第七章 参数估计
统计推断的基本问题可以分为两大类，一类是估计问题，另一类是假设检验问题。本章讨论总体参数的点估计和区间估计。
§1 点 估 计
设总体 \(X\) 的分布函数的形式已知，但它的一个或多个参数未知，借助于总体 \(X\) 的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题。
例1 在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数 \(X\) 是一个随机变量，假设它服从以 \(\lambda > 0\) 为参数的泊松分布，参数 \(\lambda\) 为未知。现有以下的样本值，试估计参数 \(\lambda\)。
着火次数 \(k\) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
发生 \(k\) 次着火的天数 \(n_k\) |
75 |
90 |
54 |
22 |
6 |
2 |
1 |
解 由于 \(X \sim \pi(\lambda)\)，故有 \(\lambda = E(X)\)。我们自然想到用样本均值来估计总体的均值 \(E(X)\)。现由已知数据计算得到 \( \overline{x} = \frac{\sum_{k=0}^{6} kn_k}{\sum_{k=0}^{6} n_k} \) \( = \frac{1}{250} [0 \times 75 + 1 \times 90 + 2 \times 54 + 3 \times 22 + 4 \times 6 + 5 \times 2 + 6 \times 1\) = 1.22, $
即 \(E(X) = \lambda\) 的估计为 1.22。
点估计问题的一般提法如下：设总体 \(X\) 的分布函数 \(F(x; \theta)\) 的形式为已知，\(\theta\) 是待估参数。\(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 是 \(X\) 的一个样本，\(x_1, x_2, \cdots, x_n\) 是相应的一个样本值。点估计问题就是要构造一个适当的统计量 \(\hat{\theta}(X_1, X_2, \cdots, X_n)\)，用它的观察值 \(\hat{\theta}(x_1, x_2, \cdots, x_n)\) 作为未知参数 \(\theta\) 的近似值。我们称 \(\hat{\theta}(X_1, X_2, \cdots, X_n)\) 为 \(\theta\) 的估计量，称 \(\hat{\theta}(x_1, x_2, \cdots, x_n)\) 为 \(\theta\) 的估计值。在不致混淆的情况下统称估计量和估计量。
① 多于一个未知参数时，可同样讨论。
计值为估计，并都简记为 \(\hat{\theta}\)。由于估计量是样本的函数。因此对于不同的样本值，\(\theta\) 的估计值一般是不相同的。
例如在例1中，我们用样本均值来估计总体均值。即有估计量 \( \hat{\lambda} = E(\hat{X}) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k, \quad n = 250. \)
估计值 \( \hat{\lambda} = E(\hat{X}) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_k = 1.22. \)
下面介绍两种常用的构造估计量的方法：矩估计法和最大似然估计法。
（一）矩估计法
设 \(X\) 为连续型随机变量，其概率密度为 \(f(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)\)，或 \(X\) 为离散型随机变量，其分布律为 \(P(X=x)=p(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)\)，其中 \(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k\) 为待估参数，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是来自 \(X\) 的样本。假设总体 \(X\) 的前 \(k\) 阶矩 \( \mu_l = E(X^l) = \int_{-\infty}^{\infty} x^l f(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k) dx \quad (X \text{ 连续型}) \) 或 \( \mu_l = E(X^l) = \sum_{x \in R_X} x^l p(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k) \quad (X \text{ 离散型}) \)
(其中 \(R_X\) 是 \(X\) 可能取值的范围)存在。一般来说，它们是 \(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k\) 的函数。基于样本矩 \( A_l = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \)
依概率收敛于相应的总体矩 \(\mu_l(l=1,2,\cdots,k)\)，样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数(见第六章§3)，我们就用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量。这种估计方法称为矩估计法。矩估计法的具体做法如下：设 \( \begin{cases} \mu_1 = \mu_1 (\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k), \\ \mu_2 = \mu_2 (\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k), \\ \vdots \\ \mu_k = \mu_k (\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k). \end{cases} \)
这是一个包含 \(k\) 个未知参数 \(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k\) 的联立方程组。一般来说，可以从中解出 \(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k\)，得到 \( \begin{cases} \theta_1 = \theta_1 (\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_k), \\ \theta_2 = \theta_2 (\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_k), \\ \vdots \\ \theta_k = \theta_k (\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_k). \end{cases} \)
以 \( A_i \) 分别代替上式中的 \(\mu_i, i=1,2,\cdots,k\)，就以 \( \hat{\theta}_i = \theta_i (A_1,A_2,\cdots,A_k), i=1,2,\cdots,k \) 分别作为 \(\theta_i, i=1,2,\cdots,k\) 的估计量，这种估计量称为矩估计量。矩估计量的观察值称为矩估计值。
例 2 设总体 \( X \) 在 \([a,b]\) 上服从均匀分布，\( a,b \) 未知。\( X_1,X_2,\cdots,X_n \) 是来自 \( X \) 的样本，试求 \( a,b \) 的矩估计量。
解 \( \mu_1 = E(X) = (a+b)/2, \) \( \mu_2 = E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 \) \( = (b-a)^2/12 + (a+b)^2/4. \) 即 \( \begin{cases} a+b=2\mu_1,\\ b-a=\sqrt{12(\mu_2-\mu_1^2)}. \end{cases} \) 解这一方程组得 \( a=\mu_1 - \sqrt{3(\mu_2-\mu_1^2)}, \quad b=\mu_1 + \sqrt{3(\mu_2-\mu_1^2)}. \)
分别以 \( A_1,A_2 \) 代替 \(\mu_1,\mu_2\)，得到 \( a,b \) 的矩估计量分别为（注意到 \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^2 - \overline{X}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\)）： \( \hat{a} = A_1 - \sqrt{3(A_2-A_1^2)} = \overline{X} - \sqrt{\frac{3}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}, \) \( \hat{b} = A_1 + \sqrt{3(A_2-A_1^2)} = \overline{X} + \sqrt{\frac{3}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}. \)
例 3 设总体 \( X \) 的均值 \(\mu\) 及方差 \(\sigma^2\) 都存在，且有 \(\sigma^2>0\)。但 \(\mu,\sigma^2\) 均为未知。又设 \( X_1,X_2,\cdots,X_n \) 是来自 \( X \) 的样本。试求 \(\mu,\sigma^2\) 的矩估计量。
解 \( \begin{cases} \mu_1 = E(X) = \mu,\\ \mu_2 = E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = \sigma^2 + \mu^2. \end{cases} \) 解得 \( \begin{cases} \mu = \mu_1,\\ \sigma^2 = \mu_2 - \mu_1^2. \end{cases} \) 分别以 \( A_1,A_2 \) 代替 \(\mu_1,\mu_2\)，得 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 的矩估计量分别为 \( \hat{\mu} = A_1 = \overline{X}, \) \( \hat{\sigma}^2 = A_2 - A_1^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^2 - \overline{X}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2. \)
