§2.4 连续型随机变量及其概率密度

一、连续型随机变量的定义

一般，如上节例2中的随机变量那样，如果对于随机变量$X$的分布函数$F(x)$，存在非负函数$f(x)$，使对于任意实数$x$有

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt, \]

则称$X$为连续型随机变量，其中函数$f(x)$称为$X$的概率密度函数，简称概率密度①。

由(4.1)式，据数学分析的知识知连续型随机变量的分布函数是连续函数。在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量。本书只讨论这两种随机变量。

二、概率密度的性质

由定义知道，概率密度$f(x)$具有以下性质：

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} &f(x) \geq 0; \\ &\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1; \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

对任意实数$x_1, x_2 (x_1 \leq x_2)$，

\[ P(x_1 < X \leq x_2) = F(x_2)- F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f(x) dx; \]

4°若$f(x)$在点$x$处连续，则有$F'(x) = f(x)$。

由性质2°知道介于曲线$y = f(x)$与$Ox$轴之间的面积等于1（图2-7）。由3°知道$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率$P(x_1 < X \leq x_2)$等于区间$(x_1, x_2]$上曲线$y = f(x)$之下的曲边梯形的面积（图2-8）。由性质4°在$f(x)$的连续点$x$处有

\[ f(x) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{F(x + \Delta x)- F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{P(x < X \leq x + \Delta x)}{\Delta x}. \]

三、概率密度的物理意义

① 由定义知道，改变概率密度$f(x)$在个别点的函数值不影响分布函数$F(x)$的取值。因此，并不在乎改变概率密度在个别点上的值。

从这里我们看到概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似，这就是为什么称$f(x)$为概率密度的缘故。

由 (4.2) 式知道，若不计高阶无穷小，有

\[ P\lbrace x < X \leq x + \Delta x\rbrace \approx f(x) \Delta x \quad (4.3) \]

这表示$X$落在小区间$(x, x + \Delta x]$上的概率近似地等于$f(x) \Delta x$。

四、例题解析

例1

设随机变量$X$具有概率密度

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} kx, & 0 \leq x < 3, \\ 2- \frac{x}{2}, & 3 \leq x \leq 4, \\ 0, & 其他. \end{cases} \end{split}\]

(1) 确定常数$k$；(2) 求$X$的分布函数$F(x)$；(3) 求$P\lbrace 1 < X \leq \frac{7}{2}\rbrace$。

解

(1) 由

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 \]

，得

\[ \int_{0}^{3} kx dx + \int_{3}^{4} \left(2- \frac{x}{2}\right) dx = 1 \]

，解得$k = \frac{1}{6}$，于是$X$的概率密度为

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \frac{x}{6}, & 0 \leq x < 3, \\ 2- \frac{x}{2}, & 3 \leq x < 4, \\ 0, & 其他. \end{cases} \end{split}\]

(2)$X$的分布函数为

\[\begin{split} F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \int_{0}^{x} \frac{x}{6} dx, & 0 \leq x < 3, \\ \int_{0}^{3} \frac{x}{6} dx + \int_{3}^{x} \left(2- \frac{x}{2}\right) dx, & 3 \leq x < 4, \\ 1, & x \geq 4. \end{cases} \end{split}\]

即

\[\begin{split} F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{x^2}{12}, & 0 \leq x < 3, \\ -3 + 2x- \frac{x^2}{4}, & 3 \leq x < 4, \\ 1, & x \geq 4. \end{cases} \end{split}\]

(3)

\[ P(1 < X \leq \frac{7}{2}) = F(\frac{7}{2})- F(1) = \frac{41}{48}. \]

五、连续型随机变量的性质

需要指出的是，对于连续型随机变量$X$来说，它取任一指定实数值$a$的概率均为0，即$P(X = a) = 0$。事实上，设$X$的分布函数为$F(x), \Delta x > 0$，则由$\lbrace X = a\rbrace \subseteq \lbrace a- \Delta x < X \leq a\rbrace$得

\[ 0 \leq P(X = a) \leq P(a- \Delta x < X \leq a) = F(a)- F(a- \Delta x)。 \]

在上述不等式中令$\Delta x \to 0$，并注意到$X$为连续型随机变量，其分布函数$F(x)$是连续的。即得

\[ P(X = a) = 0。 ^{4.4} \]

据此，在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间。例如有

\[ P(a < X \leq b) = P(a \leq X \leq b) = P(a < X < b)。 \]

在这里，事件$\lbrace X = a\rbrace$并非不可能事件，但有$P(X = a) = 0$。这就是说，若$A$是不可能事件，则有$P(A) = 0$；反之，若$P(A) = 0$，并不一定意味着$A$是不可能事件。

