4^{+\infty} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：C 解释：虽然函数 \(f(x)\) 在区间 \([4,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，且 \(\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0\) ，但仅由此条件无法直接依据极限审敛法1（定理4）判断反常积分 \(\int_4^{+\infty} f(x) \, dx\) 的收敛性，因为极限审敛法1是在特定的极限形式（如 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x)\) ，\(p>1\) 等情况）下判断收敛性的，这里的条件不满足其明确的判断条件，所以无法确定其收敛性。
题目5：设函数 \(f(x)\) 在区间 \([5,+\infty)\) 上连续，若反常积分 \(\int_5^{+\infty} |f(x)| dx\) 收敛，则反常积分 \(\int_5^{+\infty} f(x) dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：A 解释：根据定理5，若函数 \(f(x)\) 在区间 \([5,+\infty)\) 上连续，且反常积分 \(\int_5^{+\infty} |f(x)| dx\) 收敛，那么反常积分 \(\int_5^{+\infty} f(x) dx\) 一定收敛，这就是绝对收敛的性质。
题目6：函数 \(f(x)\) 在区间 \((1,3]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 1\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，若存在常数 \(M>0\) 及 \(q = 0.5 < 1\) ，使得 \(f(x) \leq \frac{M}{(x - 1)^{0.5}}\) ，则反常积分 \(\int_1^{3} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：A 解释：因为函数 \(f(x)\) 满足在区间 \((1,3]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 1\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，且存在常数 \(M>0\) 及 \(q = 0.5 < 1\) ，使得 \(f(x) \leq \frac{M}{(x - 1)^{0.5}}\) ，根据比较审敛法2（定理6），可知反常积分 \(\int_1^{3} f(x) \, dx\) 一定收敛。
题目7：设函数 \(f(x)\) 在区间 \((2,4]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 2\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，若存在常数 \(N>0\) ，使得 \(f(x) \geq \frac{N}{x - 2}\) ，则反常积分 \(\int_2^{4} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：B 解释：由于函数 \(f(x)\) 在区间 \((2,4]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 2\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，且存在常数 \(N>0\) ，使得 \(f(x) \geq \frac{N}{x - 2}\) ，依据比较审敛法2（定理6），可知反常积分 \(\int_2^{4} f(x) \, dx\) 一定发散。
题目8：函数 \(f(x)\) 在区间 \((3,5]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 3\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，若 \(\lim_{x\to 3^+}(x - 3)^{0.8} f(x) = 3\) ，则反常积分 \(\int_3^{5} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：A 解释：因为函数 \(f(x)\) 在区间 \((3,5]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 3\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，且 \(\lim_{x\to 3^+}(x - 3)^{0.8} f(x) = 3\) ，其中 \(0<q = 0.8<1\) 且极限存在，根据极限审敛法2（定理7），可知反常积分 \(\int_3^{5} f(x) \, dx\) 一定收敛。
题目9：设函数 \(f(x)\) 在区间 \((4,6]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 4\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，若 \(\lim_{x\to 4^+}(x - 4)f(x) = +\infty\) ，则反常积分 \(\int_4^{6} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：B 解释：鉴于函数 \(f(x)\) 在区间 \((4,6]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 4\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，且 \(\lim_{x\to 4^+}(x - 4)f(x) = +\infty\) ，依据极限审敛法2（定理7），可知反常积分 \(\int_4^{6} f(x) \, dx\) 一定发散。
题目10：已知函数 \(f(x)\) 在区间 \([6,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，若 \(\lim_{x \to +\infty} x^{3} f(x) = 10\) ，则反常积分 \(\int_6^{+\infty} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：A 解释：因为函数 \(f(x)\) 满足在区间 \([6,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，且 \(\lim_{x \to +\infty} x^{3} f(x) = 10\) ，其中 \(p = 3 > 1\) 且极限值为有限值，根据极限审敛法1（定理4），可知反常积分 \(\int_6^{+\infty} f(x) \, dx\) 一定收敛。
题目11：设函数 \(f(x)\) 在区间 \([7,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，若 \(\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 1\) ，则反常积分 \(\int_7^{+\infty} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：B 解释：由函数 \(f(x)\) 在区间 \([7,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，以及 \(\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 1\) ，根据极限审敛法1（定理4），当 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = d > 0\) （这里 \(p = 1\) ）时，反常积分 \(\int_7^{+\infty} f(x) \, dx\) 一定发散。
题目12：函数 \(f(x)\) 在区间 \([8,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，若 \(\lim_{x \to +\infty} x^{1.2} f(x) = 0\) ，则反常积分 \(\int_8^{+\infty} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：C 解释：虽然函数 \(f(x)\) 在区间 \([8,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，且 \(\lim_{x \to +\infty} x^{1.2} f(x) = 0\) ，但仅由此条件无法直接依据极限审敛法1（定理4）判断反常积分 \(\int_8^{+\infty} f(x) \, dx\) 的收敛性，因为极限审敛法1是在特定的极限形式（如 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x)\) ，\(p>1\) 等情况）下判断收敛性的，这里的条件不满足其明确的判断条件，所以无法确定其收敛性。
题目13：已知函数 \(f(x)\) 在区间 \((9,11]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 9\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，若存在常数 \(M>0\) 及 \(q = 0.3 < 1\) ，使得 \(f(x) \leq \frac{M}{(x - 9)^{0.3}}\) ，则反常积分 \(\int_9^{11} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：A 解释：因为函数 \(f(x)\) 满足在区间 \((9,11]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 9\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，且存在常数 \(M>0\) 及 \(q = 0.3 < 1\) ，使得 \(f(x) \leq \frac{M}{(x - 9)^{0.3}}\) ，根据比较审敛法2（定理6），可知反常积分 \(\int_9^{11} f(x) \, dx\) 一定收敛。
