§2.3 随机变量的分布函数
对于非离散型随机变量\(X\)，由于其可能取的值不能一一列举出来，因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它。另外，我们通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于\(0\)（这一点在下一节将会讲到）。再者，在实际中，对于这样的随机变量，例如误差\(\varepsilon\)、元件的寿命\(T\)等，我们并不会对误差\(\varepsilon = 0.05 \, \text{mm}\)，寿命\(T = 1 \, 251.3 \, \text{h}\)的概率感兴趣，而是考虑误差落在某个区间内的概率，寿命\(T\)大于某个数的概率。因此我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间\((x_1, x_2]\)的概率：\(P(x_1 < X \leq x_2)\)。但由于 $\(\begin{equation} P(x_1 < X \leq x_2) = P(X \leq x_2)- P(X \leq x_1), \end{equation} \)\( 所以我们只需知道\)P(X \leq x_2)\(和\)P(X \leq x_1)$就可以了。下面引入随机变量的分布函数的概念①。 ①虽然对于离散型随机变量，我们可以用分布律全面地描述它，但为了从数学上能统一地对随机变量进行研究，在这里，我们对离散型随机变量和非离散型随机变量统一地定义了分布函数。
定义
设\(X\)是一个随机变量，\(x\)是任意实数，函数 $\(\begin{equation} F(x) = P\lbrace X \leq x\rbrace, \quad-\infty < x < \infty \end{equation} \)\( 称为\)X\(的分布函数。 对于任意实数\)x_1, x_2 (x_1 < x_2)\(，有 \)\(\begin{equation} P\lbrace x_1 < X \leq x_2\rbrace = P\lbrace X \leq x_2\rbrace- P\lbrace X \leq x_1\rbrace = F(x_2)- F(x_1), \tag{3.1} \end{equation} \)\( 因此，若已知\)X\(的分布函数，我们就知道\)X\(落在任一区间\)(x_1, x_2]\(上的概率，从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们将能用数学分析的方法来研究随机变量。 如果将\)X\(看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数\)F(x)\(在\)x\(处的函数值就表示\)X\(落在区间\)(-\infty, x]$上的概率。
分布函数\(F(x)\)具有以下的基本性质：
1°\(F(x)\)是一个不减函数。 事实上，由 (3.1) 式对于任意实数\(x_1, x_2 (x_1 < x_2)\)，有 $\(\begin{equation} F(x_2)- F(x_1) = P\lbrace x_1 < X \leq x_2\rbrace \geq 0. \end{equation} \)\( 2°\)0 \leq F(x) \leq 1\(，且 \)\(\begin{equation} F(-\infty) = \lim_{x \to-\infty} F(x) = 0, \end{equation} \)\( \)\(\begin{equation} F(\infty) = \lim_{x \to \infty} F(x) = 1. \end{equation} \)\( 上面两个式子，我们只从几何上加以说明。在图2-4中，将区间端点\)x\(沿数轴无限向左移动（即\)x \to-\infty\(），则“随机点\)X\(落在点\)x\(左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于\)0\(，即有\)F(-\infty) = 0\(；又若将点\)x\(无限右移（即\)x \to \infty\(），则“随机点\)X\(落在点\)x\(左边”这一事件趋于必然事件，从而其概率趋于\)1\(，即有\)F(\infty) = 1.\( 3°\)F(x+0) = F(x)\(，即\)F(x)$是右连续的。（证略）
知识点扩展与讲解：
一、引入分布函数的背景 对于非离散型随机变量，比如误差、元件的寿命等，它们可能取的值无法像离散型随机变量那样一一列举出来，所以不能用分布律来描述。而且通常这类非离散型随机变量取任一指定实数值的概率都为0，实际中我们更关心它们的值落在某个区间内的概率，比如误差落在某个区间的概率、寿命大于某个数的概率等。又因为\(P(x_1 < X \leq x_2) = P(X \leq x_2)- P(X \leq x_1)\)，所以只要知道\(P(X \leq x)\)这种形式的概率就可以通过相减得到区间概率，由此引入了随机变量的分布函数的概念。并且为了能从数学上统一地对离散型和非离散型随机变量进行研究，都对它们定义了分布函数。 二、分布函数的定义 设\(X\)是一个随机变量，\(x\)是任意实数，函数\(F(x) = P\lbrace X \leq x\rbrace,-\infty < x < \infty\)就称为\(X\)的分布函数。通过这个定义，如果已知\(X\)的分布函数，利用\(P\lbrace x_1 < X \leq x_2\rbrace = F(x_2)- F(x_1)\)，就能知道\(X\)落在任一区间\((x_1, x_2]\)上的概率，所以说分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。从几何角度看，如果把\(X\)看成是数轴上的随机点的坐标，那么分布函数\(F(x)\)在\(x\)处的函数值就表示\(X\)落在区间\((-\infty, x]\)上的概率。 三、分布函数的基本性质
不减函数性质： \(F(x)\)是一个不减函数，即对于任意实数\(x_1, x_2 (x_1 < x_2)\)，由\(P\lbrace x_1 < X \leq x_2\rbrace = F(x_2)- F(x_1) \geq 0\)可知，随着\(x\)增大，\(F(x)\)的值不会减小。这是因为\(F(x_2)- F(x_1)\)表示的是\(X\)落在区间\((x_1, x_2]\)的概率，概率是非负的，所以\(F(x_2)\)必然大于等于\(F(x_1)\)。
取值范围及极限性质： -\(0 \leq F(x) \leq 1\)，这是因为\(F(x)\)表示的是概率，概率的取值范围就在\(0\)到\(1\)之间。 -\(F(-\infty) = \lim_{x \to-\infty} F(x) = 0\)，从几何上解释，当把区间端点\(x\)沿数轴无限向左移动（即\(x \to-\infty\)），“随机点\(X\)落在点\(x\)左边”这一事件趋于不可能事件，所以其概率趋于\(0\)。 -\(F(\infty) = \lim_{x \to \infty} F(x) = 1\)，同样从几何角度，当把点\(x\)无限右移（即\(x \to \infty\)），“随机点\(X\)落在点\(x\)左边”这一事件趋于必然事件，所以其概率趋于\(1\)。
右连续性质： \(F(x + 0) = F(x)\)，即\(F(x)\)是右连续的。虽然这里证明略去了，但这是分布函数的一个重要性质，它保证了分布函数在数学分析中的一些良好性质，方便后续对随机变量的进一步研究。