所得结果表明，总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异。例如，\( X \sim N(\mu,\sigma^2),\mu,\sigma^2 \) 未知，即得 \(\mu,\sigma^2\) 的矩估计量为
\( \hat{\mu} = \bar{X}, \quad \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2. \)
（二）最大似然估计法
若总体 \( X \) 属离散型，其分布律 \( P(X=x) = p(x;\theta), \theta \in \Theta \) 的形式为已知，\( \theta \) 为待估参数，\( \Theta \) 是 \( \theta \) 可能取值的范围。设 \( X_1, X_2, \cdots, X_n \) 是来自 \( X \) 的样本，则 \( X_1, X_2, \cdots, X_n \) 的联合分布律为 \( \prod_{i=1}^{n}p(x_i;\theta). \) 又设 \( x_1, x_2, \cdots, x_n \) 是相应于样本 \( X_1, X_2, \cdots, X_n \) 的一个样本值。易知样本 \( X_1, X_2, \cdots, X_n \) 取到观察值 \( x_1, x_2, \cdots, x_n \) 的概率，亦即事件 \(\lbrace X_1 = x_1, X_2 = x_2, \cdots, X_n = x_n\rbrace\) 发生的概率为 \( L(\theta) = L(x_1, x_2, \cdots, x_n; \theta) = \prod_{i=1}^{n}p(x_i;\theta), \theta \in \Theta. ^{1.1} \) 这一概率随 \( \theta \) 的取值而变化，它是 \( \theta \) 的函数，\( L(\theta) \) 称为样本的似然函数（注意，这里 \( x_1, x_2, \cdots, x_n \) 是已知的样本值，它们都是常数）。
关于最大似然估计法，我们有以下的直观想法：现在已经取到样本值 \( x_1, x_2, \cdots, x_n \) 了，这表明取到这一样本值的概率 \( L(\theta) \) 比较大。我们当然不会考虑那些不能使样本 \( x_1, x_2, \cdots, x_n \) 出现的 \( \theta \in \Theta \) 作为 \( \theta \) 的估计，再者，如果已知当 \( \theta = \theta_0 \in \Theta \) 时使 \( L(\theta) \) 取得大值，而 \( \theta \) 中的其他 \( \theta \) 的值使 \( L(\theta) \) 取得小值，我们自然认为取 \( \theta_0 \) 作为未知参数 \( \theta \) 的估计值，较为合理。由费希尔 (R. A. Fisher) 引进的最大似然估计法，就是固定样本观察值 \( x_1, x_2, \cdots, x_n \)，在 \( \theta \) 取值的可能范围 \( \Theta \) 内挑选使似然函数 \( L(x_1, x_2, \cdots, x_n; \theta) \) 达到最大的参数值 \( \hat{\theta} \)，作为参数 \( \theta \) 的估计值。即取 \( \hat{\theta} \) 使 \( L(x_1, x_2, \cdots, x_n; \hat{\theta}) = \max_{\theta \in \Theta} L(x_1, x_2, \cdots, x_n; \theta). ^{1.2} \) 这样得到的 \( \hat{\theta} \) 与样本值 \( x_1, x_2, \cdots, x_n \) 有关，常记为 \( \hat{\theta}(x_1, x_2, \cdots, x_n) \)，称为参数 \( \theta \) 的最大似然估计值，而相应的统计量 \( \hat{\theta}(X_1, X_2, \cdots, X_n) \) 称为参数 \( \theta \) 的最大似然估计量。
若总体 \( X \) 属连续型，其概率密度 \( f(x;\theta), \theta \in \Theta \) 的形式已知，\( \theta \) 为待估参数，\( \Theta \) 是 \( \theta \) 可能取值的范围。设 \( X_1, X_2, \cdots, X_n \) 是来自 \( X \) 的样本，则 \( X_1, X_2, \cdots, X_n \) 的联合密度为 \( \prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta). \) 设 \( x_1, x_2, \cdots, x_n \) 是相应于样本 \( X_1, X_2, \cdots, X_n \) 的一个样本值，则随机点 \( (X_1, X_2, \cdots, X_n) \) 落在点 \( (x_1, x_2, \cdots, x_n) \) 的邻域（边长分别为 \( dx_1, dx_2, \cdots, dx_n \) 的 n 维立方体）内的概率近似地为
\( \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) dx_i. ^{1.3} \)
其值随 \(\theta\) 的取值而变化。与离散型的情况一样，我们取 \(\theta\) 的估计值 \(\hat{\theta}\) 使概率 (1.3) 取到最大值，但因子 \(\prod_{i=1}^{n} dx_i\) 不随 \(\theta\) 而变，故只需考虑函数
\( L(\theta) = L(x_1, x_2, \cdots, x_n; \theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) ^{1.4} \)
的最大值。这里 \(L(\theta)\) 称为样本的似然函数。若
\( L(x_1, x_2, \cdots, x_n; \hat{\theta}) = \max_{\theta \in \Theta} L(x_1, x_2, \cdots, x_n; \theta), \)
则称 \(\hat{\theta}(x_1, x_2, \cdots, x_n)\) 为 \(\theta\) 的最大似然估计值，称 \(\hat{\theta}(X_1, X_2, \cdots, X_n)\) 为 \(\theta\) 的最大似然估计量。
这样，确定最大似然估计量的问题就归结为微分学中的求最大值的问题了。
在很多情形下，\(p(x; \theta)\) 和 \(f(x; \theta)\) 关于 \(\theta\) 可微，这时 \(\hat{\theta}\) 常可从方程
\( \frac{d}{d\theta} L(\theta) = 0 ^{1.5} \)
解得①。又因 \(L(\theta)\) 与 \(\ln L(\theta)\) 在同一 \(\theta\) 处取到极值，因此，\(\theta\) 的最大似然估计 \(\hat{\theta}\) 也可以从方程
\( \frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = 0 ^{1.6} \)
求得，而从后一方程求解往往比较方便。(1.6) 称为对数似然方程。
例 4 设 \(X \sim b(1, p)\), \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 是来自 \(X\) 的一个样本，试求参数 \(p\) 的最大似然估计量。
解 设 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) 是相应于样本 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 的一个样本值。\(X\) 的分布律为
\( P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x}, \quad x=0,1. \)
故似然函数为
\( L(p) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i}(1-p)^{1-x_i} = p^{\sum_{i=1}^{n} x_i}(1-p)^{n - \sum_{i=1}^{n} x_i}, \)
而
\( \ln L(p) = (\sum_{i=1}^{n} x_i) \ln p + (n - \sum_{i=1}^{n} x_i) \ln (1-p), \)
令
\( \frac{d}{dp} \ln L(p) = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{p} - \frac{n - \sum_{i=1}^{n} x_i}{1-p} = 0, \)
解得
\( \hat{p} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \overline{x}. \)
① 这里没有提到 \(L(\theta)\) 取最大值的充分条件，但对于具体的函数是容易讨论的。
\( \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) dx_i. ^{1.3} \)
其值随 \(\theta\) 的取值而变化。与离散型的情况一样，我们取 \(\theta\) 的估计值 \(\hat{\theta}\) 使概率 (1.3) 取到最大值，但因子 \(\prod_{i=1}^{n} dx_i\) 不随 \(\theta\) 而变，故只需考虑函数
\( L(\theta) = L(x_1, x_2, \cdots, x_n; \theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) ^{1.4} \)
的最大值。这里 \(L(\theta)\) 称为样本的似然函数。若
\( L(x_1, x_2, \cdots, x_n; \hat{\theta}) = \max_{\theta \in \Theta} L(x_1, x_2, \cdots, x_n; \theta), \)