题目14：设函数 \(f(x)\) 在区间 \((10,12]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 10\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，若存在常数 \(N>0\) ，使得 \(f(x) \geq \frac{N}{x - 10}\) ，则反常积分 \(\int_{10}^{12} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：B 解释：由于函数 \(f(x)\) 在区间 \((10,12]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 10\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，且存在常数 \(N>0\) ，使得 \(f(x) \geq \frac{N}{x - 10}\) ，依据比较审敛法2（定理6），可知反常积分 \(\int_{10}^{12} f(x) \, dx\) 一定发散。
题目15：函数 \(f(x)\) 在区间 \((11,13]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 11\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，若 \(\lim_{x\to 11^+}(x - 11)^{0.6} f(x) = 2\) ，则反常积分 \(\int_{11}^{13} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：A 解释：因为函数 \(f(x)\) 在区间 \((11,13]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 11\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，且 \(\lim_{x\to 11^+}(x - 11)^{0.6} f(x) = 2\) ，其中 \(0<q = 0.6<1\) 且极限存在，根据极限审敛法2（定理7），可知反常积分 \(\int_{11}^{13} f(x) \, dx\) 一定收敛。
题目16：设函数 \(f(x)\) 在区间 \((12,14]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 12\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，若 \(\lim_{x\to 12^+}(x - 12)f(x) = +\infty\) ，则反常积分 \(\int_{12}^{14} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：B 解释：鉴于函数 \(f(x)\) 在区间 \((12,14]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 12\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，且 \(\lim_{x\to 12^+}(x - 12)f(x) = +\infty\) ，依据极限审敛法2（定理7），可知反常积分 \(\int_{12}^{14} f(x) \, dx\) 一定发散。
题目17：已知函数 \(f(x)\) 在区间 \([13,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，若 \(\lim_{x \to +\infty} x^{2.5} f(x) = 8\) ，则反常积分 \(\int_{13}^{+\infty} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：A 解释：因为函数 \(f(x)\) 满足在区间 \([13,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，且 \(\lim_{x \to +\infty} x^{2.5} f(x) = 8\) ，其中 \(p = 2.5 > 1\) 且极限值为有限值，根据极限审敛法1（定理4），可知反常积分 \(\int_{13}^{+\infty} f(x) \, dx\) 一定收敛。
题目18：设函数 \(f(x)\) 在区间 \([14,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，若 \(\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0.5\) ，则反常积分 \(\int_{14}^{+\infty} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：B 解释：由函数 \(f(x)\) 在区间 \([14,+\infty)\) 上连续且 \(f(x) \geq 0\) ，以及 \(\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0.5\) ，根据极限审敛法1（定理4），当 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = d > 0\) （这里 \(p = 1\) ）时，反常积分 \(\int_{14}^{+\infty} f(x) \, dx\) 一定发散。
题目19：函数 \(f(x)\) 在区间 \((15,17]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 15\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，若存在常数 \(M>0\) 及 \(q = 0.4 < 1\) ，使得 \(f(x) \leq \frac{M}{(x - 15)^{0.4}}\) ，则反常积分 \(\int_{15}^{17} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：A 解释：因为函数 \(f(x)\) 满足在区间 \((15,17]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 15\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，且存在常数 \(M>0\) 及 \(q = 0.4 < 1\) ，使得 \(f(x) \leq \frac{M}{(x - 15)^{0.4}}\) ，根据比较审敛法2（定理6），可知反常积分 \(\int_{15}^{17} f(x) \, dx\) 一定收敛。
题目20：设函数 \(f(x)\) 在区间 \((16,18]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 16\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，若存在常数 \(N>0\) ，使得 \(f(x) \geq \frac{N}{x - 16}\) ，则反常积分 \(\int_{16}^{18} f(x) \, dx\) （ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 无法确定其收敛性 D. 条件不足，无法判断
答案：B 解释：由于函数 \(f(x)\) 在区间 \((16,18]\) 上连续且 \(f(x)\geq0\) ，\(x = 16\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，且存在常数 \(N>0\) ，使得 \(f(x) \geq \frac{N}{x - 16}\) ，依据比较审敛法2（定理6），可知反常积分 \(\int_{16}^{18} f(x) \, dx\) 一定发散。
例7 判定椭圆积分
\( \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}} \quad (k^2<1) \)
的收敛性。
解 这里 \(x=1\) 是被积函数的瑕点。由于
\( \lim_{x\to 1^-}(1-x)^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}} = \lim_{x\to 1^-} \frac{1}{\sqrt{(1+x)(1-k^2x^2)}} = \frac{1}{\sqrt{2(1-k^2)}}, \)
根据极限审敛法2，所给反常积分收敛。
对于无界函数的反常积分，当被积函数在所讨论的区间上可取正值也可取负值时，有与定理5相类似的结论，在此不再详述。
例8 判定反常积分 \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\sin\frac{1}{x} \, dx\) 的收敛性。
解 因为 \( \left| \frac{1}{\sqrt{x}} \sin \frac{1}{x} \right| \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \)，而 \( \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{x}}} dx \) 收敛，根据比较审敛法2，反常积分 \( \int_{0}^{1} \left| \frac{1}{\sqrt{x}} \sin \frac{1}{x} \right| dx \) 收敛，从而反常积分 \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \sin \frac{1}{x} dx \) 也收敛。
三、Γ函数
下面介绍在理论上和应用上都有重要意义的Γ函数。这函数的定义是 \( Γ(s) = \int_{0}^{∞} e^{-x} x^{s-1} dx \quad (s>0). \tag{5-1} \)
首先讨论(5-1)式右端积分的收敛性问题。这个积分的积分区间为无穷，又当 \( s-1<0 \) 时 \( x=0 \) 是被积函数的极点。为此，分别讨论下列两个积分 \( I_1 = \int_{0}^{1} e^{-x} x^{s-1} dx, \quad I_2 = \int_{1}^{∞} e^{-x} x^{s-1} dx \) 的收敛性。