六、概率分布的定义

以后当我们提到一个随机变量$X$的“概率分布”时，指的是它的分布函数；或者，当$X$是连续型随机变量时，指的是它的概率密度，当$X$是离散型随机变量时，指的是它的分布律。

七、三种重要的连续型随机变量

（一）均匀分布

若连续型随机变量$X$具有概率密度

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b- a}, & a < x < b, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases} ^{4.5} \end{split}\]

则称$X$在区间$(a, b)$上服从均匀分布。记为$X \sim U(a, b)$。

易知$f(x) \geq 0$，且$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$。

在区间$(a, b)$上服从均匀分布的随机变量$X$，具有下述意义的等可能性，即它落在区间$(a, b)$中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在$(a, b)$的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。事实上，对于任一长度$l$的子区间$(c, c + l), a \leq c < c + l \leq b$，有

\[ P(c < X \leq c + l) = \int_{c}^{c+l} f(x) dx = \int_{c}^{c+l} \frac{1}{b-a} dx = \frac{l}{b-a}. \]

由 (4.1) 式得$X$的分布函数为

\[\begin{split} F(x) = \begin{cases} 0, & x < a, \\ \frac{x- a}{b- a}, & a \leq x < b, \\ 1, & x \geq b. \end{cases} ^{4.6} \end{split}\]

$f(x)$及$F(x)$的图形分别如图 2-9, 图 2-10 所示。

例2

设电阻值$R$是一个随机变量，均匀分布在$900 \Omega \sim 1100 \Omega$。求$R$的概率密度及$R$落在$950 \Omega \sim 1050 \Omega$的概率。

解

按题意，$R$的概率密度为

\[\begin{split} f(r) = \begin{cases} \frac{1}{1100- 900}, & 900 < r < 1100, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \end{split}\]

故有

\[ P(950 < R \leq 1050) = \int_{950}^{1050} \frac{1}{200} dr = 0.5. \]

（二）指数分布

若连续型随机变量$X$的概率密度为

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, & x > 0, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases} ^{4.7} \end{split}\]

其中$\theta > 0$为常数，则称$X$服从参数为$\theta$的指数分布。

易知$f(x) \geq 0$，且$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$。图2-11中画出了$\theta = 1/3, \theta = 1, \theta = 2$时$f(x)$的图形。

由 (4.7) 式容易得到随机变量$X$的分布函数为

\[\begin{split} F(x) = \begin{cases} 1- e^{-x/\theta}, & x > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} ^{4.8} \end{split}\]

服从指数分布的随机变量$X$具有以下有趣的性质：对于任意$s, t > 0$，有

\[ P(X > s + t | X > s) = P(X > t). ^{4.9} \]

事实上

\[ P(X > s + t | X > s) = \frac{P((X > s + t) \cap (X > s))}{P(X > s)} \]

\[ = \frac{P(X > s + t)}{P(X > s)} = \frac{1- F(s + t)}{1- F(s)} \]

\[ = \frac{e^{-(s + t)/\theta}}{e^{-t/\theta}} = e^{-t/\theta} \]

\[ = P(X > t). \]

性质（4.9）称为无记忆性。如果$X$是某一元件的寿命，那么（4.9）式表明：已知元件已使用了$s$小时，它总共能使用至少$s + t$小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能使用$t$小时的概率相等。这就是说，元件对它已使用过$s$小时没有记忆。具有这一性质是指数分布有广泛应用的重要原因。

指数分布在可靠性理论与排队论中有广泛的应用。

（三）正态分布

若连续型随机变量$X$的概率密度为

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} e^{-\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty < x < \infty, ^{4.10} \]

其中$\mu, \sigma (\sigma > 0)$为常数，则称$X$服从参数为$\mu, \sigma$的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为$X \sim N(\mu, \sigma^2)$。

显然$f(x) \geq 0$，下面来证明

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1. \]

令$(x- \mu)/\sigma = t$，得到

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} e^{-\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} dt. \]

记

\[ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} dt, \]

则有

\[ I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(t^2 + \mu^2)}{2}} dtdu, \]

利用极坐标将它化成累次积分，得到

\[ I^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} r e^{-r^2/2} dr d\theta = 2\pi. \]

而$I > 0$，故有$I = \sqrt{2\pi}$，即有

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-r^2/2} dt = \sqrt{2\pi}, ^{4.11} \]

于是

\[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-r^2/2} dt = 1. \]

参数$\mu, \sigma$的意义将在第四章中说明。$f(x)$的图形如图 2-12 所示，它具有以下的性质。

1° 曲线关于$x = \mu$对称。这表明对于任意$h > 0$有（图 2-12）

\[ P(\mu- h < X \leq \mu) = P(\mu < X \leq \mu + h). \]