则称 \(\hat{\theta}(x_1, x_2, \cdots, x_n)\) 为 \(\theta\) 的最大似然估计值，称 \(\hat{\theta}(X_1, X_2, \cdots, X_n)\) 为 \(\theta\) 的最大似然估计量。
这样，确定最大似然估计量的问题就归结为微分学中的求最大值的问题了。
在很多情形下，\(p(x; \theta)\) 和 \(f(x; \theta)\) 关于 \(\theta\) 可微，这时 \(\hat{\theta}\) 常可从方程
\( \frac{d}{d\theta} L(\theta) = 0 ^{1.5} \)
解得①。又因 \(L(\theta)\) 与 \(\ln L(\theta)\) 在同一 \(\theta\) 处取到极值，因此，\(\theta\) 的最大似然估计 \(\hat{\theta}\) 也可以从方程
\( \frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = 0 ^{1.6} \)
求得，而从后一方程求解往往比较方便。(1.6) 称为对数似然方程。
例 4 设 \(X \sim b(1, p)\)。\(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 是来自 \(X\) 的一个样本，试求参数 \(p\) 的最大似然估计量。
解 设 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) 是相应于样本 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 的一个样本值。\(X\) 的分布律为
\( P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x}, \quad x=0,1. \)
故似然函数为
\( L(p) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i}(1-p)^{1-x_i} = p^{\sum_{i=1}^{n} x_i}(1-p)^{n - \sum_{i=1}^{n} x_i}, \)
而
\( \ln L(p) = (\sum_{i=1}^{n} x_i) \ln p + (n - \sum_{i=1}^{n} x_i) \ln (1-p), \)
令
\( \frac{d}{dp} \ln L(p) = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{p} - \frac{n - \sum_{i=1}^{n} x_i}{1-p} = 0, \)
解得
\( \hat{p} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \overline{x}. \)
① 这里没有提到 \(L(\theta)\) 取最大值的充分条件，但对于具体的函数是容易讨论的。
解得 \( p \) 的最大似然估计值
\( \hat{p} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \bar{x}. \)
\( p \) 的最大似然估计量为
\( \hat{p} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \bar{X}. \)
我们看到这一估计量与矩估计量是相同的。 □
最大似然估计法也适用于分布中含多个未知参数 \(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k\) 的情况。这时，似然函数 \( L \) 是这些未知参数的函数。分别令
\( \frac{\partial}{\partial \theta_i} L = 0, \, i = 1, 2, \cdots, k \)
或令
\( \frac{\partial}{\partial \theta_i} \ln L = 0, \, i = 1, 2, \cdots, k. ^{1.7} \)
解上述由 \( k \) 个方程组成的方程组，即可得到各未知参数 \(\theta_i (i = 1, 2, \cdots, k)\) 的最大似然估计值 \(\hat{\theta_i}\)。(1.7)称为对数似然方程组。
例5 设 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), \(\mu, \sigma^2\) 为未知参数, \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) 是来自 \(X\) 的一个样本值。求 \(\mu, \sigma^2\) 的最大似然估计量。
解 \(X\) 的概率密度为
\( f(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} \exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2} (x - \mu)^2 \right], \)
似然函数为
\( L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} \exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2} (x_i - \mu)^2 \right] \)
\( = (2\pi)^{-\frac{n}{2}} (\sigma^2)^{-\frac{n}{2}} \exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \right]. \)
而
\( \ln L = -\frac{n}{2} \ln (2\pi) - \frac{n}{2} \ln \sigma^2 - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2. \)
令
\( \begin{cases} \frac{\partial}{\partial \mu} \ln L = \frac{1}{\sigma^2} \left( \sum_{i=1}^{n} x_i - n\mu \right) = 0, \\ \frac{\partial}{\partial \sigma^2} \ln L = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 = 0. \end{cases} \)
由前一式解得 \(\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \bar{x}\), 代入后一式得 \(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\). 因此得 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 的最大似然估计量分别为
\( \hat{\mu} = \bar{X}, \, \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2. \)
它们与相应的矩估计量相同。 □
例6 设总体 \(X\) 在 \([a,b]\) 上服从均匀分布，\(a,b\) 未知，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是一个样本值。试求 \(a,b\) 的最大似然估计量。
解 记 \(x_{(1)}=\min\lbrace x_1,x_2,\cdots,x_n\rbrace, x_{(n)}=\max\lbrace x_1,x_2,\cdots,x_n\rbrace\)。\(X\) 的概率密度是 \( f(x;a,b)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \) 似然函数为 \( L(a,b)=\begin{cases} \frac{1}{(b-a)^n}, & a \leq x_1,x_2,\cdots,x_n \leq b, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \) 由于 \(a \leq x_1,x_2,\cdots,x_n \leq b\)，等价于 \(a \leq x_{(1)}, x_{(n)} \leq b\)。似然函数可写成 \( L(a,b)=\begin{cases} \frac{1}{(b-a)^n}, & a \leq x_{(1)}, b \geq x_{(n)}, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \) 于是对于满足条件 \(a \leq x_{(1)}, b \geq x_{(n)}\) 的任意 \(a,b\) 有 \( L(a,b)=\frac{1}{(b-a)^n} \leq \frac{1}{(x_{(n)} - x_{(1)})^n}. \) 即 \(L(a,b)\) 在 \(a=x_{(1)}, b=x_{(n)}\) 时取到最大值 \((x_{(n)} - x_{(1)})^{-n}\)。故 \(a,b\) 的最大似然估计值为 \( \hat{a}=x_{(1)}=\min_{1 \leq i \leq n} x_i, \quad \hat{b}=x_{(n)}=\max_{1 \leq i \leq n} x_i. \) \(a,b\) 的最大似然估计量为 \( \hat{a}=\min_{1 \leq i \leq n} X_i, \quad \hat{b}=\max_{1 \leq i \leq n} X_i. \)
此外，最大似然估计具有下述性质：设 \(\theta\) 的函数 \(u=u(\theta), \theta \in \Theta\) 具有单值反函数 \(\theta=\theta(u), u \in \mathbb{R}\)。又假设 \(\hat{\theta}\) 是 \(X\) 的概率分布中参数 \(\theta\) 的最大似然估计，则 \(\hat{u}=u(\hat{\theta})\) 是 \(u(\theta)\) 的最大似然估计。这一性质称为最大似然估计的不变性。
事实上，因为 \(\hat{\theta}\) 是 \(\theta\) 的最大似然估计，于是有 \( L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\hat{\theta})=\max_{\theta \in \Theta} L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\hat{\theta}), \) 其中 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是 \(X\) 的一个样本值，考虑到 \(\hat{u}=u(\hat{\theta})\)，且有 \(\hat{\theta}=\theta(\hat{u})\)，上述可写成 \( L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta(\hat{u}))=\max_{u \in \mathbb{R}} L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta(u)). \)