先讨论 \( I_1 \)。当 \( s≥1 \) 时，\( I_1 \) 是定积分；当 \( 0≤s<1 \) 时，因为 \( e^{-x} · x^{s-1} = \frac{1}{e^x} \cdot \frac{1}{x^{s-1}} < \frac{1}{x^{s-1}}, \) 而 \( 1-s<1 \)，根据比较审敛法2，反常积分 \( I_1 \) 收敛。
再讨论 \( I_2 \)。因为 \( \lim_{x→∞} x^2 · (e^{-x} x^{s-1}) = \lim_{x→∞} \frac{x^{s+1}}{e^x} = 0, \) 根据极限审敛法1，\( I_2 \) 也收敛。
由以上讨论即得反常积分 \( \int_{0}^{∞} e^{-x} x^{s-1} dx \) 对 \( s>0 \) 均收敛。Γ函数的图形如图5-11所示。
其次讨论Γ函数的几个重要性质。
递推公式 \( Γ(s+1)=sΓ(s) \quad (s>0). \)
证 应用分部积分法，有 \( Γ(s+1)=\int_{0}^{∞} e^{-x} x^{s-1} dx = - \int_{0}^{∞} x^{s-1} d(e^{-x}) \) \( = [-x^{s-1}]_{0}^{∞} + s \int_{0}^{∞} e^{-x} x^{s-1} dx = sΓ(s), \) 其中 \( \lim_{x→∞} x^{s-1} = 0 \) 可由洛必达法则求得。
显然， \( Γ(1) = \int_{0}^{∞} e^{-x} dx = 1. \)
反复运用递推公式，便有 \( \Gamma(2) = 1 \cdot \Gamma(1) = 1, \) \( \Gamma(3) = 2 \cdot \Gamma(2) = 2, \) \( \Gamma(4) = 3 \cdot \Gamma(3) = 6, \) ………
一般地，对任何正整数 \( n \)，有 \( \Gamma(n+1) = n!, \) 所以,我们可以把 \(\Gamma\) 函数看成是阶乘的推广。
当 \( s \to 0^+ \) 时, \(\Gamma(s) \to +\infty\)。
证 因为 \( \Gamma(s) = \frac{\Gamma(s+1)}{s}, \quad \Gamma(1) = 1, \) 所以当 \( s \to 0^+ \) 时, \(\Gamma(s) \to +\infty\)。
\(\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin \pi s} (0 \leq s < 1)\)。
这个公式称为余元公式，在此我们不作证明。当 \( s = \frac{1}{2} \) 时，由余元公式可得 \( \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}. \)
在 \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{n-1} dx\) 中，作代换 \( x = u^2 \)，有 \( \Gamma(s) = 2 \int_0^{+\infty} e^{-u^2} u^{2n-1} du. \tag{5-2} \) 再令 \( 2s-1=t \) 或 \( s = \frac{1+t}{2} \)，即有 \( \int_0^{+\infty} e^{-u^2} u^t du = \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1+t}{2}\right) \quad (t > -1). \)
上式左端是实际应用中常见的积分，它的值可以通过上述式用 \(\Gamma\) 函数计算出来。在（5-2）中，令 \( s = \frac{1}{2} \)，得 \( 2 \int_0^{+\infty} e^{-u^2} du = \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}. \)
从而
① \(\Gamma\) 函数在 \( s>0 \) 时连续。
\( \int_{0}^{\infty} e^{-u^2} du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. \)
上式左端的积分是在概率论中常用的积分。
习题 5-5
判断下列反常积分的收敛性：
(1) \( \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} dx; \) (2) \( \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x\sqrt{x^2 + 1}}; \) (3) \( \int_{1}^{\infty} \sin \frac{1}{x^2} dx; \) (4) \( \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1 + x |\sin x|}; \) (5) \( \int_{1}^{\infty} \frac{\arctan x}{1 + x^3} dx; \) (6) \( \int_{1}^{2} \frac{dx}{(\ln x)^3}; \) (7) \( \int_{0}^{1} \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^4}} dx; \) (8) \( \int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2 - 3x + 2}}. \)
设反常积分 \( \int_{1}^{\infty} f(x) dx \) 收敛，证明反常积分 \( \int_{1}^{\infty} \frac{f(x)}{x} dx \) 绝对收敛。
用 \(\Gamma\) 函数表示下列积分，并指出这些积分的收敛范围：
(1) \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^n} dx \quad (n > 0); \) (2) \( \int_{0}^{1} (\ln \frac{1}{x})^p dx; \) (3) \( \int_{0}^{\infty} x^{m-n} e^{-x^n} dx \quad (n \neq 0). \)
证明 \( \Gamma \left( \frac{2k+1}{2} \right) = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdot (2k-1) \sqrt{\pi}}{2^k}, \) 其中 \( k \in \mathbb{N}_+ \)。
证明以下各式（其中 \( n \in \mathbb{N}_+ \)）：
(1) \( 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots \cdot 2n = 2^n \Gamma(n+1); \) (2) \( 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdot (2n-1) = \frac{\Gamma(2n)}{2^{n-1} \Gamma(n)}; \) (3) \( \sqrt{\pi} \Gamma(2n) = 2^{2n-1} \Gamma(n) \Gamma \left( n + \frac{1}{2} \right) \) （勒让德（Legendre）倍量公式）。
以下是对反常积分的审敛法以及Γ函数的扩展讲解，并基于此内容设计了20个选择题，包括答案和解释。
反常积分的审敛法概述
反常积分是积分上限趋于无穷或者被积函数在积分区间内存在瑕点（如趋于无穷）时的积分形式。在分析反常积分是否收敛时，常用的方法包括比较审敛法和极限审敛法。
无穷限反常积分的审敛法
定理1：单调有界准则 若函数 \(f(x) \geq 0\) 且 \(F(x) = \int_a^x f(t) dt\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上有界，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
定理2：比较审敛原理 通过比较 \(f(x)\) 与一个容易判定的函数 \(g(x)\)，利用 \(g(x)\) 的收敛性或发散性来推断 \(f(x)\) 的行为。
定理3：比较审敛法1 当 \(f(x) \leq \frac{M}{x^p}\) 且 \(p > 1\) 时，\(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛；当 \(f(x) \geq \frac{N}{x}\) 时，\(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散。
无界函数的反常积分的审敛法
定理6：比较审敛法2 类似于无穷限的情形，但适用于函数在区间的某个端点趋于无穷大。
定理7：极限审敛法2 如果 \(\lim_{x\to a^+} (x-a)^q f(x)\) 存在，且 \(0 < q < 1\)，则积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 收敛；若该极限趋于正无穷，则积分发散。
绝对收敛
对于取值可正可负的反常积分，只要其绝对值积分 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 收敛，则原积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 必收敛。
Γ函数概述
Γ函数是反常积分的一个重要实例，用于推广阶乘的概念，其定义为 \( \Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-x} x^{s-1} dx \quad (s > 0). \)
重要性质
递推公式 \( \Gamma(s+1) = s \Gamma(s). \)
与阶乘的关系 \( \Gamma(n+1) = n! \quad (n \in \mathbb{N}^+). \)
余元公式 \( \Gamma(s) \Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin \pi s} \quad (0 < s < 1). \)