2° 当$x = \mu$时取到最大值

\[ f(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}. \]

$x$离$\mu$越远，$f(x)$的值越小。这表明对于同样长度的区间，当区间离$\mu$越远，$X$落在这个区间上的概率越小。

在$x = \mu \pm \sigma$处曲线有拐点。曲线以$O_x$轴为渐近线。

另外，如果固定$\sigma$，改变$\mu$的值，则图形沿着$Ox$轴平移，而不改变其形状（如图2-12），可见正态分布的概率密度曲线$y = f(x)$的位置完全由参数$\mu$所确定。$\mu$称为位置参数。

如果固定$\mu$，改变$\sigma$，由于最大值$f(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$，可知当$\sigma$越小时图形变得越尖（如图2-13），因而$X$落在$\mu$附近的概率越大。

例3

将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内。调节器整定在$d^\circ C$，液体的温度$X$（以℃计）是一个随机变量，且$X \sim N(d, 0.5^2)$。(1)若$d = 90^\circ C$，求$X$小于$89^\circ C$的概率。(2)若要求保持液体的温度至少为$80^\circ C$的概率不低于$0.99$，问$d$至少为多少？

解

(1) 所求概率为

\[ P\lbrace X < 89\rbrace = P\left\lbrace \frac{X - 90}{0.5} < \frac{89 - 90}{0.5}\right\rbrace \]

\[ = \Phi\left(\frac{89 - 90}{0.5}\right) = \Phi(-2) \]

\[ = 1 - \Phi(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228. \]

(2) 按题意需求$d$满足

\[ 0.99 \leq P\lbrace X \geq 80\rbrace = P\left\lbrace \frac{X - d}{0.5} \geq \frac{80 - d}{0.5}\right\rbrace \]

\[ = 1 - P\left\lbrace \frac{X - d}{0.5} < \frac{80 - d}{0.5}\right\rbrace = 1 - \Phi\left(\frac{80 - d}{0.5}\right). \]

即

\[ \Phi\left(\frac{d - 80}{0.5}\right) \geq 0.99 = \Phi(2.327), \]

亦即

\[ \frac{d - 80}{0.5} \geq 2.327. \]

故需

\[ d > 81.1635. \]

上α分位点的定义

设$X \sim N(0, 1)$，若$z_\alpha$满足条件

\[ P(X > z_\alpha) = \alpha, 0 < \alpha < 1, \quad (4.18) \]

则称点$z_\alpha$为标准正态分布的上α分位点（如图2-17）。下面列出了几个常用的$z_\alpha$的值。

\[\begin{split} \begin{array}{c|cccccc} \alpha & 0.001 & 0.005 & 0.01 & 0.025 & 0.05 & 0.10 \\ \hline z_\alpha & 3.090 & 2.576 & 2.326 & 1.960 & 1.645 & 1.282 \\ \end{array} \end{split}\]

另外，由$\varphi(x)$图形的对称性知道$z_{1-\alpha} = -z_\alpha$。

§4 连续型随机变量及其概率密度详解

在概率论中，连续型随机变量是指其取值可以在一个连续区间内的随机变量。一个随机变量$X$是连续型的，如果它的分布函数$F(x)$可以通过一个非负的概率密度函数$f(x)$来表示，即：

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt \]

其中，$f(x)$被称为$X$的概率密度函数或概率密度。

连续型随机变量的性质

非负性：概率密度函数$f(x) \geq 0$。
归一性：$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$。这意味着整个概率空间的总面积为 1。
区间概率计算：对于任何区间$(x_1, x_2]$，连续型随机变量$X$落在该区间的概率可以通过积分计算：

\[ P(x_1 < X \leq x_2) = \int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx \]

密度的导数关系：如果$f(x)$在点$x$处连续，则$F'(x) = f(x)$，即分布函数的导数在$x$处等于概率密度。

概率密度的计算与应用

根据上述定义，概率密度可以理解为在小区间上的概率密度。对于连续型随机变量$X$，在小区间$(x, x + \Delta x]$上的概率近似为：

\[ P\lbrace x < X \leq x + \Delta x\rbrace \approx f(x) \Delta x \]

进一步，连续型随机变量在一个特定点的概率为 0，即$P(X = a) = 0$，因为该点的概率密度可以看作趋向于零的无限小区间的概率。

重要的连续型分布

均匀分布：均匀分布是指随机变量在一个区间内的任意子区间出现的概率是相同的。设$X \sim U(a, b)$，则其概率密度为：

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a < x < b \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \end{split}\]

均匀分布的特点是等可能性，即在区间$(a, b)$上任何等长度的子区间出现的概率相等。

指数分布：指数分布常用于描述无记忆性事件，如元件寿命。若$X$服从参数为$\theta$的指数分布，则其概率密度为：

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \end{split}\]