这就证明了 \(\hat{u}=u(\hat{\theta})\) 是 \(u(\theta)\) 的最大似然估计。
当总体分布中含有多个未知参数时，也具有上述性质。例如，在例5中已得到 \(\sigma^2\) 的最大似然估计为 \( \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2. \) 函数 \(u = u(\sigma^2) = \sqrt{\sigma^2}\) 有单值反函数 \(\sigma^2 = u^2 (u \geq 0)\)，根据上述性质，得到标准差 \(\sigma\) 的最大似然估计为 \( \hat{\sigma} = \sqrt{\hat{\sigma}^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2}. \)
我们还要提到的是，对数似然方程（1.6）或对数似然方程组（1.7）除了一些简单的情况外，往往没有有限函数形式的解，这就需要用数值方法求近似解。常用的算法是牛顿-拉弗森（Newton-Raphson）算法，对于（1.7）有时也用拟牛顿算法，它们都是迭代算法，读者可参考有关的参考书。
选择题
在参数估计中，点估计的目的是什么？
A. 估计参数的区间
B. 估计参数的值
C. 进行假设检验
D. 计算样本均值
答案：B 解释： 点估计的目的是估计参数的值。
在矩估计法中，我们使用什么来估计总体矩？
A. 样本矩
B. 总体矩
C. 样本均值
D. 样本方差
答案：A 解释： 在矩估计法中，我们使用样本矩来估计总体矩。
在最大似然估计法中，似然函数是什么？
A. 样本的联合分布律
B. 样本的联合密度函数
C. 样本的联合分布律或联合密度函数
D. 样本的均值
答案：C 解释： 在最大似然估计法中，似然函数是样本的联合分布律或联合密度函数。
在最大似然估计法中，如何选择参数的估计值？
A. 使似然函数最小化
B. 使似然函数最大化
C. 使样本均值最大化
D. 使样本方差最小化
答案：B 解释： 在最大似然估计法中，选择参数的估计值使似然函数最大化。
在矩估计法中，如何求解未知参数？
A. 通过求解样本矩的方程
B. 通过求解总体矩的方程
C. 通过求解样本均值的方程
D. 通过求解样本方差的方程
答案：A 解释： 在矩估计法中，通过求解样本矩的方程来求解未知参数。
在最大似然估计法中，对数似然方程是什么？
A. \(\frac{d}{d\theta} L(\theta) = 0\)
B. \(\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = 0\)
C. \(\frac{d}{d\theta} \ln f(x; \theta) = 0\)
D. \(\frac{d}{d\theta} f(x; \theta) = 0\)
答案：B 解释： 在最大似然估计法中，对数似然方程是 \(\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = 0\)。
在矩估计法中，总体均值的矩估计量是什么？
A. 样本均值
B. 样本方差
C. 样本标准差
D. 样本中位数
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体均值的矩估计量是样本均值。
在最大似然估计法中，如果总体分布中含有多个未知参数，如何求解这些参数？
A. 通过求解单个方程
B. 通过求解对数似然方程组
C. 通过求解样本矩的方程
D. 通过求解样本均值的方程
答案：B 解释： 在最大似然估计法中，如果总体分布中含有多个未知参数，通过求解对数似然方程组来求解这些参数。
在矩估计法中，总体方差的矩估计量是什么？
A. 样本方差
B. 样本均值
C. 样本标准差
D. 样本中位数
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体方差的矩估计量是样本方差。
在最大似然估计法中，如果总体分布是正态分布，如何估计均值和方差？
A. 通过求解样本均值和样本方差
B. 通过求解对数似然方程
C. 通过求解样本矩的方程
D. 通过求解样本中位数的方程
答案：B 解释： 在最大似然估计法中，如果总体分布是正态分布，通过求解对数似然方程来估计均值和方差。
在矩估计法中，总体均值的矩估计量与最大似然估计量是否相同？
A. 相同
B. 不同
C. 有时相同，有时不同
D. 取决于样本大小
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体均值的矩估计量与最大似然估计量相同。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程没有有限函数形式的解的情况？
A. 使用数值方法求近似解
B. 使用样本均值代替
C. 使用样本方差代替
D. 使用样本中位数代替
答案：A 解释： 在最大似然估计法中，如果对数似然方程没有有限函数形式的解，使用数值方法求近似解。
在矩估计法中，总体均值的矩估计量是否依赖于总体分布？
A. 依赖
B. 不依赖
C. 有时依赖，有时不依赖
D. 取决于样本大小
答案：B 解释： 在矩估计法中，总体均值的矩估计量不依赖于总体分布。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程组？
A. 通过求解单个方程
B. 通过求解对数似然方程组
C. 通过求解样本矩的方程
D. 通过求解样本均值的方程
答案：B 解释： 在最大似然估计法中，通过求解对数似然方程组来处理对数似然方程组。
在矩估计法中，总体方差的矩估计量是否依赖于总体分布？
A. 依赖
B. 不依赖
C. 有时依赖，有时不依赖
D. 取决于样本大小
答案：B 解释： 在矩估计法中，总体方差的矩估计量不依赖于总体分布。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程的数值解？
A. 使用数值方法求近似解
B. 使用样本均值代替
C. 使用样本方差代替
D. 使用样本中位数代替
答案：A 解释： 在最大似然估计法中，使用数值方法求近似解来处理对数似然方程的数值解。
在矩估计法中，总体均值的矩估计量是否与样本大小有关？
A. 有关
B. 无关
C. 有时有关，有时无关
D. 取决于总体分布
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体均值的矩估计量与样本大小有关。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程组的数值解？
A. 使用数值方法求近似解
B. 使用样本均值代替
C. 使用样本方差代替
D. 使用样本中位数代替
答案：A 解释： 在最大似然估计法中，使用数值方法求近似解来处理对数似然方程组的数值解。
在矩估计法中，总体方差的矩估计量是否与样本大小有关？
A. 有关
B. 无关
C. 有时有关，有时无关
D. 取决于总体分布
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体方差的矩估计量与样本大小有关。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程的解析解？
A. 通过求解对数似然方程
B. 通过求解样本均值的方程
C. 通过求解样本方差的方程
D. 通过求解样本中位数的方程
答案：A 解释： 在最大似然估计法中，通过求解对数似然方程来处理对数似然方程的解析解。
（\(\theta\)）的最大似然估计，所以选A。
设总体 \(X\) 的分布函数为 \(F(x;\theta)\)，\(\theta\) 是待估参数，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是 \(X\) 的一个样本，点估计问题就是要构造一个适当的统计量 \(\hat{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)，用它的观察值 \(\hat{\theta}(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 作为未知参数 \(\theta\) 的近似值，这里的 \(\hat{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\) 称为（ ）。 A. 待估参数 B. 总体参数 C. 估计值 D. 估计量 答案：D 解释：根据点估计的定义，构造的统计量 \(\hat{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\) 称为估计量，其观察值 \(\hat{\theta}(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 称为估计值，所以这里选D。
在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数 \(X\) 是一个随机变量，假设它服从以 \(\lambda>0\) 为参数的泊松分布，参数 \(\lambda\) 为未知。现要估计参数 \(\lambda\)，可以自然想到用（ ）来估计总体的均值 \(E(X)\)。 A. 样本方差 B. 样本均值 C. 总体方差 D. 总体均值 答案：B 解释：在已知 \(X\sim\pi(\lambda)\) ，因为 \(\lambda = E(X)\)，所以自然想到用样本均值来估计总体的均值 \(E(X)\)，进而估计参数 \(\lambda\)，选B。