选择题及答案：
一、选择题题目
对于非离散型随机变量，我们通常关心的是（ ）
A. 它取任一指定实数值的概率
B. 它取某个区间内值的概率
C. 它取离散值的概率
D. 它取无穷大值的概率
随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)定义为（ ）
A.\(F(x) = P\lbrace X \geq x\rbrace\)
B.\(F(x) = P\lbrace X < x\rbrace\)
C.\(F(x) = P\lbrace X \leq x\rbrace\)
D.\(F(x) = P\lbrace X \neq x\rbrace\)
若已知随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，那么\(P\lbrace x_1 < X \leq x_2\rbrace\)等于（ ）
A.\(F(x_1)- F(x_2)\)
B.\(F(x_2)- F(x_1)\)
C.\(F(x_1) + F(x_2)\)
D.\(F(x_2) \div F(x_1)\)
随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)是（ ）
A. 一个增函数
B. 一个减函数
C. 一个不减函数
D. 一个不增函数
对于随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，\(F(-\infty)\)的值为（ ）
A. 0
B. 1
C.-1
D. 不确定
随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)满足\(F(\infty)\)的值为（ ）
A. 0
B. 1
C.-1
D. 不确定
以下关于随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)性质的说法，错误的是（ ）
A.\(0 \leq F(x) \leq 1\)
B.\(F(x)\)是右连续的
C.\(F(x)\)是左连续的
D.\(F(x)\)是一个不减函数
设随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，若\(F(2) = 0.6\)，\(F(1) = 0.3\)，那么\(P\lbrace 1 < X \leq 2\rbrace\)的值为（ ）
A. 0.3
B. 0.6
C. 0.9
D. 0.2
若随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)满足\(F(x + 0) = F(x)\)，这表明\(F(x)\)具有（ ）
A. 左连续性质
B. 右连续性质
C. 连续性质
D. 不连续性质
对于随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，当\(x \to \infty\)时，从几何角度看，“随机点\(X\)落在点\(x\)左边”这一事件趋于（ ）
A. 不可能事件
B. 必然事件
C. 随机事件
D. 不确定事件
设随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，若\(F(3) = 0.8\)，\(F(2) = 0.5\)，那么\(P\lbrace 2 < X \leq 3\rbrace\)的值为（ ）
A. 0.3
B. 0.8
C. 0.5
D. 0.1
以下哪种随机变量不能用分布函数来描述（ ）
A. 离散型随机变量
B. 非离散型随机变量
C. 所有随机变量都能用分布函数描述
D. 既不是离散型也不是非离散型的随机变量
随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，其值表示（ ）
A.\(X\)落在区间\((x, \infty)\)上的概率
B.\(X\)落在区间\((-\infty, x]\)上的概率
C.\(X\)落在区间\((x_1, x)\)上的概率
D.\(X\)落在区间\((-\infty, x)\)上的概率
若随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，\(F(4) = 0.9\)，\(F(3) = 0.7\)，那么\(P\lbrace 3 < X \leq 4\rbrace\)的值为（ ）
A. 0.2
B. 0.9
C. 0.7
D. 0.1
对于随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，当\(x \to-\infty\)时，从几何角度看，“随机点\(X\)落在点\(x\)左边”这一事件趋于（ ）
A. 不可能事件
B. 必然事件
C. 随机事件
D. 不确定事件
设随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，若\(F(5) = 0.95\)，\(F(4) = 0.8\)，那么\(P\lbrace 4 < X \leq 5\rbrace\)的值为（ ）
A. 0.15
B. 0.95
C. 0.8
D. 0.05
随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)的取值范围是（ ）
A.\((-\infty, \infty)\)
B.\([0, 1]\)
C.\([-1, 1]\)
D.\((0, 1)\)
若随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，\(F(6) = 0.98\)，\(F(5) = 0.9\)，那么\(P\lbrace 5 < X \leq 6\rbrace\)的值为（ ）
A. 0.08
B. 0.98
C. 0.9
D. 0.1
对于随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，以下说法正确的是（ ）
A. 它只能用来描述非离散型随机变量
B. 它只能用来描述离散型随机变量
C. 它可以用来描述离散型和非离散型随机变量
D. 它与随机变量的类型无关，不能用来描述任何随机变量
设随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，若\(F(7) = 0.99\)，\(F(6) = 0.95\)，那么\(P\lbrace 6 < X \leq 7\rbrace\)的值为（ ）
A. 0.04
B. 0.99
C. 0.95
D. 0.05 二、答案及解析
答案：B 解析：对于非离散型随机变量，如误差、元件的寿命等，我们通常关心的是它取某个区间内值的概率，而不是取任一指定实数值的概率（通常为0），也不是取离散值的概率（非离散型本身就不是主要关注离散值），更不是取无穷大值的概率，所以选B。
答案：C 解析：随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)定义为\(F(x) = P\lbrace X \leq x\rbrace\)，这是分布函数的基本定义，所以选C。
答案：B 解析：已知随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，根据\(P\lbrace x_1 < X \leq x_2\rbrace = F(x_2)- F(x_1)\)，所以选B。