指数分布的无记忆性意味着已经发生的时间不影响未来发生的概率。

正态分布：正态分布或高斯分布描述许多自然和社会现象的分布，如人的身高、测量误差等。若$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其概率密度为：

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

该分布曲线呈对称钟形，位置由均值$\mu$决定，形状由标准差$\sigma$控制。

以下是关于连续型随机变量和概率密度的选择题和答案：

连续型随机变量的定义中，什么性质是必须满足的？

A.$f(x) > 0$
B.$f(x) \leq 0$
C.$f(x) \geq 0$(正确)
D.$f(x) < 0$
解释：概率密度函数必须是非负的，即$f(x) \geq 0$。

连续型随机变量的分布函数$F(x)$是如何获得的？

A. 通过累加密度函数
B. 通过积分密度函数 (正确)
C. 通过计算点概率
D. 通过均匀分布
解释：分布函数$F(x)$是通过积分概率密度函数$f(x)$得到的。

均匀分布$U(a, b)$在区间内的概率密度是？

A.$\frac{1}{b}$
B.$\frac{1}{a+b}$
C.$\frac{1}{b-a}$(正确)
D.$a- b$
解释：均匀分布的概率密度为$\frac{1}{b-a}$。

正态分布的概率密度在均值$\mu$处取什么值？

A.$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$(正确)
B.$\mu$
C.$\sigma$
D.$0$
解释：正态分布的概率密度函数在均值$\mu$处达到最大值$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$。

对于任意实数$x$，连续型随机变量$X$的点概率$P(X = x)$等于？

A. 1
B. 0 (正确)
C.$f(x)$
D.$F(x)$
解释：对于连续型随机变量，取任何确定值的概率为零。

连续型随机变量的分布函数$F(x)$是？

A. 离散的
B. 连续的 (正确)
C. 随机的
D. 无定义的
解释：连续型随机变量的分布函数是一个连续函数。

概率密度函数$f(x)$的积分范围为？

A.$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$(正确)
B.$\int_{0}^{1} f(x) dx = 1$
C.$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 0$
D.$\int_{a}^{b} f(x) dx = 0$
解释：概率密度函数在全范围内的积分为 1。

若$X$服从参数为$\theta$的指数分布，其概率密度为？

A.$e^{-x/\theta}$
B.$\frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}$(正确)
C.$\theta e^{-x}$
D.$x e^{-\theta}$
解释：指数分布的概率密度为$\frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}$。

无记忆性是指数分布的一个特点，这意味着？

A. 随机变量无取值范围
B. 未来事件概率不依赖过去事件 (正确)
C. 密度恒定
D. 分布在有限区间
解释：无记忆性表明事件发生的概率不依赖之前发生的时间。

正态分布的密度函数对称于？

A. 均值$\mu$(正确)
B. 标准差$\sigma$
C. 零点
D. 方差
解释：正态分布密度函数是关于均值对称的。

以下是剩余的 30 个关于连续型随机变量及其概率密度的选择题和答案：

概率密度函数$f(x)$在区间内取值不为 0，意味着什么？

A. 该区间内的所有事件必然发生
B. 该区间内事件的概率不为 0 (正确)
C. 该区间内事件的概率为 1
D. 该区间内事件的概率为 0
解释：当密度函数$f(x)$不为 0 时，表示事件可能发生。

对于均匀分布$U(a, b)$，$X$落在任意长度为$l$的子区间上的概率为？

A.$\frac{l}{a+b}$
B.$\frac{l}{b-a}$(正确)
C.$\frac{l}{b+a}$
D.$\frac{l}{b}$
解释：均匀分布的概率只依赖于子区间的长度$l$。

若$X$服从参数为$\theta$的指数分布，$P(X > t)$的表达式为？

A.$e^{-\theta t}$
B.$e^{-t/\theta}$(正确)
C.$e^{t/\theta}$
D.$\theta e^{-t}$
解释：对于指数分布$P(X > t) = e^{-t/\theta}$。

无记忆性指的是什么现象？

A. 过去的事件影响未来事件的概率
B. 未来事件概率与过去事件无关 (正确)
C. 分布对称性
D. 方差无穷大
解释：无记忆性表明未来事件的概率与之前事件发生的时间无关。

正态分布的分布函数$F(x)$的定义是什么？

A.$\int_{-\infty}^{x} e^{-x/\sigma} dx$
B.$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2}} dt$(正确)
C.$e^{-x/\sigma}$
D.$\frac{1}{\pi} \int_{0}^{x} e^{-\sigma} dx$
解释：正态分布的分布函数通过密度函数的积分定义。