对于总体 \(X\) 属连续型，其概率密度为 \(f(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)\)，矩估计法中总体 \(X\) 的前 \(k\) 阶矩 \(\mu_l\) 的计算公式（当 \(X\) 为连续型）为（ ）。 A. \(\mu_l = \sum_{x\in R_X} x^l p(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)\) B. \(\mu_l = E(X^l) = \int_{-\infty}^{\infty} x^l f(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k) dx\) C. \(\mu_l = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^l\) D. \(\mu_l = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^l\) 答案：B 解释：当总体 \(X\) 为连续型随机变量，其概率密度为 \(f(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)\) 时，总体 \(X\) 的前 \(k\) 阶矩 \(\mu_l\) 的计算公式为 \(\mu_l = E(X^l) = \int_{-\infty}^{\infty} x^l f(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k) dx\)，所以选B。
设总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(\mu,\sigma^2\) 为未知参数，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自 \(X\) 的一个样本值，用最大似然估计法求 \(\sigma^2\) 的最大似然估计量为（ ）。 A. \(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2\) B. \(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2\) C. \(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2\) D. \(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2\) 答案：D 解释：对总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) 运用最大似然估计法的计算步骤，可求得 \(\sigma^2\) 的最大似然估计量为 \(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2\)，所以选D。
若总体 \(X\) 属离散型，其分布律 \(P(X=x)=p(x;\theta)\)，要确定参数 \(\theta\) 的最大似然估计量，在很多情形下，可从方程（ ）解得。 A. \(\frac{d}{d\theta} L(\theta) = 0\) 或 \(\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = 0\) B. \(\frac{\partial}{\partial \theta} L(\theta) = 0\) 或 \(\frac{\partial}{\partial \theta} \ln L(\theta) = 0\) C. \(\frac{d}{d\theta} L(\theta) = 1\) 或 \(\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = 1\) D. \(\frac{\partial}{\partial \theta} L(\theta) = 1\) 或 \(\frac{\partial}{\partial \theta} \ln L(\theta) = 1\) 答案：A 解释：若总体 \(X\) 属离散型，要确定参数 \(\theta\) 的最大似然估计量，在很多情形下，可从方程 \(\frac{d}{d\theta} L(\theta) = 0\) 或 \(\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = 0\) 解得，所以选A。
设总体 \(X\) 在 \([a,b]\) 上服从均匀分布，\(a,b\) 未知，用矩估计法求 \(b\) 的矩估计量为（ ）。 A. \(\hat{b} = \overline{X} - \sqrt{\frac{3}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}\) B. \(\hat{b} = \overline{X} + \sqrt{\frac{3}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}\) C. \(\hat{b} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i - \sqrt{\frac{3}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}\) D. \(\hat{b} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i + \sqrt{\frac{3}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}\) 答案：B 解释：根据总体 \(X\) 在 \([a,b]\) 上服从均匀分布时求矩估计量的步骤，\(b\) 的矩估计量为 \(\hat{b} = \overline{X} + \sqrt{\frac{3}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}\)，所以选B。
以下是 30 个关于参数估计知识点的选择题：
一、选择题
（一）基础概念与问题引入
统计推断的核心任务不包括以下哪一项？（ ） A. 参数估计 B. 数据收集 C. 假设检验 D. 对总体特征进行推断 答案：B 解释：统计推断主要包括参数估计和假设检验，目的是对总体特征进行推断，数据收集是前期工作，不属于核心任务，所以选 B。
在参数估计问题中，已知条件通常是（ ）。 A. 总体的所有参数和样本数据 B. 总体分布函数形式及样本数据，部分参数未知 C. 仅样本数据，总体分布函数形式未知 D. 仅总体分布函数形式，无样本数据 答案：B 解释：参数估计是在总体分布函数形式已知，但一个或多个参数未知的情况下，借助样本数据进行估计，所以选 B。
对于一个总体参数的点估计，以下哪种说法是正确的？（ ） A. 点估计值是唯一确定的，与样本无关 B. 点估计值是总体参数的真实值 C. 点估计是用一个统计量的观察值作为总体参数的近似值 D. 点估计量是一个固定的数值 答案：C 解释：点估计是构造一个统计量（估计量），用其观察值（估计值）作为未知参数的近似值，不同样本可能得到不同的估计值，且只是近似值不是真实值，估计量是样本的函数不是固定数值，所以选 C。
（二）矩估计法
矩估计法中，总体的一阶矩通常与以下哪个总体参数相关？（ ） A. 方差 B. 均值 C. 标准差 D. 中位数 答案：B 解释：总体的一阶矩就是均值，所以用矩估计法时，一阶矩通常与总体均值相关，选 B。
设总体 \(X\) 的概率密度函数为 \(f(x)=\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x>0\)，\(\theta>0\) 未知，用矩估计法求 \(\theta\) 的估计量，设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是来自 \(X\) 的样本，则 \(\hat{\theta}=\)（ ）。 A. \(\overline{X}\) B. \(\frac{1}{\overline{X}}\) C. \(2\overline{X}\) D. \(\frac{1}{2}\overline{X}\) 答案：A 解释：先求总体一阶矩 \(E(X)=\int_{0}^{\infty}x\cdot\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}dx=\theta\)，根据矩估计法，用样本均值 \(\overline{X}\) 估计总体均值，即 \(\hat{\theta}=\overline{X}\)，所以选 A。
若总体 \(X\) 服从二项分布 \(B(m,p)\)（\(m\) 已知，\(p\) 未知），\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，用矩估计法求 \(p\) 的估计量为（ ）。 A. \(\hat{p}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\) B. \(\hat{p}=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{mn}\) C. \(\hat{p}=\frac{1}{m}\overline{X}\) D. \(\hat{p}=\frac{\overline{X}}{n}\) 答案：B 解释：总体 \(X\sim B(m,p)\) 的均值 \(E(X)=mp\)，由矩估计法，\(mp\) 用样本均值 \(\overline{X}\) 估计，即 \(mp=\overline{X}\)，解得 \(\hat{p}=\frac{\overline{X}}{m}=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{mn}\)，所以选 B。
矩估计法的理论依据是（ ）。 A. 大数定律 B. 中心极限定理 C. 样本矩依概率收敛于相应总体矩 D. 正态分布的性质 答案：C 解释：矩估计法基于样本矩依概率收敛于相应总体矩，所以选 C。
（三）最大似然估计法
对于总体 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布，其概率密度函数 \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x>0\)，设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，似然函数 \(L(\lambda)=\)（ ）。 A. \(\lambda^n e^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i}\) B. \(\lambda e^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i}\) C. \(\lambda^n e^{-\lambda x_i}\) D. \(\lambda e^{-\lambda x_i}\) 答案：A 解释：样本 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 的联合概率密度即似然函数 \(L(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}\lambda e^{-\lambda x_i}=\lambda^n e^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i}\)，所以选 A。