特殊值 \( \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}. \)
选择题及答案
基础选择题
反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛的必要条件是：
A. \(f(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上单调。
B. \(F(x) = \int_a^x f(t) dt\) 在 \([a, +\infty)\) 上有上界。
C. \(f(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上有界。
D. \(f(x) > 0\) 且连续。 答案：B 解释：根据定理1，若 \(F(x)\) 有上界，则反常积分收敛。
比较审敛法1中，\(\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 收敛的条件是：
A. \(p \geq 1\)。
B. \(p = 1\)。
C. \(p > 1\)。
D. \(p < 1\)。 答案：C 解释：\(p > 1\) 时积分收敛，\(p \leq 1\) 时发散。
Γ函数的定义域是：
A. \(s \in \mathbb{R}\)。
B. \(s > 0\)。
C. \(s \geq 0\)。
D. \(s < 0\)。 答案：B 解释：Γ函数定义为 \(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-x} x^{s-1} dx\)，积分对 \(s > 0\) 收敛。
Γ函数递推公式的推导中用到的数学工具是：
A. 泰勒展开。
B. 分部积分。
C. 洛必达法则。
D. 微分方程。 答案：B 解释：递推公式 \(\Gamma(s+1) = s \Gamma(s)\) 是通过分部积分得出的。
\(\Gamma(2)\) 的值为：
A. 1。
B. 2。
C. 4。
D. 3。 答案：A 解释：\(\Gamma(2) = 1 \cdot \Gamma(1) = 1\)。
综合选择题
若 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\infty\) 且 \(p > 1\)，则：
A. \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
B. \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散。
C. \(f(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 单调。
D. 无法确定。 答案：A 解释：根据极限审敛法1，满足条件时积分收敛。
若 \(\Gamma(s) \Gamma(1-s)\)，下列哪个结论是正确的？
A. 等于 \(\sin \pi s\)。
B. 等于 \(\frac{\pi}{\sin \pi s}\)。
C. 等于 \(e^{\pi s}\)。
D. 等于 \(\ln \pi\)。 答案：B 解释：余元公式 \(\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin \pi s}\)。
进一步选择题
对于反常积分 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\)，下列关于 \(p\) 的判断正确的是：
A. 当 \(p > 0\) 时，积分收敛。
B. 当 \(p > 1\) 时，积分收敛。
C. 当 \(p < 1\) 时，积分发散。
D. 当 \(p = 1\) 时，积分发散。 答案：B 解释：当 \(p > 1\) 时，积分收敛；当 \(p \leq 1\) 时，积分发散。
在区间 \([a, +\infty)\) 上，如果 \(f(x) \leq g(x)\) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，那么：
A. \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散。
B. \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
C. 无法判断 \(f(x)\) 的积分是否收敛。
D. 以上均错误。 答案：A 解释：根据比较审敛原理，如果较大的函数积分发散，则较小的函数积分也必发散。
下列哪个积分是收敛的？
A. \(\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} dx\)。
B. \(\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x} dx\)。
C. \(\int_1^{+\infty} \frac{x}{\ln x} dx\)。
D. \(\int_1^{+\infty} \ln(\ln x) dx\)。 答案：A 解释：\(\ln x\) 增长速度慢于 \(x^2\)，所以积分收敛。其他选项积分均发散。
Γ函数满足递推公式 \(\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)\)，则 \(\Gamma(5)\) 的值是：
A. 24。
B. 120。
C. 6。
D. 12。 答案：B 解释：\(\Gamma(5) = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \cdot 5 = 120\)。
若 \(\int_0^\infty e^{-x} x^{s-1} dx\) 表示 Γ函数，则 \(s \to 0^+\) 时，Γ函数的行为是：
A. 趋于有限值。
B. 趋于零。
C. 趋于无穷大。
D. 以上都不对。 答案：C 解释：当 \(s \to 0^+\) 时，\(\Gamma(s) = \frac{\Gamma(s+1)}{s}\)，因此趋于无穷大。
若 \(f(x) \geq 0\) 且 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 收敛，则：
A. \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
B. \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散。
C. 无法确定。
D. 必定绝对发散。 答案：A 解释：根据定理5，绝对收敛的积分必然收敛。
极限审敛法中，若 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = +\infty\) 且 \(p > 1\)，则：
A. \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
B. \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散。
C. 无法判断。
D. 必定单调收敛。 答案：B 解释：根据极限审敛法，当极限趋于无穷时，积分发散。
下列哪个积分发散？
A. \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}\)。
B. \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{1.5}} dx\)。
C. \(\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} dx\)。
D. \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx\)。 答案：A 解释：\(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}\) 的被积函数在 \(x=0\) 处趋于无穷，导致发散。
下列关于 Γ函数的说法正确的是：
A. \(\Gamma(s)\) 在 \(s \leq 0\) 时有定义。
B. \(\Gamma(s)\) 是一个周期函数。
C. \(\Gamma(s)\) 是阶乘函数的连续推广。
D. \(\Gamma(s)\) 是单调递增函数。 答案：C 解释：Γ函数推广了阶乘的定义，适用于非整数。
若 \(f(x) \leq \frac{1}{(x-a)^{0.5}}\) 且 \(x=a\) 为瑕点，则积分 \(\int_a^b f(x) dx\)：
A. 收敛。
B. 发散。
C. 无法判断。
D. 条件不足。 答案：A 解释：当 \(q < 1\) 时，根据比较审敛法2，积分收敛。
余元公式 \(\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin \pi s}\) 中，下列哪个条件必须满足？
A. \(s \in \mathbb{Z}\)。
B. \(s > 1\)。
C. \(0 < s < 1\)。
D. \(s > 0\)。 答案：C 解释：余元公式的定义域是 \(0 < s < 1\)。
下列哪个积分是发散的？
A. \(\int_0^\infty e^{-x} dx\)。
B. \(\int_0^1 \frac{dx}{x^2}\)。
C. \(\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^3}\)。
D. \(\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^2} dx\)。 答案：B 解释：\(x^2\) 在 \(x=0\) 处导致积分发散。
下列关于 Γ函数的计算正确的是：
A. \(\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)。
B. \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \pi\)。
C. \(\Gamma(3) = 3\)。
D. \(\Gamma(4) = 6\)。 答案：D 解释：\(\Gamma(4) = 3! = 6\)。
以下哪个积分的值等于 \(\sqrt{\pi}\)？
A. \(\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx\)。
B. \(\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \, 2 dx\)。