对于正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，分布函数$F(x)$的形状如何？

A. 直线
B. 倒 U 形
C. S 形曲线 (正确)
D. 椭圆
解释：正态分布的分布函数是 S 形曲线。

正态分布的标准化变量$Z = \frac{X- \mu}{\sigma}$的分布是什么？

A. 均匀分布
B. 指数分布
C. 标准正态分布 (正确)
D. 二项分布
解释：标准化变量服从标准正态分布。

连续型随机变量的概率密度函数$f(x)$的值代表什么？

A. 在$x$处概率
B. 在$x$处的密度 (正确)
C. 累积分布
D. 均值
解释：$f(x)$表示在点$x$的密度，而不是概率。

若$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则$X$在区间$(\mu- \sigma, \mu + \sigma)$内的概率约为？

A. 50%
B. 68.26% (正确)
C. 95.44%
D. 99.74%
解释：正态分布中$X$落在$\mu \pm \sigma$范围内的概率为 68.26%。

均匀分布$U(a, b)$的分布函数$F(x)$在区间$(a, b)$内的表达式是？

A.$\frac{x}{b- a}$
B.$\frac{x- a}{b- a}$(正确)
C.$\frac{x + a}{b}$
D.$\frac{x}{b}$
解释：均匀分布的分布函数为$\frac{x- a}{b- a}$。

在正态分布中，均值$\mu$的作用是？

A. 控制对称性
B. 决定分布位置 (正确)
C. 决定分布宽度
D. 决定密度
解释：均值$\mu$决定分布的位置。

标准正态分布$N(0,1)$的均值和方差分别是？

A.$\mu = 0, \sigma^2 = 0$
B.$\mu = 1, \sigma^2 = 1$
C.$\mu = 0, \sigma^2 = 1$(正确)
D.$\mu = 1, \sigma^2 = 0$
解释：标准正态分布的均值为 0，方差为 1。

正态分布的密度函数的最大值位于？

A.$x = \sigma$
B.$x = \mu$(正确)
C.$x = 0$
D.$x = 1$
解释：正态分布的密度函数在均值$\mu$处达到最大值。

连续型随机变量的分布函数的特点之一是？

A. 可以取负值
B. 可以递减
C. 单调递增 (正确)
D. 不能超过 1
解释：分布函数是单调递增的。

假设$X \sim N(0, 1)$，则$P(X > 1.645) \approx$？

A. 0.05 (正确)
B. 0.1
C. 0.025
D. 0.01
解释：在标准正态分布中，$P(X > 1.645) \approx 0.05$。

正态分布中参数$\sigma$的作用是？

A. 决定分布的对称性
B. 决定分布的位置
C. 决定分布的宽度 (正确)
D. 无作用
解释：标准差$\sigma$决定分布的宽度或形状。

在正态分布中，三倍标准差范围内包含的数据比例大约为？

A. 68%
B. 90%
C. 95%
D. 99.7% (正确)
解释：正态分布的“3σ”法则表示约 99.7% 的数据位于三倍标准差范围内。

对于正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$P(X > \mu) =$？

A. 0.5 (正确)
B. 0.25
C. 1
D. 0
解释：正态分布关于均值对称，因此$P(X > \mu) = 0.5$。

在均匀分布中，落在某一子区间的概率与什么成正比？

A. 子区间的位置
B. 子区间的长度 (正确)
C. 子区间的宽度
D. 总区间的大小
解释：均匀分布的概率只与子区间的长度成正比。

标准正态分布表中$\Phi(x)$表示什么？

A.$P(X = x)$
B.$P(X \leq x)$(正确)
C.$P(X < x)$
D.$P(X > x)$
解释：标准正态分布表中的$\Phi(x)$表示$P(X \leq x)$。

指数分布的平均值为？

A.$\theta$(正确)
B.$1/\theta$
C.$2\theta$
D.$\theta^2$
解释：指数分布的均值为$\theta$。

无记忆性仅适用于哪种分布？

A. 正态分布
B. 指数分布 (正确)
C. 均匀分布
D. 对数正态分布
解释：无记忆性是指数分布独有的性质。

若$X \sim U(0, 1)$，则$P(X < 0.5) =$？

A. 0.5 (正确)
B. 0.25
C. 1
D. 0
解释：均匀分布在$(0, 1)$上的概率密度为 1，区间$(0, 0.5)$的概率为 0.5。

标准正态分布中，$z_{0.05}$的近似值是？

A. 1.282
B. 1.645 (正确)
C. 1.960
D. 2.326
解释：$z_{0.05}$的近似值为 1.645。

假设$X \sim N(0, 1)$，则$P(-1 < X < 1)$近似为？

A. 68% (正确)
B. 95%
C. 99%
D. 50%
解释：标准正态分布中，$P(-1 < X < 1) \approx 68\%$。

若$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则$P(X = \mu)$的值是？

A. 1
B. 0 (正确)
C. 0.5
D. 2
解释：对于连续型随机变量，$X$取某个具体值的概率为 0。

正态分布的密度函数的曲线在什么位置有拐点？

A.$x = \mu \pm \sigma$(正确)
B.$x = \mu \pm 2\sigma$
C.$x = \sigma$
D.$x = 2\sigma$
解释：正态分布的曲线在$\mu \pm \sigma$处有拐点。