设总体 \(X\) 服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)，\(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 未知，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是样本值，对数似然方程 \(\frac{\partial}{\partial\mu}\ln L(\mu,\sigma^2)=0\) 的解为（ ）。 A. \(\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\) B. \(\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2\) C. \(\hat{\mu}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}\) D. \(\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2\) 答案：A 解释：先写出似然函数 \(L(\mu,\sigma^2)\)，再求对数似然函数 \(\ln L(\mu,\sigma^2)\)，对 \(\mu\) 求偏导并令其为 0，解得 \(\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\)，所以选 A。
总体 \(X\) 服从均匀分布 \(U(a,b)\)，\(a\) 和 \(b\) 未知，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是样本值，最大似然估计法求得 \(a\) 的估计值为（ ）。 A. \(\min\lbrace x_1,x_2,\cdots,x_n\rbrace\) B. \(\max\lbrace x_1,x_2,\cdots,x_n\rbrace\) C. \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i-\sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}\) D. \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+\sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}\) 答案：A 解释：根据均匀分布最大似然估计的求解过程，\(a\) 的最大似然估计值为 \(\min\lbrace x_1,x_2,\cdots,x_n\rbrace\)，所以选 A。
设总体 \(X\) 的分布律为 \(P(X = k)=\frac{\theta^k e^{-\theta}}{k!},k = 0,1,2,\cdots\)，\(\theta>0\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，最大似然估计量 \(\hat{\theta}=\)（ ）。 A. \(\overline{X}\) B. \(\frac{1}{\overline{X}}\) C. \(\sum_{i=1}^{n}X_i\) D. \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\) 答案：A 解释：写出似然函数 \(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}\frac{\theta^{x_i}e^{-\theta}}{x_i!}\)，取对数后求导并令导数为 0，解得 \(\hat{\theta}=\overline{X}\)，所以选 A。
最大似然估计法中，似然函数取最大值的点对应的参数值作为估计值的原因是（ ）。 A. 该点使样本出现的概率最大 B. 该点使总体分布最均匀 C. 该点使样本方差最小 D. 该点使总体均值最大 答案：A 解释：最大似然估计法的直观想法是取到样本值后，使样本取到该观察值概率（似然函数）最大的参数值作为估计值，所以选 A。
（四）综合类
对于同一总体参数，矩估计量和最大似然估计量（ ）。 A. 一定相同 B. 一定不同 C. 可能相同也可能不同 D. 无法比较 答案：C 解释：如某些分布（如正态分布、二项分布在特定条件下）的参数，其矩估计量和最大似然估计量相同，但有些分布则不同，所以选 C。
设总体 \(X\) 服从几何分布 \(P(X = k)=p(1 - p)^{k - 1},k = 1,2,\cdots\)，\(p\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，用矩估计法求 \(p\) 的估计量为（ ）。 A. \(\hat{p}=\frac{1}{\overline{X}}\) B. \(\hat{p}=\overline{X}\) C. \(\hat{p}=\frac{1}{1+\overline{X}}\) D. \(\hat{p}=\frac{1}{1-\overline{X}}\) 答案：C 解释：先求总体 \(X\) 的均值 \(E(X)=\frac{1}{p}\)，根据矩估计法，\(\frac{1}{p}=\overline{X}\)，解得 \(\hat{p}=\frac{1}{1+\overline{X}}\)，所以选 C。
已知总体 \(X\) 的分布函数 \(F(x;\theta)\)，\(\theta\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，若 \(\hat{\theta}_1\) 和 \(\hat{\theta}_2\) 都是 \(\theta\) 的无偏估计量，且 \(D(\hat{\theta}_1)<D(\hat{\theta}_2)\)，则（ ）。 A. \(\hat{\theta}_1\) 比 \(\hat{\theta}_2\) 更有效 B. \(\hat{\theta}_2\) 比 \(\hat{\theta}_1\) 更有效 C. \(\hat{\theta}_1\) 和 \(\hat{\theta}_2\) 有效性相同 D. 无法判断两者有效性 答案：A 解释：在无偏估计量中，方差越小越有效，因为 \(D(\hat{\theta}_1)<D(\hat{\theta}_2)\)，所以 \(\hat{\theta}_1\) 比 \(\hat{\theta}_2\) 更有效，选 A。
设总体 \(X\) 服从泊松分布 \(P(\lambda)\)，\(\lambda\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，若用矩估计法和最大似然估计法求 \(\lambda\) 的估计量，结果分别为 \(\hat{\lambda}_1\) 和 \(\hat{\lambda}_2\)，则（ ）。 A. \(\hat{\lambda}_1=\hat{\lambda}_2=\overline{X}\) B. \(\hat{\lambda}_1=\overline{X},\hat{\lambda}_2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\) C. \(\hat{\lambda}_1=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2,\hat{\lambda}_2=\overline{X}\) D. \(\hat{\lambda}_1=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2,\hat{\lambda}_2=\overline{X}\) 答案：A 解释：对于泊松分布，矩估计法和最大似然估计法求得的 \(\lambda\) 的估计量均为样本均值 \(\overline{X}\)，所以选 A。
总体 \(X\) 服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\) 已知，\(\mu\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，以下关于 \(\mu\) 的估计量中，不是无偏估计量的是（ ）。 A. \(\hat{\mu}_1=\overline{X}\) B. \(\hat{\mu}_2=\frac{1}{2}(X_1+X_2)\) C. \(\hat{\mu}_3=\sum_{i=1}^{n}a_iX_i\)（\(\sum_{i=1}^{n}a_i = 1\)） D. \(\hat{\mu}_4=X_1\) 答案：B 解释：\(E(\hat{\mu}_1)=E(\overline{X})=\mu\)，\(E(\hat{\mu}_3)=\sum_{i=1}^{n}a_iE(X_i)=\mu\sum_{i=1}^{n}a_i=\mu\)，\(E(\hat{\mu}_4)=E(X_1)=\mu\)，而 \(E(\hat{\mu}_2)=\frac{1}{2}(E(X_1)+E(X_2))=\mu\) 不恒成立，所以选 B。
设总体 \(X\) 的均值 \(\mu\) 和方差 \(\sigma^2\) 都存在且未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，若 \(\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\) 是 \(\sigma^2\) 的矩估计量，那么 \(E(\hat{\sigma}^2)=\)（ ）。 A. \(\sigma^2\) B. \(\frac{n - 1}{n}\sigma^2\) C. \(\frac{n}{n - 1}\sigma^2\) D. \(n\sigma^2\) 答案：B 解释：\(E(\hat{\sigma}^2)=\frac{n - 1}{n}\sigma^2\)，这是样本方差的无偏性修正的相关结论，所以选 B。
总体 \(X\) 服从均匀分布 \(U(0,\theta)\)，\(\theta\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，用矩估计法求 \(\theta\) 的估计量为（ ）。 A. \(\hat{\theta}=2\overline{X}\) B. \(\hat{\theta}=\overline{X}\) C. \(\hat{\theta}=\frac{1}{2}\overline{X}\) D. \(\hat{\theta}=\sqrt{\overline{X}}\) 答案：A 解释：总体 \(X\sim U(0,\theta)\) 的均值 \(E(X)=\frac{\theta}{2}\)，由矩估计法，\(\frac{\theta}{2}=\overline{X}\)，解得 \(\hat{\theta}=2\overline{X}\)，所以选 A。