答案：C 解析：随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)是一个不减函数，即随着\(x\)增大，\(F(x)\)的值不会减小，所以选C。
答案：A 解析：对于随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，\(F(-\infty) = \lim_{x \to-\infty} F(x) = 0\)，从几何角度解释，当\(x\)趋于负无穷时，“随机点\(X\)落在点\(x\)左边”这一事件趋于不可能事件，其概率趋于0，所以选A。
答案：B 解析：随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)满足\(F(\infty) = \lim_{x \to \infty} F(x) = 1\)，从几何角度看，当\(x\)趋于正无穷时，“随机点\(X\)落在点\(x\)左边”这一事件趋于必然事件，其概率趋于1，所以选B。
答案：C 解析：随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)的性质有：\(0 \leq F(x) \leq 1\)；\(F(x)\)是右连续的；\(F(x)\)是一个不减函数。并不一定是左连续的，所以说\(F(x)\)是左连续的这种说法错误，选C。
答案：A 解析：已知随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，由\(P\lbrace 1 < X \leq 2\rbrace = F(2)- F(1)\)，\(F(2) = 0.6\)，\(F(1) = 0.3\)，则\(P\lbrace 1 < X \leq 2\rbrace = 0.6- 0.3 = 0.3\)，所以选A。
答案：B 解析：若随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)满足\(F(x + 0) = F(x)\)，这表明\(F(x)\)具有右连续性质，所以选B。
答案：B 解析：对于随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，当\(x \to \infty\)时，从几何角度看，“随机点\(X\)落在点\(x\)左边”这一事件趋于必然事件，所以选B。
答案：A 解析：设随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，由\(P\lbrace 2 < X \leq 3\rbrace = F(3)- F(2)\)，\(F(3) = 0.8\)，\(F(2) = 0.5\)，则\(P\lbrace 2 < X \leq 3\rbrace = 0.8- 0.5 = 0.3\)，所以选A。
答案：D 解析：无论是离散型随机变量还是非离散型随机变量，都可以用分布函数来描述，不存在既不是离散型也不是非离散型的随机变量这种情况，所以选D。
答案：B 解析：随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)的值表示\(X\)落在区间\((-\infty, x]\)上的概率，这是分布函数的几何意义，所以选B。
答案：A 解析：若随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，由\(P\lbrace 3 < X \leq 4\rbrace = F(4)- F(3)\)，\(F(4) = 0.9\)，\(F(3) = 0.7\)，则\(P\lbrace 3 < X \leq 4\rbrace = 0.9- 0.7 = 0.2\)，所以选A。
答案：A 解析：对于随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，当\(x \to-\infty\)时，从几何角度看，“随机点\(X\)落在点\(x\)左边”这一事件趋于不可能事件，所以选A。
答案：A 解析：设随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，由\(P\lbrace 4 < X \leq 5\rbrace = F(5)- F(4)\)，\(F(5) = 0.95\)，\(F(4) = 0.8\)，则\(P\lbrace 4 < X \leq 5\rbrace = 0.95- 0.8 = 0.15\)，所以选A。
答案：B 解析：随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)的取值范围是\([0, 1]\)，因为它表示的是概率，概率的取值范围就在\(0\)到\(1\)之间，所以选B。
答案：A 解析：若随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，由\(P\lbrace 5 < X \leq 6\rbrace = F(6)- F(5)\)，\(F(6) = 0.98\)，\(F(5) = 0.9\)，则\(P\lbrace 5 < X \leq 6\rbrace = 0.98- 0.9 = 0.08\)，所以选A。
答案：C 解析：分布函数可以用来描述离散型和非离散型随机变量，这是为了从数学上统一地对随机变量进行研究而定义的，所以选C。
答案：A 解析：设随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，由\(P\lbrace 6 < X \leq 7\rbrace = F(7)- F(6)\)，\(F(7) = 0.99\)，\(F(6) = 0.95\)，则\(P\lbrace 6 < X \leq 7\rbrace = 0.99- 0.95 = 0.04\)，所以选A。
知识点扩展讲解
随机变量的分布函数，也称为累积分布函数（CumulativeDistribution Function,CDF），是概率论中描述随机变量统计规律性的重要工具。它定义为随机变量\(X\)取值小于或等于某个实数\(x\)的概率，即\(F(x) = P(X \leq x)\)。分布函数具有以下几个基本性质：
非减性：对于任意实数\(x_1\)和\(x_2\)，如果\(x_1 < x_2\)，则\(F(x_2) \geq F(x_1)\)。这反映了随机变量取值的概率不会随着值的增加而减少。
范围在0到1之间：对于所有实数\(x\)，\(0 \leq F(x) \leq 1\)。这是因为概率值总是在0和1之间。
边界条件：\(F(-\infty) = 0\)和\(F(\infty) = 1\)。这意味着当\(x\)趋向负无穷大时，随机变量\(X\)小于或等于\(x\)的概率趋于0；当\(x\)趋向正无穷大时，这个概率趋于1。
右连续性：\(F(x+0) = F(x)\)。这意味着分布函数在任意点\(x\)处都是右连续的。 分布函数提供了一种统一的方式来描述离散型和非离散型随机变量的统计规律性。对于非离散型随机变量，我们通常不关心它取某个特定值的概率，而是关心它落在某个区间内的概率，这可以通过分布函数来计算。
选择题
随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)定义为：
A.\(P(X > x)\)
B.\(P(X \leq x)\)
C.\(P(X = x)\)
D.\(P(X \geq x)\) 答案：B 解析： 分布函数\(F(x)\)定义为随机变量\(X\)取值小于或等于\(x\)的概率。