连续型随机变量的累积分布函数$F(x)$在$x \to-\infty$时的值为？

A. 1
B. 0 (正确)
C. 0.5
D. 无定义
解释：当$x \to-\infty$时，累积分布函数趋于 0。

指数分布的密度函数随$x$的增加如何变化？

A. 递增
B. 递减 (正确)
C. 不变
D. 无规律
解释：指数分布的密度函数随着$x$的增加而递减。

标准正态分布中$z_{0.975}$的近似值是？

A. 1.282
B. 1.645
C. 1.960 (正确)
D. 2.326
解释：$z_{0.975}$的近似值为 1.960。

一、连续型随机变量及其概率密度的基本概念

定义：对于随机变量 $ X $ 的分布函数 $ F(x) $，若存在非负函数 $ f(x) $，使得对于任意实数 $ x $ 有 $ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt $，则称 $ X $ 为连续型随机变量，函数 $ f(x) $ 称为 $ X $ 的概率密度函数（简称概率密度）。
分布函数的连续性：由上述定义结合数学分析知识可知，连续型随机变量的分布函数是连续函数。在实际应用中，我们主要讨论离散型和连续型这两种随机变量。

二、概率密度的性质

性质1：$ f(x) \geq 0 $，这表明概率密度函数的值是非负的，因为它表示了某种“密度”的概念，类似于物理中的密度不能为负。
性质2：$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 $。从几何意义上理解，介于曲线 $ y = f(x) $ 与 $ Ox $ 轴之间的面积等于 $ 1 $。这意味着随机变量在整个实数轴上取值的概率总和为 $ 1 $。
性质3：对任意实数 $ x_1, x_2 (x_1 \leq x_2) $，$ P(x_1 < X \leq x_2) = F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx $。也就是说，$ X $ 落在区间 $ (x_1, x_2] $ 的概率等于区间 $ (x_1, x_2] $ 上曲线 $ y = f(x) $ 之下的曲边梯形的面积。
性质4：若 $ f(x) $ 在点 $ x $ 处连续，则有 $ F'(x) = f(x) $。并且 $ f(x) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{P(x < X \leq x + \Delta x)}{\Delta x} $。此性质建立了分布函数与概率密度函数在连续点处的导数关系。

三、连续型随机变量取特定值的概率

对于连续型随机变量 $ X $ 来说，它取任一指定实数值 $ a $ 的概率均为 $ 0 $，即 $ P(X = a) = 0 $。这是因为在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间、闭区间或半闭区间，例如 $ P(a < X \leq b) = P(a \leq X \leq b) = P(a < X < b) $。这里要注意，事件 $ \lbrace X = a \rbrace $ 并非不可能事件，但 $ P(X = a) = 0 $，说明 $ P(A) = 0 $ 时，$ A $ 不一定是不可能事件。

四、几种重要的连续型随机变量

均匀分布：若连续型随机变量 $ X $ 具有概率密度 $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a}, & a < x < b \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $，则称 $ X $ 在区间 $ (a, b) $ 上服从均匀分布，记为 $ X \sim U(a, b) $。其特点是落在区间 $ (a, b) $ 中任意等长度的子区间内的可能性是相同的，即概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。通过积分可得到其分布函数 $ F(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x - a}{b - a}, & a \leq x < b \\ 1, & x \geq b \end{cases} $。
指数分布：若连续型随机变量 $ X $ 的概率密度为 $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $（其中 $ \theta > 0 $ 为常数），则称 $ X $ 服从参数为 $ \theta $ 的指数分布。它具有无记忆性，即对于任意 $ s, t > 0 $，有 $ P(X > s + t | X > s) = P(X > t) $。其分布函数为 $ F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $。指数分布在可靠性理论与排队论中有广泛应用。
正态分布：若连续型随机变量 $ X $ 的概率密度为 $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, -\infty < x < \infty $（其中 $ \mu, \sigma (\sigma > 0) $ 为常数），则称 $ X $ 服从参数为 $ \mu, \sigma $ 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $。其概率密度曲线 $ y = f(x) $ 具有关于 $ x = \mu $ 对称、在 $ x = \mu $ 时取到最大值 $ f(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} $ 等性质。当 $ \mu = 0, \sigma = 1 $ 时称随机变量 $ X $ 服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用 $ \varphi(x), \Phi(x) $ 表示。若 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，通过线性变换 $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1) $ 可将其化成标准正态分布，进而方便计算概率。正态分布在自然现象和社会现象中有大量应用，且有“$ 3\sigma $”法则，即尽管正态变量取值范围是 $ (-\infty, \infty) $，但它的值落在 $ (\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma) $ 内几乎是肯定的事。