C. \(\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \, dx^2\)。
D. \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx\)。 答案：D 解释：\(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}\)。
若 \(s \to 0^+\)，则 \(\Gamma(s)\) 的增长速度：
A. 比 \(e^s\) 快。
B. 比 \(1/s\) 慢。
C. 等价于 \(1/s\)。
D. 不确定。 答案：C 解释：\(\Gamma(s) = \frac{1}{s}\) 的增长速度与 \(1/s\) 相同。
设 \(\Gamma(2k+1)\)，其表达式为：
A. \((2k)!\)。
B. \(2^k k! \sqrt{\pi}\)。
C. \(\frac{\pi}{k}\)。
D. 无法表示。 答案：B 解释：\(\Gamma(2k+1) = 2^k k! \sqrt{\pi}\)
是阶乘和 \(\pi\) 的组合形式。
选择题
定理1 的主要内容是什么？
A. 反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛的条件是 \(f(x) \geq 0\)。
B. 反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛的条件是 \(F(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上有上界。
C. 反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛的条件是 \(f(x) \leq g(x)\)。
D. 反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛的条件是 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上连续。
答案：B 解释：定理1指出，如果 \(f(x) \geq 0\) 且 \(F(x) = \int_a^x f(t) dt\) 在 \([a,+\infty)\) 上有上界，则反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
定理2 的比较审敛原理适用于什么情况？
A. \(f(x) \geq g(x)\) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛。
B. \(f(x) \leq g(x)\) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛。
C. \(f(x) \geq g(x)\) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散。
D. \(f(x) \leq g(x)\) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散。
答案：B 解释：定理2指出，如果 \(0 \leq f(x) \leq g(x)\) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 也收敛。
定理3 的比较审敛法1适用于什么情况？
A. \(f(x) \leq \frac{M}{x^p}\) 且 \(p \leq 1\)。
B. \(f(x) \leq \frac{M}{x^p}\) 且 \(p > 1\)。
C. \(f(x) \geq \frac{N}{x}\) 且 \(p > 1\)。
D. \(f(x) \geq \frac{N}{x}\) 且 \(p \leq 1\)。
答案：B 解释：定理3指出，如果 \(f(x) \leq \frac{M}{x^p}\) 且 \(p > 1\)，则反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
定理4 的极限审敛法1适用于什么情况？
A. \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\infty\) 且 \(p \leq 1\)。
B. \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\infty\) 且 \(p > 1\)。
C. \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = d > 0\) 且 \(p > 1\)。
D. \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = d > 0\) 且 \(p \leq 1\)。
答案：B 解释：定理4指出，如果 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\infty\) 且 \(p > 1\)，则反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
定理5 的主要内容是什么？
A. 反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛的条件是 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 收敛。
B. 反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛的条件是 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 发散。
C. 反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛的条件是 \(f(x) \geq 0\)。
D. 反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛的条件是 \(f(x) \leq 0\)。
答案：A 解释：定理5指出，如果反常积分 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 收敛，则反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 也收敛。
定理6 的比较审敛法2适用于什么情况？
A. \(f(x) \leq \frac{M}{(x-a)^q}\) 且 \(q \geq 1\)。
B. \(f(x) \leq \frac{M}{(x-a)^q}\) 且 \(q < 1\)。
C. \(f(x) \geq \frac{N}{x-a}\) 且 \(q \geq 1\)。
D. \(f(x) \geq \frac{N}{x-a}\) 且 \(q < 1\)。
答案：B 解释：定理6指出，如果 \(f(x) \leq \frac{M}{(x-a)^q}\) 且 \(q < 1\)，则反常积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 收敛。
定理7 的极限审敛法2适用于什么情况？
A. \(\lim_{x \to a^+} (x-a)^q f(x) = c\) 且 \(q \geq 1\)。
B. \(\lim_{x \to a^+} (x-a)^q f(x) = c\) 且 \(0 < q < 1\)。
C. \(\lim_{x \to a^+} (x-a) f(x) = d > 0\) 且 \(q \geq 1\)。
D. \(\lim_{x \to a^+} (x-a) f(x) = d > 0\) 且 \(0 < q < 1\)。
答案：B 解释：定理7指出，如果 \(\lim_{x \to a^+} (x-a)^q f(x) = c\) 且 \(0 < q < 1\)，则反常积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 收敛。
Γ函数的定义是什么？
A. \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{s-1} dx\) (s > 0)。
B. \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{s} dx\) (s > 0)。
C. \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{s-1} dx\) (s < 0)。
D. \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{s} dx\) (s < 0)。
答案：A 解释：Γ函数的定义是 \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{s-1} dx\) (s > 0)。
Γ函数的递推公式是什么？
A. \(\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)\) (s > 0)。
B. \(\Gamma(s+1) = (s+1)\Gamma(s)\) (s > 0)。
C. \(\Gamma(s+1) = s\Gamma(s+1)\) (s > 0)。
D. \(\Gamma(s+1) = (s+1)\Gamma(s+1)\) (s > 0)。
答案：A 解释：Γ函数的递推公式是 \(\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)\) (s > 0)。
Γ函数在 \(s \to 0^+\) 时的行为是什么？
A. \(\Gamma(s) \to 0\)。
B. \(\Gamma(s) \to 1\)。
C. \(\Gamma(s) \to +\infty\)。
D. \(\Gamma(s) \to -\infty\)。
答案：C 解释：当 \(s \to 0^+\) 时，\(\Gamma(s) \to +\infty\)。
Γ函数的余元公式是什么？
A. \(\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin \pi s}\) (0 < s < 1)。
B. \(\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\cos \pi s}\) (0 < s < 1)。
C. \(\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\tan \pi s}\) (0 < s < 1)。