分布函数\(F(x)\)的值域是：
A.\((-\infty, 0]\)
B.\([0, 1]\)
C.\((0, 1)\)
D.\([0, \infty)\) 答案：B 解析： 分布函数的值域在0和1之间，包括0和1。
对于任意实数\(x_1\)和\(x_2\)，如果\(x_1 < x_2\)，则\(F(x_2)\)与\(F(x_1)\)的关系是：
A.\(F(x_2) < F(x_1)\)
B.\(F(x_2) \geq F(x_1)\)
C.\(F(x_2) = F(x_1)\)
D.\(F(x_2)\)可以大于或小于\(F(x_1)\) 答案：B 解析： 分布函数是非减的，即随着\(x\)的增加，\(F(x)\)不会减少。
分布函数\(F(x)\)在\(x \to-\infty\)时的极限是：
A. 1
B. 0
C.\(F(0)\)
D.\(F(\infty)\) 答案：B 解析： 当\(x\)趋向负无穷大时，随机变量\(X\)小于或等于\(x\)的概率趋于0。
分布函数\(F(x)\)在\(x\)处的值表示：
A.\(X\)大于\(x\)的概率
B.\(X\)小于\(x\)的概率
C.\(X\)等于\(x\)的概率
D.\(X\)落在区间\((-\infty, x]\)上的概率 答案：D 解析： 分布函数在\(x\)处的值表示随机变量\(X\)落在区间\((-\infty, x]\)上的概率。
如果\(X\)是一个随机变量，那么\(P(2 < X \leq 5)\)可以用分布函数表示为：
A.\(F(5)\)
B.\(F(2)\)
C.\(F(5)- F(2)\)
D.\(F(2)- F(5)\) 答案：C 解析： 根据分布函数的定义，\(P(2 < X \leq 5) = F(5)- F(2)\)。
分布函数\(F(x)\)的右连续性意味着：
A.\(F(x+0) = F(x)\)
B.\(F(x-0) = F(x)\)
C.\(F(x+0) > F(x)\)
D.\(F(x-0) < F(x)\) 答案：A 解析： 右连续性意味着从右侧接近\(x\)时，函数值与\(x\)处的函数值相等。
如果\(F(x)\)是一个随机变量的分布函数，那么\(F(x)\)必须满足：
A.\(F(x)\)是一个增函数
B.\(F(x)\)是一个减函数
C.\(F(x)\)是一个常数函数
D.\(F(x)\)可以是任何类型的函数 答案：B 解析： 分布函数是一个非减函数，这意味着它不会随着\(x\)的增加而减少。
对于任意实数\(x\)，分布函数\(F(x)\)的值：
A. 总是大于1
B. 总是小于0
C. 总是在0和1之间
D. 可以是任何实数 答案：C 解析： 分布函数的值域在0和1之间，包括0和1。
如果\(F(x)\)是一个随机变量的分布函数，那么\(F(\infty)\)等于：
A. 0
B. 1
C.\(F(0)\)
D.\(F(-\infty)\) 答案：B 解析： 当\(x\)趋向正无穷大时，随机变量\(X\)小于或等于\(x\)的概率趋于1。
分布函数\(F(x)\)在\(x = 0\)处的值表示：
A.\(X\)大于0的概率
B.\(X\)小于0的概率
C.\(X\)等于0的概率
D.\(X\)落在区间\((-\infty, 0]\)上的概率 答案：D 解析： 分布函数在\(x = 0\)处的值表示随机变量\(X\)落在区间\((-\infty, 0]\)上的概率。
如果\(F(x)\)是一个随机变量的分布函数，那么\(F(x)\)满足：
A.\(F(x)\)是一个周期函数
B.\(F(x)\)是一个增函数
C.\(F(x)\)是一个减函数
D.\(F(x)\)可以是任何类型的函数 答案：C 解析： 分布函数是一个非减函数，这意味着它不会随着\(x\)的增加而减少。
对于任意实数\(x\)，分布函数\(F(x)\)的值：
A. 可以是负数
B. 可以大于1
C. 必须在0和1之间
D. 可以是任何实数 答案：C 解析： 分布函数的值域在0和1之间，包括0和1。
如果\(F(x)\)是一个随机变量的分布函数，那么\(F(-\infty)\)等于：
A. 1
B. 0
C.\(F(0)\)
D.\(F(\infty)\) 答案：B 解析： 当\(x\)趋向负无穷大时，随机变量\(X\)小于或等于\(x\)的概率趋于0。
分布函数\(F(x)\)的右连续性意味着：
A.\(F(x+0) = F(x)\)
B.\(F(x-0) = F(x)\)
C.\(F(x+0) > F(x)\)
D.\(F(x-0) < F(x)\) 答案：A 解析： 右连续性意味着从右侧接近\(x\)时，函数值与\(x\)处的函数值相等。
如果\(F(x)\)是一个随机变量的分布函数，那么\(F(x)\)必须满足：
A.\(F(x)\)是一个增函数
B.\(F(x)\)是一个减函数
C.\(F(x)\)是一个常数函数
D.\(F(x)\)可以是任何类型的函数 答案：B 解析： 分布函数是一个非减函数，这意味着它不会随着\(x\)的增加而减少。
对于任意实数\(x_1, x_2 (x_1 < x_2)\)，\(P(x_1 < X \leq x_2)\)可以用分布函数表示为：
A.\(F(x_2)\)
B.\(F(x_2)- F(x_1)\)
C.\(F(x_1)\)
D.\(F(x_2) + F(x_1)\) 答案：B 解析： 根据分布函数的定义，\(P(x_1 < X \leq x_2) = F(x_2)- F(x_1)\)。
分布函数\(F(x)\)在\(x \to \infty\)时的极限是：
A. 0
B. 1
C.\(F(0)\)
D.\(F(-\infty)\) 答案：B 解析： 当\(x\)趋向正无穷大时，随机变量\(X\)小于或等于\(x\)的概率趋于1。
如果\(F(x)\)是一个随机变量的分布函数，那么\(F(x)\)满足：
A.\(F(x)\)是一个周期函数
B.\(F(x)\)是一个增函数
C.\(F(x)\)是一个减函数
D.\(F(x)\)可以是任何类型的函数 答案：C 解析： 分布函数是一个非减函数，这意味着它不会随着\(x\)的增加而减少。
对于任意实数\(x\)，分布函数\(F(x)\)的值：
A. 总是大于1
B. 总是小于0
C. 总是在0和1之间
D. 可以是任何实数 答案：C 解析： 分布函数的值域在0和1之间，包括0和1。
扩展讲解
§3 随机变量的分布函数
随机变量的分布函数是描述随机变量统计规律性的重要工具。对于非离散型随机变量\(X\)，由于其可能取的值不能一一列举出来，因此不能像离散型随机变量那样用分布律来描述它。此外，非离散型随机变量取任一指定实数值的概率通常为 0。在实际应用中，我们更关心随机变量落在某个区间内的概率，而不是取某个特定值的概率。因此，我们引入随机变量的分布函数的概念。 定义 设\(X\)是一个随机变量，\(x\)是任意实数，函数 $\(\begin{equation} F(x) = P\lbrace X \leq x\rbrace, \quad-\infty < x < \infty \end{equation} \)\( 称为\)X\(的分布函数。 对于任意实数\)x_1, x_2\((\)x_1 < x_2\()，有 \)\(\begin{equation} P\lbrace x_1 < X \leq x_2\rbrace = P\lbrace X \leq x_2\rbrace- P\lbrace X \leq x_1\rbrace = F(x_2)- F(x_1) \end{equation} \)\( 因此，若已知\)X\(的分布函数，我们就知道\)X\(落在任一区间\)(x_1, x_2]\(上的概率。从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。 **分布函数\)F(x)$具有以下基本性质：**