五、标准正态分布的上 $ \alpha $ 分位点

设 $ X \sim N(0, 1) $，若 $ z_\alpha $ 满足条件 $ P(X > z_\alpha) = \alpha, 0 < \alpha < 1 $，则称点 $ z_\alpha $ 为标准正态分布的上 $ \alpha $ 分位点。且由 $ \varphi(x) $ 图形的对称性知道 $ z_{1-\alpha} = -z_\alpha $。

以下是根据上述讲解生成的二十个选择题及答案解析：

选择题1

连续型随机变量 $ X $ 的概率密度函数 $ f(x) $ 满足（）。

A. $ f(x) \leq 0 $
B. $ f(x) \geq 0 $ 且 $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 $
C. $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 0 $
D. $ f(x) $ 可以取任意实数答案：B 选项解释： -A选项：概率密度函数 $ f(x) $ 是非负的，即 $ f(x) \geq 0 $，A选项错误。 -B选项：根据概率密度函数的性质，$ f(x) \geq 0 $ 且 $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 $，B选项正确。 -C选项：由性质可知 $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 $，而不是 $ 0 $，C选项错误。 -D选项：$ f(x) $ 是非负函数，不是可以取任意实数，D选项错误。

选择题2

设连续型随机变量 $ X $ 的分布函数为 $ F(x) $，概率密度函数为 $ f(x) $，若 $ f(x) $ 在点 $ x $ 处连续，则（）。

A. $ F(x) = f(x) $
B. $ F'(x) = f(x) $
C. $ F(x) = \int_{x}^{\infty} f(t) \, dt $
D. $ F(x) = \frac{d}{dx} f(x) $ 答案：B 选项解释： -A选项：分布函数 $ F(x) $ 与概率密度函数 $ f(x) $ 在 $ f(x) $ 连续点处满足 $ F'(x) = f(x) $，而不是 $ F(x) = f(x) $，A选项错误。 -B选项：根据概率密度函数的性质，若 $ f(x) $ 在点 $ x $ 处连续，则 $ F'(x) = f(x) $，B选项正确。 -C选项：$ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt $，而不是 $ \int_{x}^{\infty} f(t) \, dt $，C选项错误。 -D选项：$ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的积分形式，不是 $ f(x) $ 的导数形式，D选项错误。

选择题3

对于连续型随机变量 $ X $，$ P(X = a) $（）。

A. 等于 $ 1 $
B. 等于 $ 0 $
C. 取决于 $ a $ 的值
D. 取决于 $ X $ 的分布函数答案：B 选项解释： -A选项：对于连续型随机变量 $ X $，取任一指定实数值 $ a $ 的概率均为 $ 0 $，不是 $ 1 $，A选项错误。 -B选项：由连续型随机变量取特定值的概率性质可知，$ P(X = a) = 0 $，B选项正确。 -C选项：无论 $ a $ 取何值，连续型随机变量取该特定值的概率都是 $ 0 $，C选项错误。 -D选项：与 $ X $ 的分布函数无关，连续型随机变量取特定值的概率就是 $ 0 $，D选项错误。

选择题4

设 $ X $ 是连续型随机变量，其分布函数为 $ F(x) $，则 $ P(a < X \leq b) $ 等于（）。

A. $ F(b) - F(a) $
B. $ F(b) - F(a) + P(X = a) $
C. $ F(b) - F(a) - P(X = b) $
D. $ F(b) - F(a) - P(X = a) + P(X = b) $ 答案：A 选项解释： -A选项：根据概率密度的性质，对任意实数 $ a, b (a \leq b) $，$ P(a < X \leq b) = F(b) - F(a) $，A选项正确。 -B选项：因为 $ P(X = a) = 0 $，所以不需要加上 $ P(X = a) $，B选项错误。 -C选项：同样 $ P(X = b) = 0 $，不需要减去 $ P(X = b) $，C选项错误。 -D选项：既不需要加上 $ P(X = a) $ 也不需要减去 $ P(X = b) $，D选项错误。

选择题5

若连续型随机变量 $ X $ 在区间 $ (a, b) $ 上服从均匀分布，其概率密度函数为 $ f(x) $，则 $ f(x) $ 在区间 $ (a, b) $ 外的值为（）。