设总体 \(X\) 服从指数分布 \(E(\lambda)\)，\(\lambda\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，若 \(\hat{\lambda}\) 是 \(\lambda\) 的最大似然估计量，则 \(D(\hat{\lambda})=\)（ ）。 A. \(\frac{1}{n\lambda^2}\) B. \(\lambda^2\) C. \(\frac{\lambda^2}{n}\) D. \(\frac{n}{\lambda^2}\) 答案：C 解释：对于指数分布 \(E(\lambda)\) 的最大似然估计量 \(\hat{\lambda}=\frac{1}{\overline{X}}\)，且 \(D(\hat{\lambda})=\frac{\lambda^2}{n}\)，所以选 C。
总体 \(X\) 服从伽马分布 \(Ga(\alpha,\lambda)\)（\(\alpha\) 已知，\(\lambda\) 未知），\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，用最大似然估计法求 \(\lambda\) 的估计量，需要求解（ ）。 A. 一个对数似然方程 B. 两个对数似然方程 C. 一个普通似然方程 D. 两个普通似然方程
答案：A 解释：对于总体 \(X\) 服从伽马分布 \(Ga(\alpha,\lambda)\)（\(\alpha\) 已知，\(\lambda\) 未知），似然函数是关于 \(\lambda\) 的函数，只需要求解一个对数似然方程 \(\frac{\partial}{\partial\lambda}\ln L(\lambda)=0\) 来得到 \(\lambda\) 的最大似然估计量，所以选 A。
设总体 \(X\) 服从二项分布 \(B(n,p)\)，\(n\) 已知，\(p\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_m\) 是样本，若用矩估计法求 \(p\) 的估计量，是基于总体的（ ）阶矩。 A. 一 B. 二 C. 一和二 D. 以上都不对
答案：A 解释：对于二项分布 \(B(n,p)\)，用矩估计法求 \(p\) 的估计量时，利用总体的一阶矩 \(E(X)=np\)，用样本均值来估计总体均值，从而得到 \(p\) 的估计量，所以基于一阶矩，选 A。
总体 \(X\) 服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)，\(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，在求 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 的最大似然估计量过程中，对数似然函数 \(\ln L(\mu,\sigma^2)\) 对 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 的偏导数分别为（ ）。 A. \(\frac{\partial}{\partial\mu}\ln L(\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)\)，\(\frac{\partial}{\partial\sigma^2}\ln L(\mu,\sigma^2)=-\frac{n}{2\sigma^2}+\frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\) B. \(\frac{\partial}{\partial\mu}\ln L(\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)\)，\(\frac{\partial}{\partial\sigma^2}\ln L(\mu,\sigma^2)=\frac{n}{2\sigma^2}-\frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\) C. \(\frac{\partial}{\partial\mu}\ln L(\mu,\sigma^2)=-\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)\)，\(\frac{\partial}{\partial\sigma^2}\ln L(\mu,\sigma^2)=-\frac{n}{2\sigma^2}+\frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\) D. \(\frac{\partial}{\partial\mu}\ln L(\mu,\sigma^2)=-\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)\)，\(\frac{\partial}{\partial\sigma^2}\ln L(\mu,\sigma^2)=\frac{n}{2\sigma^2}-\frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\)
答案：A 解释：先写出正态分布的似然函数 \(L(\mu,\sigma^2)\)，再求对数似然函数 \(\ln L(\mu,\sigma^2)\)，然后分别对 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 求偏导可得上述结果，所以选 A。
设总体 \(X\) 的分布函数为 \(F(x;\theta_1,\theta_2)\)，\(\theta_1\) 和 \(\theta_2\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，矩估计法中需要建立关于 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\) 的方程组，方程组的个数为（ ）。 A. 1 B. 2 C. \(n\) D. 与 \(n\) 有关
答案：B 解释：因为有两个未知参数 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\)，所以需要建立两个方程组成的方程组，分别用总体的一阶矩和二阶矩与样本矩建立等式关系，所以选 B。
总体 \(X\) 服从均匀分布 \(U(a,b)\)，\(a\) 和 \(b\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，用最大似然估计法求 \(b\) 的估计量为（ ）。 A. \(\hat{b}=\max\lbrace X_1,X_2,\cdots,X_n\rbrace\) B. \(\hat{b}=\min\lbrace X_1,X_2,\cdots,X_n\rbrace\) C. \(\hat{b}=\overline{X}+\sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}\) D. \(\hat{b}=\overline{X}-\sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}\)
答案：A 解释：根据均匀分布 \(U(a,b)\) 的最大似然估计求解过程，\(b\) 的最大似然估计量为 \(\hat{b}=\max\lbrace X_1,X_2,\cdots,X_n\rbrace\)，所以选 A。
设总体 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，若已知样本值 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，似然函数 \(L(\lambda)\) 是关于 \(\lambda\) 的（ ）。 A. 线性函数 B. 指数函数 C. 多项式函数 D. 以上都不对
答案：B 解释：总体 \(X\) 服从泊松分布时，似然函数 \(L(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}\frac{\lambda^{x_i}e^{-\lambda}}{x_i!}=\lambda^{\sum_{i=1}^{n}x_i}e^{-n\lambda}\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i!}\)，是关于 \(\lambda\) 的指数函数，所以选 B。
总体 \(X\) 服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)，\(\mu\) 已知，\(\sigma^2\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，用最大似然估计法求 \(\sigma^2\) 的估计量为（ ）。 A. \(\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\) B. \(\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\) C. \(\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\) D. \(\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)
答案：A 解释：当 \(\mu\) 已知时，写出似然函数并求对数似然函数，对 \(\sigma^2\) 求偏导并令其为 0，可解得 \(\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\)，所以选 A。
设总体 \(X\) 的概率密度函数为 \(f(x)=\frac{2(\theta - x)}{\theta^2},0<x<\theta\)，\(\theta\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，用矩估计法求 \(\theta\) 的估计量为（ ）。 A. \(\hat{\theta}=\frac{3}{2}\overline{X}\) B. \(\hat{\theta}=\frac{2}{3}\overline{X}\) C. \(\hat{\theta}=3\overline{X}\) D. \(\hat{\theta}=\overline{X}\)