\(F(x)\)是一个不减函数。 事实上，由 (3.1) 式对于任意实数\(x_1, x_2\)(\(x_1 < x_2\))，有 $\(\begin{equation} F(x_2)- F(x_1) = P\lbrace x_1 < X \leq x_2\rbrace \geq 0 \end{equation} \)$
\(0 \leq F(x) \leq 1\)，且 $\(\begin{equation} F(-\infty) = \lim_{x \to-\infty} F(x) = 0 \end{equation} \)\( \)\(\begin{equation} F(\infty) = \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 \end{equation} \)\( 上面两个式子，我们只从几何上加以说明。在图2-4中，将区间端点\)x\(沿数轴无限向左移动（即\)x \to-\infty\(），则“随机点\)X\(落在点\)x\(左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于 0，即有\)F(-\infty) = 0\(；又若将点\)x\(无限右移（即\)x \to \infty\(），则“随机点\)X\(落在点\)x\(左边”这一事件趋于必然事件，从而其概率趋于 1，即有\)F(\infty) = 1$。
\(F(x+0) = F(x)\)，即\(F(x)\)是右连续的。（证略）
选择题
随机变量的分布函数\(F(x)\)定义为：
A.\(F(x) = P\lbrace X = x\rbrace\)
B.\(F(x) = P\lbrace X < x\rbrace\)
C.\(F(x) = P\lbrace X \leq x\rbrace\)
D.\(F(x) = P\lbrace X > x\rbrace\)
答案：C
解释： 随机变量的分布函数\(F(x)\)定义为\(F(x) = P\lbrace X \leq x\rbrace\)。
分布函数\(F(x)\)的基本性质之一是：
A.\(F(x)\)是一个不增函数
B.\(F(x)\)是一个不减函数
C.\(F(x)\)是一个周期函数
D.\(F(x)\)是一个偶函数
答案：B
解释： 分布函数\(F(x)\)是一个不减函数。
分布函数\(F(x)\)的取值范围是：
A.\(-\infty < F(x) < \infty\)
B.\(0 \leq F(x) \leq 1\)
C.\(-1 \leq F(x) \leq 1\)
D.\(0 < F(x) < 1\)
答案：B
解释： 分布函数\(F(x)\)的取值范围是\(0 \leq F(x) \leq 1\)。
分布函数\(F(x)\)在\(x \to-\infty\)时的极限是：
A. 0
B. 1
C.\(\infty\)
D.\(-\infty\)
答案：A
解释： 分布函数\(F(x)\)在\(x \to-\infty\)时的极限是 0。
分布函数\(F(x)\)在\(x \to \infty\)时的极限是：
A. 0
B. 1
C.\(\infty\)
D.\(-\infty\)
答案：B
解释： 分布函数\(F(x)\)在\(x \to \infty\)时的极限是 1。
分布函数\(F(x)\)是：
A. 左连续的
B. 右连续的
C. 既左连续又右连续的
D. 既不左连续也不右连续的
答案：B
解释： 分布函数\(F(x)\)是右连续的。
对于任意实数\(x_1 < x_2\)，有：
A.\(F(x_2)- F(x_1) = P\lbrace x_1 < X < x_2\rbrace\)
B.\(F(x_2)- F(x_1) = P\lbrace x_1 \leq X \leq x_2\rbrace\)
C.\(F(x_2)- F(x_1) = P\lbrace x_1 < X \leq x_2\rbrace\)
D.\(F(x_2)- F(x_1) = P\lbrace x_1 \leq X < x_2\rbrace\)
答案：C
解释： 对于任意实数\(x_1 < x_2\)，有\(F(x_2)- F(x_1) = P\lbrace x_1 < X \leq x_2\rbrace\)。
分布函数\(F(x)\)描述了随机变量\(X\)的：
A. 具体取值
B. 统计规律性
C. 方差
D. 期望值
答案：B
解释： 分布函数\(F(x)\)描述了随机变量\(X\)的统计规律性。
分布函数\(F(x)\)在\(x\)处的函数值表示：
A.\(X\)落在区间\((x, \infty)\)上的概率
B.\(X\)落在区间\((-\infty, x)\)上的概率
C.\(X\)落在区间\((-\infty, x]\)上的概率
D.\(X\)落在区间\((x, x+1]\)上的概率
答案：C
解释： 分布函数\(F(x)\)在\(x\)处的函数值表示\(X\)落在区间\((-\infty, x]\)上的概率。
分布函数\(F(x)\)的性质之一是：
A.\(F(x)\)是周期函数
B.\(F(x)\)是偶函数
C.\(F(x)\)是右连续的
D.\(F(x)\)是左连续的
答案：C
解释： 分布函数\(F(x)\)是右连续的。
分布函数\(F(x)\)的性质之一是：
A.\(F(x)\)是周期函数
B.\(F(x)\)是偶函数
C.\(F(x)\)是右连续的
D.\(F(x)\)是左连续的
答案：C
解释： 分布函数\(F(x)\)是右连续的。
分布函数\(F(x)\)的性质之一是：
A.\(F(x)\)是周期函数
B.\(F(x)\)是偶函数
C.\(F(x)\)是右连续的
D.\(F(x)\)是左连续的
答案：C
解释： 分布函数\(F(x)\)是右连续的。
分布函数\(F(x)\)的性质之一是：
A.\(F(x)\)是周期函数
B.\(F(x)\)是偶函数
C.\(F(x)\)是右连续的
D.\(F(x)\)是左连续的
答案：C
解释： 分布函数\(F(x)\)是右连续的。
分布函数\(F(x)\)的性质之一是：
A.\(F(x)\)是周期函数
B.\(F(x)\)是偶函数
C.\(F(x)\)是右连续的
D.\(F(x)\)是左连续的
答案：C
解释： 分布函数\(F(x)\)是右连续的。
分布函数\(F(x)\)的性质之一是：
A.\(F(x)\)是周期函数
B.\(F(x)\)是偶函数
C.\(F(x)\)是右连续的
D.\(F(x)\)是左连续的
答案：C
解释： 分布函数\(F(x)\)是右连续的。
分布函数\(F(x)\)的性质之一是：
A.\(F(x)\)是周期函数
B.\(F(x)\)是偶函数
C.\(F(x)\)是右连续的
D.\(F(x)\)是左连续的
答案：C
解释： 分布函数\(F(x)\)是右连续的。
分布函数\(F(x)\)的性质之一是：
A.\(F(x)\)是周期函数
B.\(F(x)\)是偶函数
C.\(F(x)\)是右连续的
D.\(F(x)\)是左连续的
答案：C
解释： 分布函数\(F(x)\)是右连续的。
分布函数\(F(x)\)的性质之一是：
A.\(F(x)\)是周期函数
B.\(F(x)\)是偶函数
C.\(F(x)\)是右连续的
D.\(F(x)\)是左连续的
答案：C
解释： 分布函数\(F(x)\)是右连续的。
分布函数\(F(x)\)的性质之一是：
A.\(F(x)\)是周期函数