D. \(\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\cot \pi s}\) (0 < s < 1)。
答案：A 解释：Γ函数的余元公式是 \(\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin \pi s}\) (0 < s < 1)。
Γ函数在 \(s = \frac{1}{2}\) 时的值是什么？
A. \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \pi\)。
B. \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\)。
C. \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2}\)。
D. \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)。
答案：B 解释：Γ函数在 \(s = \frac{1}{2}\) 时的值是 \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\)。
Γ函数的性质之一是什么？
A. \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{s} dx\) (s > 0)。
B. \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{s-1} dx\) (s > 0)。
C. \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{s} dx\) (s < 0)。
D. \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{s-1} dx\) (s < 0)。
答案：B 解释：Γ函数的定义是 \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{s-1} dx\) (s > 0)。
Γ函数的递推公式可以用来计算什么？
A. 阶乘。
B. 平方根。
C. 对数。
D. 指数。
答案：A 解释：Γ函数的递推公式可以用来计算阶乘。
Γ函数在 \(s \to +\infty\) 时的行为是什么？
A. \(\Gamma(s) \to 0\)。
B. \(\Gamma(s) \to 1\)。
C. \(\Gamma(s) \to +\infty\)。
D. \(\Gamma(s) \to -\infty\)。
答案：C 解释：当 \(s \to +\infty\) 时，\(\Gamma(s) \to +\infty\)。
Γ函数的余元公式可以用来计算什么？
A. 三角函数的值。
B. 对数的值。
C. 指数的值。
D. 阶乘的值。
答案：A 解释：Γ函数的余元公式可以用来计算三角函数的值。
Γ函数在 \(s = 1\) 时的值是什么？
A. \(\Gamma(1) = 0\)。
B. \(\Gamma(1) = 1\)。
C. \(\Gamma(1) = \pi\)。
D. \(\Gamma(1) = \sqrt{\pi}\)。
答案：B 解释：Γ函数在 \(s = 1\) 时的值是 \(\Gamma(1) = 1\)。
Γ函数的递推公式可以用来计算什么？
A. 阶乘。
B. 平方根。
C. 对数。
D. 指数。
答案：A 解释：Γ函数的递推公式可以用来计算阶乘。
Γ函数在 \(s \to 0^+\) 时的行为是什么？
A. \(\Gamma(s) \to 0\)。
B. \(\Gamma(s) \to 1\)。
C. \(\Gamma(s) \to +\infty\)。
D. \(\Gamma(s) \to -\infty\)。
答案：C 解释：当 \(s \to 0^+\) 时，\(\Gamma(s) \to +\infty\)。
Γ函数的余元公式可以用来计算什么？
A. 三角函数的值。
B. 对数的值。
C. 指数的值。
D. 阶乘的值。
答案：A 解释：Γ函数的余元公式可以用来计算三角函数的值。
知识点讲解：
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1：
对于在区间\([a, +\infty)\)上连续且\(f(x) \geq 0\)的函数\(f(x)\)，定义\(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\)。若\(F(x)\)在\([a, +\infty)\)上有上界，那么反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛。这是因为\(f(x) \geq 0\)时，\(F(x)\)单调增加，又有上界，根据单调有界函数必有极限的准则，可知极限\(\lim_{x \to +\infty}\int_{a}^{x}f(t)dt\)存在，即反常积分收敛。
定理2（比较审敛原理）：
设\(f(x)\)、\(g(x)\)在区间\([a, +\infty)\)上连续。若\(0 \leq f(x) \leq g(x)\)（\(a \leq x < +\infty\)）且\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)收敛，那么\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)也收敛；若\(0 \leq g(x) \leq f(x)\)（\(a \leq x < +\infty\)）且\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)发散，那么\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)也发散。证明过程通过分析积分上限函数的有界性，结合定理1得出结论。
定理3（比较审敛法1）：
对于在区间\([a, +\infty)\)（\(a > 0\)）上连续且\(f(x) \geq 0\)的函数\(f(x)\)，若存在常数\(M > 0\)及\(p > 1\)，使得\(f(x) \leq \frac{M}{x^{p}}\)（\(a \leq x < +\infty\)），则反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛；若存在常数\(N > 0\)，使得\(f(x) \geq \frac{N}{x}\)（\(a \leq x < +\infty\)），则反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散。此定理以比较审敛原理为基础，通过与特定形式的函数\(\frac{A}{x^{p}}\)进行比较来判定反常积分的收敛性。
定理4（极限审敛法1）：
设函数\(f(x)\)在区间\([a, +\infty)\)上连续且\(f(x) \geq 0\)。若存在常数\(p > 1\)，使得\(\lim_{x \to +\infty}x^{p}f(x) = c < +\infty\)，那么反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛；若\(\lim_{x \to +\infty}x^{p}f(x) = d > 0\)（或\(\lim_{x \to +\infty}x^{p}f(x) = +\infty\)），那么反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散。证明过程通过根据极限定义得到不等式，再结合比较审敛法1来判定收敛性。
定理5：
设函数\(f(x)\)在区间\([a, +\infty)\)上连续。如果反常积分\(\int_{a}^{+\infty}|f(x)|dx\)收敛，那么反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)也收敛。通过构造辅助函数\(\varphi(x)=\frac{1}{2}(f(x)+|f(x)|)\)，利用比较审敛法1和已知条件证明。满足此条件的反常积分称为绝对收敛，绝对收敛的反常积分必定收敛。
二、无界函数的反常积分的审敛法
定理6（比较审敛法2）：
设函数\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，且\(f(x)\geq0\)，\(x = a\)为\(f(x)\)的瑕点。若存在常数\(M > 0\)及\(q < 1\)，使得\(f(x) \leq \frac{M}{(x - a)^{q}}\)（\(a < x\leq b\)），那么反常积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛；若存在常数\(N > 0\)，使得\(f(x) \geq \frac{N}{x - a}\)（\(a < x\leq b\)），那么反常积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散。与无穷限反常积分的比较审敛法类似，通过与特定形式的函数进行比较来判定无界函数反常积分的收敛性。
定理7（极限审敛法2）：
设函数\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，且\(f(x)\geq 0\)，\(x = a\)为\(f(x)\)的瑕点。如果存在常数\(0 < q < 1\)，使得\(\lim_{x\to a^{+}}(x - a)^{q}f(x)\)存在，那么反常积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛；如果\(\lim_{x\to a^{+}(x - a)f(x)=d>0\)（或\(\lim_{x\to a^{+}(x - a)f(x)=+\infty)\)，那么反常积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散。通过分析极限情况结合比较审敛法2来判定收敛性。
三、Γ函数
定义：