答案：A 解释：先求总体 \(X\) 的一阶矩 \(E(X)=\int_{0}^{\theta}x\cdot\frac{2(\theta - x)}{\theta^2}dx=\frac{\theta}{3}\)，根据矩估计法，\(\frac{\theta}{3}=\overline{X}\)，解得 \(\hat{\theta}=\frac{3}{2}\overline{X}\)，所以选 A。
总体 \(X\) 服从对数正态分布 \(LN(\mu,\sigma^2)\)，\(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，在求最大似然估计量时，通常先对（ ）进行变换。 A. 样本数据 B. 总体分布函数 C. 似然函数 D. 以上都不对
答案：A 解释：对于对数正态分布，通常先对样本数据取对数，使其服从正态分布，然后再进行最大似然估计量的求解，所以选 A。
设总体 \(X\) 服从威布尔分布 \(Weibull(\alpha,\beta)\)，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是样本，用最大似然估计法求参数估计量时，一般需要借助（ ）。 A. 数值计算方法 B. 简单代数运算 C. 特定的分布性质 D. 以上都不对
答案：A 解释：威布尔分布的最大似然估计方程通常比较复杂，一般需要借助数值计算方法（如牛顿 - 拉弗森算法等）来求解参数估计量，所以选 A。
好的，以下是30个更细节的选择题，涵盖了参数估计中的更多细节知识点。
选择题
在参数估计中，点估计的目的是什么？
A. 估计参数的区间
B. 估计参数的值
C. 进行假设检验
D. 计算样本均值
答案：B 解释： 点估计的目的是估计参数的值。
在矩估计法中，我们使用什么来估计总体矩？
A. 样本矩
B. 总体矩
C. 样本均值
D. 样本方差
答案：A 解释： 在矩估计法中，我们使用样本矩来估计总体矩。
在最大似然估计法中，似然函数是什么？
A. 样本的联合分布律
B. 样本的联合密度函数
C. 样本的联合分布律或联合密度函数
D. 样本的均值
答案：C 解释： 在最大似然估计法中，似然函数是样本的联合分布律或联合密度函数。
在最大似然估计法中，如何选择参数的估计值？
A. 使似然函数最小化
B. 使似然函数最大化
C. 使样本均值最大化
D. 使样本方差最小化
答案：B 解释： 在最大似然估计法中，选择参数的估计值使似然函数最大化。
在矩估计法中，如何求解未知参数？
A. 通过求解样本矩的方程
B. 通过求解总体矩的方程
C. 通过求解样本均值的方程
D. 通过求解样本方差的方程
答案：A 解释： 在矩估计法中，通过求解样本矩的方程来求解未知参数。
在最大似然估计法中，对数似然方程是什么？
A. \(\frac{d}{d\theta} L(\theta) = 0\)
B. \(\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = 0\)
C. \(\frac{d}{d\theta} \ln f(x; \theta) = 0\)
D. \(\frac{d}{d\theta} f(x; \theta) = 0\)
答案：B 解释： 在最大似然估计法中，对数似然方程是 \(\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = 0\)。
在矩估计法中，总体均值的矩估计量是什么？
A. 样本均值
B. 样本方差
C. 样本标准差
D. 样本中位数
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体均值的矩估计量是样本均值。
在最大似然估计法中，如果总体分布中含有多个未知参数，如何求解这些参数？
A. 通过求解单个方程
B. 通过求解对数似然方程组
C. 通过求解样本矩的方程
D. 通过求解样本均值的方程
答案：B 解释： 在最大似然估计法中，如果总体分布中含有多个未知参数，通过求解对数似然方程组来求解这些参数。
在矩估计法中，总体方差的矩估计量是什么？
A. 样本方差
B. 样本均值
C. 样本标准差
D. 样本中位数
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体方差的矩估计量是样本方差。
在最大似然估计法中，如果总体分布是正态分布，如何估计均值和方差？
A. 通过求解样本均值和样本方差
B. 通过求解对数似然方程
C. 通过求解样本矩的方程
D. 通过求解样本中位数的方程
答案：B 解释： 在最大似然估计法中，如果总体分布是正态分布，通过求解对数似然方程来估计均值和方差。
在矩估计法中，总体均值的矩估计量与最大似然估计量是否相同？
A. 相同
B. 不同
C. 有时相同，有时不同
D. 取决于样本大小
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体均值的矩估计量与最大似然估计量相同。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程没有有限函数形式的解的情况？
A. 使用数值方法求近似解
B. 使用样本均值代替
C. 使用样本方差代替
D. 使用样本中位数代替
答案：A 解释： 在最大似然估计法中，如果对数似然方程没有有限函数形式的解，使用数值方法求近似解。
在矩估计法中，总体均值的矩估计量是否依赖于总体分布？
A. 依赖
B. 不依赖
C. 有时依赖，有时不依赖
D. 取决于样本大小
答案：B 解释： 在矩估计法中，总体均值的矩估计量不依赖于总体分布。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程组？
A. 通过求解单个方程
B. 通过求解对数似然方程组
C. 通过求解样本矩的方程
D. 通过求解样本均值的方程
答案：B 解释： 在最大似然估计法中，通过求解对数似然方程组来处理对数似然方程组。
在矩估计法中，总体方差的矩估计量是否依赖于总体分布？
A. 依赖
B. 不依赖
C. 有时依赖，有时不依赖
D. 取决于样本大小
答案：B 解释： 在矩估计法中，总体方差的矩估计量不依赖于总体分布。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程的数值解？
A. 使用数值方法求近似解
B. 使用样本均值代替
C. 使用样本方差代替
D. 使用样本中位数代替
答案：A 解释： 在最大似然估计法中，使用数值方法求近似解来处理对数似然方程的数值解。
在矩估计法中，总体均值的矩估计量是否与样本大小有关？
A. 有关
B. 无关
C. 有时有关，有时无关
D. 取决于总体分布
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体均值的矩估计量与样本大小有关。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程组的数值解？
A. 使用数值方法求近似解
B. 使用样本均值代替
C. 使用样本方差代替
D. 使用样本中位数代替
答案：A 解释： 在最大似然估计法中，使用数值方法求近似解来处理对数似然方程组的数值解。
在矩估计法中，总体方差的矩估计量是否与样本大小有关？
A. 有关
B. 无关
C. 有时有关，有时无关
D. 取决于总体分布
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体方差的矩估计量与样本大小有关。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程的解析解？
A. 通过求解对数似然方程
B. 通过求解样本均值的方程
C. 通过求解样本方差的方程
D. 通过求解样本中位数的方程
答案：A 解释： 在最大似然估计法中，通过求解对数似然方程来处理对数似然方程的解析解。
在矩估计法中，总体均值的矩估计量是否与样本大小有关？
A. 有关
B. 无关
C. 有时有关，有时无关
D. 取决于总体分布
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体均值的矩估计量与样本大小有关。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程组的数值解？
A. 使用数值方法求近似解
B. 使用样本均值代替
C. 使用样本方差代替
D. 使用样本中位数代替
答案：A 解释： 在最大似然估计法中，使用数值方法求近似解来处理对数似然方程组的数值解。
在矩估计法中，总体方差的矩估计量是否与样本大小有关？
A. 有关
B. 无关
C. 有时有关，有时无关
D. 取决于总体分布
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体方差的矩估计量与样本大小有关。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程的解析解？
A. 通过求解对数似然方程
B. 通过求解样本均值的方程
C. 通过求解样本方差的方程
D. 通过求解样本中位数的方程
答案：A 解释： 在最大似然估计法中，通过求解对数似然方程来处理对数似然方程的解析解。
在矩估计法中，总体均值的矩估计量是否与样本大小有关？
A. 有关
B. 无关
C. 有时有关，有时无关
D. 取决于总体分布
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体均值的矩估计量与样本大小有关。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程组的数值解？
A. 使用数值方法求近似解
B. 使用样本均值代替
C. 使用样本方差代替
D. 使用样本中位数代替
答案：A 解释： 在最大似然估计法中，使用数值方法求近似解来处理对数似然方程组的数值解。
在矩估计法中，总体方差的矩估计量是否与样本大小有关？
A. 有关
B. 无关
C. 有时有关，有时无关
D. 取决于总体分布
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体方差的矩估计量与样本大小有关。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程的解析解？
A. 通过求解对数似然方程
B. 通过求解样本均值的方程
C. 通过求解样本方差的方程
D. 通过求解样本中位数的方程
答案：A 解释： 在最大似然估计法中，通过求解对数似然方程来处理对数似然方程的解析解。
在矩估计法中，总体均值的矩估计量是否与样本大小有关？
A. 有关
B. 无关
C. 有时有关，有时无关
D. 取决于总体分布
答案：A 解释： 在矩估计法中，总体均值的矩估计量与样本大小有关。
在最大似然估计法中，如何处理对数似然方程组的数值解？
A. 使用数值方法求近似解
B. 使用样本均值代替
C. 使用样本方差代替
D. 使用样本中位数代替
答案：A 解释： 在最大似然估计法中，使用数值方法求近似解来处理对数似然方程组的数值解。