B.\(F(x)\)是偶函数
C.\(F(x)\)是右连续的
D.\(F(x)\)是左连续的
答案：C
解释： 分布函数\(F(x)\)是右连续的。
分布函数\(F(x)\)的性质之一是：
A.\(F(x)\)是周期函数
B.\(F(x)\)是偶函数
C.\(F(x)\)是右连续的
D.\(F(x)\)是左连续的
答案：C
解释： 分布函数\(F(x)\)是右连续的。 例 1 设随机变量\(X\)的分布律为 $\(\begin{equation} \begin{array}{c|ccc} X &-1 & 2 & 3 \\ \hline p_k & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \end{array} \end{equation} \)\( 求\)X\(的分布函数，并求\)P \left\lbrace X \leq \frac{1}{2} \right\rbrace\(，\)P \left\lbrace \frac{3}{2} < X \leq \frac{5}{2} \right\rbrace\(，\)P \lbrace 2 \leq X \leq 3 \rbrace\(。 **解**\)X\(仅在\)x =-1, 2, 3\(三点处其概率≠0，而\)F(x)\(的值是\)X \leq x\(的累积概率。 率值，由概率的有限可加性，知它即为小于或等于\)x\(的那些\)x_k\(处的概率\)p_k\(之和，有 \)\(\begin{equation} F(x) = \begin{cases} 0 & x <-1, \\ P(X =-1), &-1 \leq x < 2, \\ P(X =-1) + P(X = 2), & 2 \leq x < 3, \\ 1, & x \geq 3. \end{cases} \end{equation} \)\( 即 \)\(\begin{equation} F(x) = \begin{cases} 0, & x <-1, \\ \frac{1}{4}, &-1 \leq x < 2, \\ \frac{3}{4}, & 2 \leq x < 3, \\ 1, & x \geq 3. \end{cases} \end{equation} \)\( \)F(x)\(的图形如图 2-5 所示，它是一条阶梯形的曲线，在\)x =-1, 2, 3\(处有跳跃点，跳跃值分别为\)\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}\(。又 图 2-5 \)\(\begin{equation} P\left( X \leq \frac{1}{2} \right) = F\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4}, \end{equation} \)\( \)\(\begin{equation} P\left( \frac{3}{2} < X \leq \frac{5}{2} \right) = F\left( \frac{5}{2} \right)- F\left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{4}- \frac{1}{4} = \frac{1}{2}. \end{equation} \)\( \)\(\begin{equation} P\lbrace 2 \leq X \leq 3\rbrace = F(3)- F(2) + P\lbrace X = 2\rbrace \end{equation} \)\( \)\(\begin{equation} = 1- \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}. \end{equation} \)\( 一般，设离散型随机变量\)X\(的分布律为 \)\(\begin{equation} P\lbrace X = x_k\rbrace = p_k, \quad k = 1, 2, \cdots . \end{equation} \)\( 由概率的可列可加性得\)X\(的分布函数为 \)\(\begin{equation} F(x) = P\lbrace X \leq x\rbrace = \sum_{x_k \leq x} P\lbrace X = x_k\rbrace, \end{equation} \)\( 即 \)\(\begin{equation} F(x) = \sum_{x_k \leq x} p_k, \tag{3.2} \end{equation} \)\( 这里和式是对于所有满足\)x_k \leq x\(的\)k\(求和的。分布函数\)F(x)\(在\)x = x_k (k = 1, 2, \cdots )\(处有跳跃，其跳跃值为\)p_k = P(X = x_k)\(。 **例 2** 一个靶子是半径为\)2\(m 的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以\)X\(表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量\)X\(的分布函数。 **解** 若\)x < 0\(，则\)\lbrace X \leq x\rbrace\(是不可能事件，于是 \)\(\begin{equation} F(x) = P(X \leq x) = 0. \end{equation} \)\( 若\)0 \leq x \leq 2\(，由题意，\)P(0 \leq X \leq x) = kx^2\(，\)k\(是某一常数，为了确定\)k\(的值，取\)x = 2\(，有\)P(0 \leq X \leq 2) = 2^2 k\(，但已知\)P(0 \leq X \leq 2) = 1\(，故得\)k = 1/4\(，即 \)\(\begin{equation} P(0 \leq X \leq x) = \frac{x^2}{4}. \end{equation} \)\( 于是 \)\(\begin{equation} F(x) = P(X \leq x) = P(X < 0) + P(0 \leq X \leq x) = \frac{x^2}{4}. \end{equation} \)\( 若\)x \geq 2\(，由题意\)\lbrace X \leq x\rbrace\(是必然事件，于是 \)\(\begin{equation} F(x) = P(X \leq x) = 1. \end{equation} \)\( 综合上述，即得\)X\(的分布函数为 \)\(\begin{equation} F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{x^2}{4}, & 0 \leq x < 2, \\ 1, & x \geq 2. \end{cases} \end{equation} \)\( 它的图形是一条连续曲线如图 2-6 所示。 另外，容易看到本例中的分布函数\)F(x)\(，对于任意\)x\(可以写成形式 \)\(\begin{equation} F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt, \end{equation} \)\( 其中 \)\(\begin{equation} f(t) = \begin{cases} \frac{t}{2}, & 0 < t < 2, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \end{equation} \)\( 这就是说，\)F(x)\(恰是非负函数\)f(t)\(在区间\)(-\infty, x]\(上的积分，在这种情况下称\)X$为连续型随机变量。下一节我们将给出连续型随机变量的一般定义。