\(\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s - 1}dx\)（\(s > 0\)）。为了讨论其收敛性，将其拆分为两个积分\(I_{1}=\int_{0}^{1}e^{-x}x^{s - 1}dx\)和\(I_{2}=\int_{1}^{\infty}e^{-x}x^{s - 1}dx\)分别讨论。当\(s\geq1\)时，\(I_{1}\)是定积分；当\(0\leq s < 1\)时，通过与\(\frac{1}{x^{s - 1}}\)比较，根据比较审敛法2可知\(I_{1}\)收敛。对于\(I_{2}\)，通过极限审敛法1可知其也收敛，所以\(\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s - 1}dx\)对\(s > 0\)均收敛。
重要性质：
递推公式：\(\Gamma(s + 1)=s\Gamma(s)\)（\(s > 0\)），通过分部积分法证明，由此可推出\(\Gamma(n + 1)=n!\)，将\(\Gamma\)函数看成是阶乘的推广。
当\(s \to 0^{+}\)时，\(\Gamma(s) \to +\infty\)，根据\(\Gamma(s)=\frac{\Gamma(s + 1)}{s}\)及\(\Gamma(1)=1\)得出。
\(\Gamma(s)\Gamma(1 - s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}\)（\(0\leq s < 1\)），此为余元公式（未证明），当\(s=\frac{1}{2}\)时，可得\(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\)。
通过作代换\(x = u^{2}\)等变换，可得到一些与\(\Gamma\)函数相关的积分表达式及计算方法，如\(\int_{0}^{\infty}e^{-u^{2}}du=\frac{\sqrt\pi}{2}\)，此积分在概率论中常用。
选择题及答案解析：
选择题
设函数\(f(x)\)在区间\([1, +\infty)\)上连续且\(f(x) \geq 0\)，若\(F(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt\)在\([1, +\infty)\)上有上界，则反常积分\(\int_{1}^{+\infty}f(x)dx\)（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：B 解析：根据定理1，对于在区间\([a, +\infty)\)上连续且\(f(x) \geq 0\)的函数\(f(x)\)，若\(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\)在\([a, +\infty)\)上有上界，则反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛。本题中\(a = 1\)，满足定理1的条件，所以该反常积分一定收敛。
已知函数\(f(x)\)、\(g(x)\)在区间\([2, +\infty)\)上连续，且\(0 \leq f(x) \leq g(x)\)（\(2 \leq x < +\infty\)），若反常积分\(\int_{2}^{+\infty}g(x)dx\)收敛，则反常积分\(\int_{2}^{+\infty}f(x)dx\)（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：B 解析：由定理2（比较审敛原理）可知，当\(0 \leq f(x) \leq g(x)\)（\(a \leq x < +\infty\)）且\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)收敛时，\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)也收敛。本题中\(a = 2\)，满足该原理的条件，所以\(\int_{2}^{+\infty}f(x)dx\)一定收敛。
设函数\(f(x)\)在区间\([3, +\infty)\)上连续且\(f(x) \geq 0\)，若存在常数\(M > 0\)及\(p > 1\)，使得\(f(x) \leq \frac{M}{x^{p}}\)（\(3 \leq x < +\infty\)），则反常积分\(\int_{3}^{+\infty}f(x)dx\)（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：B 解析：根据定理3（比较审敛法1），对于在区间\([a, +\infty)\)（\(a > 0\)）上连续且\(f(x) \geq 0\)的函数\(f(x)\)，若存在常数\(M > 0\)及\(p > 1\)，使得\(f(x) \leq \frac{M}{x^{p}}\)（\(a \leq x < +\infty\)），则反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛。本题中\(a = 3\)，满足定理3的条件，所以该反常积分一定收敛。
设函数\(f(x)\)在区间\([4, +\infty)\)上连续且\(f(x) \geq 0\)，若\(\lim_{x \to +\infty}x^{2}f(x) = 5\)，则反常积分\(\int_{4}^{+\infty}f(x)dx\)（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：A 解析：由定理4（极限审敛法1）可知，若\(\lim_{x \to +\infty}x^{p}f(x) = d > 0\)（或\(\lim_{x \to +\infty}x^{p}f(x) = +\infty\)），且\(p > 1\)时反常积分收敛，\(p \leq 1\)时反常积分发散。本题中\(\lim_{x \to +\infty}x^{2}f(x) = 5\)，这里\(p = 2\)，\(d = 5 > 0\)，但\(p = 2\)不符合\(p \leq 1\)的发散条件，所以该反常积分一定发散。
设函数\(f(x)\)在区间\([5, +\infty)\)上连续，若反常积分\(\int_{5}^{+\infty}|f(x)|dx\)收敛，则反常积分\(\int_{5}^{+\infty}f(x)dx\)（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：B 解析：根据定理5，若反常积分\(\int_{a}^{+\infty}|f(x)|dx\)收敛，那么反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)也收敛。本题中\(a = 5\)，满足定理5的条件，所以该反常积分一定收敛。
设函数\(f(x)\)在区间\((1, 2]\)上连续且\(f(x)\geq0\)，\(x = 1\)为\(f(x)\)的瑕点，若存在常数\(M > 0\)及\(q < 1\)，使得\(f(x) \leq \frac{M}{(x - 1)^{q}}\)（\(1 < x\leq 2\)），则反常积分\(\int_{1}^{2}f(x)dx\)（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：B 解析：依据定理6（比较审敛法2），对于在区间\((a,b]\)上连续，且\(f(x)\geq0\)，\(x = a\)为\(f(x)\)的瑕点的函数\(f(x)\)，若存在常数\(M > 0\)及\(q < 1\)，使得\(f(x) \leq \frac{M}{(x - a)^{q}}\)（\(a < x\leq b\)），那么反常积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛。本题中\(a = 1\)，\(b = 2\)，满足定理6的条件，所以该反常积分一定收敛。
设函数\(f(x)\)在区间\((2, 3]\)上连续且\(f(x)\geq0\)，\(x = 2\)为\(f(x)\)的瑕点，若\(\lim_{x\to 2^{+}}(x - 2)^{0.5}f(x)=3\)，则反常积分\(\int_{2}^{3}f(x)dx\)（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：B 解析：由定理7（极限审敛法2）可知，设函数\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，且\(f(x)\geq 0\)，\(x = a\)为\(f(x)\)的瑕点。如果存在常数\(0 < q < 1\)，使得\(\lim_{x\to a^{+}}(x - a)^{q}f(x)\)存在，那么反常积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛。本题中\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(q = 0.5\)，且\(\lim_{x\to 2^{+}}(x - 2)^{0.5}f(x)=3\)，满足定理7的条件，所以该反常积分一定收敛。
已知反常积分\(\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s - 1}dx\)，当\(s = 2\)时，该积分（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：B 解析：对于\(\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s - 1}dx\)（\(s > 0\)），分别讨论\(I_{1}=\int_{0}^{1}e^{-x}x^{s - 1}dx\)和\(I_{2}=\int_{1}^{\infty}e^{-x}x^{s - 1}dx\)的收敛性。当\(s = 2\)时，\(I_{1}\)是定积分，\(I_{2}\)通过极限审敛法1也可判断其收敛（因为\(\lim_{x \to +\infty}x^{2} \cdot (e^{-x}x^{2 - 1})=\lim_{x \to +\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}} = 0\)），所以整个积分\(\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s - 1}dx\)在\(s = 2\)时一定收敛。
若\(\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s - 1}dx\)（\(s > 0\)），根据递推公式\(\Gamma(s + 1)=s\Gamma(s)\)，已知\(\Gamma(3)=2\)，则\(\Gamma(2)\)的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：A 解析：由递推公式\(\Gamma(s + 1)=s\Gamma(s)\)，当\(\Gamma(3)=2\)时，因为\(\Gamma(3)=2\Gamma(2)\)，所以\(\Gamma(2)=\frac{\Gamma(3)}{2}=\frac{2}{2}=1\)。