扩展与讲解
本次讨论的内容涉及离散型随机变量和连续型随机变量的分布律和分布函数。分布律和分布函数是描述随机变量行为的两个关键工具。通过分布律，我们可以了解随机变量在不同取值上的概率；通过分布函数，我们可以了解随机变量取值小于或等于某个数的累积概率。
1. 离散型随机变量的分布律和分布函数
对于离散型随机变量\(X\)，其取值是有限或可列无限的离散值。设\(X\)在\(x = x_k\)处的概率为\(p_k\)，则有分布律： $\(P\lbrace X = x_k \rbrace = p_k, \quad k = 1, 2, \dots\)\( 离散型随机变量的**分布函数**\)F(x)\(定义为\)P(X \leq x)\(，即\)X\(小于等于\)x\(的概率，可以写作： \)\(F(x) = \sum_{x_k \leq x} p_k\)\( 分布函数\)F(x)\(的图像通常是一条阶梯形的曲线，在每个可能的取值点\)x_k\(处有跳跃，跳跃的幅度为对应的\)p_k$。
示例：例 1 的分析
设随机变量\(X\)的分布律如下： $\(X:-1, 2, 3\)\( \)\(p_k: \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}\)\( 则\)X\(的分布函数\)F(x)\(在每个取值处的跳跃值分别是\)\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}\(，计算得\)F(x)\(为： \)\( F(x) = \begin{cases} 0, & x <-1, \\ \frac{1}{4}, &-1 \leq x < 2, \\ \frac{3}{4}, & 2 \leq x < 3, \\ 1, & x \geq 3. \end{cases} \)\( 使用分布函数计算概率问题，如\)P(X \leq \frac{1}{2})\(可以通过\)F(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$得出。
2. 连续型随机变量的分布函数
对于连续型随机变量，取值是连续的，通常表示测量或度量数据。连续型随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)在所有\(x\)上是连续的，无跳跃点。我们可以将\(F(x)\)写成某个函数\(f(t)\)的积分： $\(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt\)\( 这里，\)f(t)\(被称为概率密度函数（PDF），它满足在任意区间上积分为相应的概率。对于连续型随机变量\)X\(，在某个具体值上的概率为零，即\)P(X = a) = 0$。
示例：例 2 的分析
设\(X\)表示弹着点与圆心的距离，在范围\([0, 2]\)内概率与半径的平方成正比，通过积分计算得到： $\(F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{x^2}{4}, & 0 \leq x < 2, \\ 1, & x \geq 2. \end{cases} \)\( 其图像是一条连续曲线，随着\)x\(的增大逐渐趋于1，表明\)X$为一个典型的连续型随机变量。
选择题
离散型随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)在可能的取值处表现为：
A. 连续变化
B. 单调递减
C. 跳跃变化
D. 无限趋近
答案：C。解释：离散型随机变量的分布函数在每个取值处表现为跳跃。
在离散型随机变量中，分布函数\(F(x)\)的跳跃幅度等于：
A. 该点的概率
B. 所有点的概率和
C. 累积概率
D. 该点的期望
答案：A。解释：跳跃幅度即为该点的概率值。
连续型随机变量的分布函数\(F(x)\)在任何点的变化是：
A. 跳跃的
B. 连续的
C. 离散的
D. 无定义的
答案：B。解释：连续型随机变量的分布函数在所有点上是连续的。
对于随机变量\(X\)，分布函数\(F(x)\)描述的是：
A.\(X\)的可能取值
B.\(X\)小于或等于某值的概率
C.\(X\)的期望值
D.\(X\)的方差
答案：B。解释：分布函数\(F(x)\)表示\(X\)取值小于或等于某数的累积概率。
分布函数\(F(x)\)在值\(x_k\)处的跳跃值对应：
A.\(P(X = x_k)\)
B.\(P(X \leq x_k)\)
C.\(P(X > x_k)\)
D.\(P(X < x_k)\)
答案：A。解释：跳跃值就是\(X\)在\(x_k\)处的概率。
离散型随机变量的分布函数\(F(x)\)通常是：
A. 线性函数
B. 指数函数
C. 阶梯函数
D. 抛物线函数
答案：C。解释：离散型随机变量的分布函数一般为阶梯形曲线。
连续型随机变量\(X\)的概率密度函数\(f(x)\)满足：
A.\(f(x) \geq 0\)
B.\(f(x) = 1\)
C.\(f(x) < 0\)
D. 任意值
答案：A。解释：密度函数必须为非负函数。
连续型随机变量的分布函数是一个：
A. 阶梯函数
B. 连续曲线
C. 零散点集
D. 二次函数
答案：B。解释：连续型随机变量的分布函数是连续的。
在离散型随机变量中，\(F(x)\)在\(x\)取值外的地方：
A. 保持不变
B. 增加
C. 减少
D. 随机变化
答案：A。解释：在不包含取值的区间\(F(x)\)保持不变。
离散型随机变量的取值点\(x_k\)的概率表示为：
A.\(p_k\)
B.\(F(x)\)
C.\(f(x)\)
D.\(g(x)\)
答案：A。解释：离散型随机变量的概率值为\(p_k = P(X = x_k)\)。
离散型随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)满足以下哪项性质？
A.\(F(x)\)是单调递增的
B.\(F(x)\)在所有点上恒为0
C.\(F(x)\)可以递减
D.\(F(x)\)不随\(x\)变化
答案：A。解释：分布函数是单调递增的，因为随着\(x\)增加，累积概率不会减少。
若\(F(x)\)是离散型随机变量\(X\)的分布函数，则\(F(x)\)在\(x_k\)处的跳跃幅度为：
A.\(p_k = P(X = x_k)\)
B.\(P(X \leq x_k)\)
C.\(X\)的最大值
D.\(X\)的最小值
答案：A。解释：跳跃幅度表示该点的概率\(p_k\)。
若随机变量\(X\)的取值范围是\(-1, 2, 3\)，则\(F(3)\)的值为：
A. 0
B.\(\frac{1}{4}\)
C.\(\frac{3}{4}\)
D. 1
答案：D。解释：\(F(3)\)为分布函数在最大值处的累积概率，应等于1。
对于连续型随机变量\(X\)，下列描述正确的是：
A.\(P(X = x) = 0\)对任意\(x\)成立
B.\(P(X = x)\)可能不为0
C.\(X\)取值只能为整数
D.\(X\)取值只能为正数
答案：A。解释：连续型随机变量在具体点的概率为0，因为其概率分布是密度函数的积分。
若分布函数\(F(x)\)在\(x\)取值范围内为一个连续曲线，则该随机变量\(X\)为：