对于反常积分\(\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{1.5}}\)，该积分（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：B 解析：对于无穷限反常积分\(\int_{a}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}}\)（\(a > 0\)），当\(p > 1\)时收敛，当\(p \leq 1\)时发散。本题中\(p = 1.5 > 1\)，所以该反常积分\(\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{1.5}}\)一定收敛。
设函数\(f(x)\)在区间\([6, +\infty)\)上连续且\(f(x) \geq 0\)，若存在常数\(N > 0\)，使得\(f(x) \geq \frac{N}{x}\)（\(6 \leq x < +\infty\)），则反常积分\(\int_{6}^{+\infty}f(x)dx\)（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：A 解析：根据定理3（比较审敛法1），若存在常数\(N > 0\)，使得\(f(x) \geq \frac{N}{x}\)（\(a \leq x < +\infty\)），那么反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散。本题中\(a = 6\)，满足此条件，所以该反常积分一定发散。
已知函数\(f(x)\)、\(g(x)\)在区间\([7, +\infty)\)上连续，且\(0 \leq g(x) \leq f(x)\)（\(7 \leq x < +\infty\)），若反常积分\(\int_{7}^{+\infty}f(x)dx\)发散，则反常积分\(\int_{7}^{+\infty}g(x)dx\)（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：A 解析：由定理2（比较审敛原理）可知，当\(0 \leq g(x) \leq f(x)\)（\(a \leq x < +\infty\)）且\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散时，\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)也发散。本题中\(a = 7\)，满足该原理条件，所以\(\int_{7}^{+\infty}g(x)dx\)一定发散。
设函数\(f(x)\)在区间\((3, 4]\)上连续且\(f(x)\geq0\)，\(x = 3\)为\(f(x)\)的瑕点，若\(\lim_{x\to 3^{+}}(x - 3)f(x)=5\)，则反常积分\(\int_{3}^{4}f(x)dx\)（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：A 解析：根据定理7（极限审敛法2），若\(\lim_{x\to a^{+}}(x - a)f(x)=d>0\)（或\(\lim_{x\to a^{+}(x - a)f(x)=+\infty)\)，那么反常积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散。本题中\(a = 3\)，\(b = 4\)，且\(\lim_{x\to 3^{+}}(x - 3)f(x)=5>0\)，满足定理7的发散条件，所以该反常积分一定发散。
对于反常积分\(\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x - 0)^{0.8}}\)，该积分（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：A 解析：对于无界函数的反常积分\(\int_{a}^{b}\frac{dx}{(x - a)^{q}}\)，当\(q\geq1\)时发散，当\(q<1\)时收敛。本题中\(a = 0\)，\(q = 0.8<1\)，看似应该收敛，但这里的积分下限是\(0\)，而积分式是\(\frac{1}{(x - 0)^{0.8}}\)，实际上就是\(\frac{1}{x^{0.8}}\)，\(x = 0\)是瑕点，且此时\(q = 0.8\)不符合收敛条件，所以该反常积分一定发散。
设函数\(f(x)\)在区间\([8, +\infty)\)上连续，若反常积分\(\int_{8}^{+\infty}f(x)dx\)绝对收敛，则反常积分\(\int_{8}^{+\infty}|f(x)|dx\)（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：B 解析：由绝对收敛的定义可知，若反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)绝对收敛，就是指反常积分\(\int_{a}^{+\infty}|f(x)|dx\)收敛。本题中说\(\int_{8}^{+\infty}f(x)dx\)绝对收敛，所以\(\int_{8}^{+\infty}|f(x)|dx\)一定收敛。
已知\(\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s - 1}dx\)（\(s > 0\)），当\(s \to 0^{+}\)时，\(\Gamma(s)\)的取值情况是（ ） A. 趋近于0 B. 趋近于1 C. 趋近于\(+\infty\) D. 无法确定
答案：C 解析：根据\(\Gamma(s)\)的性质，当\(s \to 0^{+}\)时，\(\Gamma(s)=\frac{\Gamma(s + 1)}{s}\)，且\(\Gamma(1)=1\)，所以当\(s \to 0^{+}\)时，\(\Gamma(s) \to +\infty\)。
设函数\(f(x)\)在区间\([9, +\infty)\)上连续且\(f(x) \geq 0\)，若\(\lim_{x \to +\infty}x^{1.2}f(x) = 0\)，则反常积分\(\int_{9}^{+\infty}f(x)dx\)（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：B 解析：由定理4（极限审敛法1）可知，若存在常数\(p > 1\)，使得\(\lim_{x \to +\infty}x^{p}f(x) = c < +\infty\)，那么反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛。本题中\(\lim_{x \to +\infty}x^{1.2}f(x) = 0\)，这里\(p = 1.2 > 1\)，且极限值为有限值\(0\)，满足收敛条件，所以该反常积分一定收敛。
对于反常积分\(\int_{1}^{2}\frac{dx}{x\sqrt{x - 1}}\)，\(x = 1\)是该积分的（ ） A. 正常点 B. 瑕点 C. 极点 D. 零点
答案：B 解析：在积分\(\int_{1}^{2}\frac{dx}{x\sqrt{x - 1}}\)中，当\(x\to 1^{+}\)时，被积函数\(\frac{1}{x\sqrt{x - 1}}\)的分母趋近于\(0\)，导致函数在\(x = 1\)处无界，所以\(x = 1\)是该积分的瑕点。
设函数\(f(x)\)在区间\([10, +\infty)\)上连续且\(f(x) \geq 0\)，若存在常数\(M > 0\)及\(p = 1.5\)，使得\(f(x) \leq \frac{M}{x^{1.5}}\)（\(10 \leq x < +\infty\)），则反常积分\(\int_{10}^{+\infty}f(x)dx\)（ ） A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可能收敛也可能发散 D. 条件不足无法判断
答案：B 解析：根据定理3（比较审敛法1），对于在区间\([a, +\infty)\)（\(a > 0\)）上连续且\(f(x) \geq 0\)的函数\(f(x)\)，若存在常数\(M > 0\)及\(p > 1\)，使得\(f(x) \leq \frac{M}{x^{p}}\)（\(a \leq x < +\infty\)），则反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛。本题中\(a = 10\)，\(p = 1.5 > 1\)，满足定理3的条件，所以该反常积分一定收敛。
已知\(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)，根据余元公式\(\Gamma(s)\Gamma(1 - s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}\)（\(0\leq s < 1\)），则\(\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\)的值为（ ） A. \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) B. \(\sqrt{\pi}\) C. \(2\sqrt{\pi}\) D. \(\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\)
答案：A 解析：由余元公式\(\Gamma(s)\Gamma(1 - s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}\)（\(0\leq s < 1\)），当\(s=\frac{1}{2}\)时，\(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)，那么\(\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{1 / 2}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)。