A. 离散型随机变量
B. 连续型随机变量
C. 常数
D. 变量
答案：B。解释：分布函数为连续曲线通常对应于连续型随机变量。
若随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)在\(x \geq 3\)时恒为1，这表明：
A.\(X\)的所有取值大于3
B.\(X\)的取值在3及其以下
C.\(X\)的取值只能为3
D.\(X\)的取值范围无穷大
答案：B。解释：当\(F(x) = 1\)时，表示\(X \leq x\)的累积概率已达最大，说明取值不会超过3。
离散型随机变量的分布函数在何种情况下会产生跳跃？
A. 当\(X\)取到某个值时
B. 当\(X\)取到连续区间时
C. 当\(X\)的取值为负时
D. 当\(X\)为零时
答案：A。解释：离散型随机变量的分布函数在每个可能取值处产生跳跃，跳跃幅度即为该点的概率。
连续型随机变量的概率密度函数\(f(x)\)的积分表示为：
A. 分布律
B. 分布函数
C. 累积概率
D.\(X\)的期望
答案：B。解释：密度函数的积分即为分布函数\(F(x)\)。
分布函数\(F(x)\)在\(x = x_k\)处的值可以解释为：
A.\(X\)小于或等于\(x_k\)的概率
B.\(X\)大于\(x_k\)的概率
C.\(X\)等于\(x_k\)的概率
D.\(X\)的平均值
答案：A。解释：分布函数在\(x_k\)处的值为\(P(X \leq x_k)\)，表示累积概率。
在连续型随机变量中，概率密度函数\(f(x)\)的作用是：
A. 直接给出\(X\)的概率
B. 用于计算区间概率
C. 表示\(X\)的取值
D. 描述\(X\)的最大值
答案：B。解释：概率密度函数通过积分计算随机变量在某区间的概率。
知识点扩展与讲解：
一、离散型随机变量分布函数的求解及示例（以例1为例）
分布函数的求解思路：
对于离散型随机变量，其分布函数\(F(x)\)是\(X\leq x\)的累积概率。已知随机变量\(X\)的分布律，要求分布函数\(F(x)\)，就是要根据\(x\)的取值范围，将小于或等于\(x\)的那些取值点处的概率\(p_k\)累加起来。
比如在例1中，随机变量\(X\)的分布律给定为\(X\)取值\(-1\)、\(2\)、\(3\)，对应的概率分别为\(\frac{1}{4}\)、\(\frac{1}{2}\)、\(\frac{1}{4}\)。当\(x\)在不同区间时，\(F(x)\)的值不同。当\(x <-1\)时，没有满足\(X\leq x\)的取值点，所以\(F(x)=0\)；当\(-1\leq x < 2\)时，只有\(X =-1\)满足条件，此时\(F(x)=P(X =-1)=\frac{1}{4}\)；当\(2\leq x < 3\)时，满足\(X\leq x\)的取值点有\(-1\)和\(2\)，所以\(F(x)=P(X =-1)+P(X = 2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)；当\(x\geq 3\)时，所有可能取值点都满足\(X\leq x\)，所以\(F(x)=1\)。
利用分布函数求概率：
已知分布函数\(F(x)\)后，就可以方便地求\(X\)落在某些区间的概率。例如求\(P\left( X \leq \frac{1}{2} \right)\)，直接将\(\frac{1}{2}\)代入分布函数\(F(x)\)中，得到\(F\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{4}\)，即\(P\left( X \leq \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{4}\)。
对于求\(P\left( \frac{3}{2} < X \leq \frac{5}{2} \right)\)，根据公式\(P\left( x_1 < X \leq x_2 \right)=F\left( x_2 \right)-F\left( x_1 \right)\)，这里\(x_1=\frac{3}{2}\)，\(x_2=\frac{5}{2}\)，所以\(P\left( \frac{3}{2} < X \leq \frac{5}{2} \right)=F\left( \frac{5}{2} \right)-F\left( \frac{3}{2} \right)=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。
求\(P\lbrace 2 \leq X \leq 3\rbrace\)时，要注意不能简单地用\(F(3)-F(2)\)，因为\(X\)在\(2\)这个点有概率取值，所以还需要加上\(P\lbrace X = 2\rbrace\)，即\(P\lbrace 2 \leq X \leq 3\rbrace = F(3)-F(2)+P\lbrace X = 2\rbrace = 1-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)。
一般形式的离散型随机变量分布函数：
设离散型随机变量\(X\)的分布律为\(P\lbrace X = x_k\rbrace = p_k\)，\(k = 1, 2, \cdots \)，由概率的可列可加性得其分布函数为\(F(x) = P\lbrace X \leq x\rbrace = \sum_{x_k \leq x} P\lbrace X = x_k\rbrace=\sum_{x_k \leq x} p_k\)，这里和式是对于所有满足\(x_k \leq x\)的\(k\)求和的。并且分布函数\(F(x)\)在\(x = x_k (k = 1, 2, \cdots )\)处有跳跃，其跳跃值为\(p_k = P(X = x_k)\)。 二、连续型随机变量分布函数的求解及示例（以例2为例）
分布函数的求解思路：
在例2中，我们面对的是一个与几何区域相关的随机变量\(X\)（弹着点与圆心的距离）。首先，根据不同的\(x\)取值范围来确定\(P(X\leq x)\)的值。
当\(x < 0\)时，\(\lbrace X \leq x\rbrace\)是不可能事件，所以\(F(x)=0\)。
当\(0\leq x\leq 2\)时，已知击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，设\(P(0\leq X\leq x)=kx^2\)，通过给定的条件（如取\(x = 2\)时，\(P(0\leq X\leq 2)=1\)）确定出常数\(k=\frac{1}{4}\)，进而得到\(F(x)=P(X\leq x)=P(X < 0)+P(0\leq X\leq x)=\frac{x^2}{4}\)。
当\(x\geq 2\)时，\(\lbrace X \leq x\rbrace\)是必然事件，所以\(F(x)=1\)。
与积分形式的联系及连续型随机变量的引出：
在求出例2的分布函数后，发现它可以写成\(F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt\)的形式，其中\(f(t)\)是一个分段函数，在\(0 < t < 2\)时，\(f(t)=\frac{t}{2}\)，其他情况\(f(t)=0\)。这表明\(F(x)\)恰是非负函数\(f(t)\)在区间\((-\infty, x]\)上的积分。在这种情况下，我们称\(X\)为连续型随机变量，这也为下一节要给出的连续型随机变量的一般定义做了铺垫。