A. 非零常数
B. 零
C. 与区间 $ (a, b) $ 内的值相同
D. 不确定答案：B 选项解释： -A选项：均匀分布的概率密度函数在区间 $ (a, b) $ 外的值为 $ 0 $，不是非零常数，A选项错误。 -B选项：对于均匀分布 $ X \sim U(a, b) $，其概率密度函数 $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a}, & a < x < b \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $，在区间 $ (a, b) $ 外的值为 $ 0 $，B选项正确。 -C选项：在区间 $ (a, b) $ 外的值为 $ 0 $，与区间 $ (a, b) $ 内的值不同，C选项错误。 -D选项：是确定的为 $ 0 $，D选项错误。

选择题6

设 $ X \sim U(a, b) $，则 $ X $ 落在区间 $ (c, c + l) $（其中 $ a \leq c < c + l \leq b $）的概率为（）。

A. $ \frac{l}{b - a} $
B. $ \frac{c + l - c}{b - a} $
C. $ \frac{l}{a - b} $
D. $ \frac{c + l - a}{b - a} $ 答案：A 选项解释： -A选项：对于均匀分布 $ X \sim U(a, b) $，它落在区间 $ (c, c + l) $（其中 $ a \leq c < c + l \leq b $）的概率为 $ P(c < X \leq c + l) = \int_{c}^{c + l} f(x) \, dx = \int_{c}^{c + l} \frac{1}{b - a} \, dx = \frac{l}{b - a} $，A选项正确。 -B选项：化简后就是 $ \frac{l}{b - a} $，但原式写法错误，B选项错误。 -C选项：分母应该是 $ b - a $，不是 $ a - b $，C选项错误。 -D选项：计算错误，应该是 $ \frac{l}{b - a} $，D选项错误。

选择题7

设 $ X $ 是服从参数为 $ \theta $ 的指数分布的连续型随机变量，其概率密度函数为 $ f(x) $，则当 $ x \leq 0 $ 时，$ f(x) $ 的值为（）。

A. $ \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta} $
B. $ e^{-x/\theta} $
C. $ 0 $
D. $ \frac{1}{\theta} $ 答案：C 选项解释： -A选项：当 $ x > 0 $ 时，$ f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta} $，当 $ x \leq 0 $ 时，根据指数分布的概率密度函数定义 $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $，此时 $ f(x) = 0 $，A选项错误。 -B选项：同理，当 $ x \leq 0 $ 时 $ f(x) = 0 $，不是 $ e^{-x/\theta} $，B选项错误。 -C选项：符合指数分布概率密度函数的定义，当 $ x \leq 0 $ 时 $ f(x) = 0 $，C选项正确。 -D选项：不是 $ \frac{1}{\theta} $，当 $ x \leq 0 $ 时 $ f(x) = 0 $，D选项错误。

选择题8

设 $ X $ 服从指数分布，对于任意 $ s, t > 0 $，有 $ P(X > s + t | X > s) $ 等于（）。

A. $ P(X > s) $
B. $ P(X > t) $
C. $ P(X > s + t) $
D. $ P(X < t) $ 答案：B 选项解释： -A选项：根据指数分布的无记忆性，对于任意 $ s, t > 0 $，有 $ P(X > s + t | X > s) = P(X > t) $，不是 $ P(X > s) $，A选项错误。 -B选项：指数分布具有无记忆性，即 $ P(X > s + t | X > s) = P(X > t) $，B选项正确。 -C选项：不是 $ P(X > s + t) $，C选项错误。 -D选项：与 $ P(X < t) $ 无关，D选项错误。

以下是另外 30 个关于连续型随机变量及其概率密度的选择题：

选择题 21

设 $ f(x) $ 是连续型随机变量 $ X $ 的概率密度函数，若 $ f(x) = k e^{-|x|} $（$ k $ 为常数），则 $ k $ 的值为（）。

A. $ \frac{1}{2} $
B. 1
C. 2
D. $ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} $ 答案：A 选项解释： -A 选项：由概率密度函数的性质 $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 $，对于 $ f(x) = k e^{-|x|} $，$ \int_{-\infty}^{\infty} k e^{-|x|} \, dx = 2k \int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx = 2k = 1 $，解得 $ k = \frac{1}{2} $，A 选项正确。 -B 选项：计算得出 $ k = \frac{1}{2} \neq 1 $，B 选项错误。 -C 选项：同理 $ k = \frac{1}{2} \neq 2 $，C 选项错误。 -D 选项：该函数不是正态分布的概率密度形式，D 选项错误。

选择题 22

连续型随机变量 $ X $ 的分布函数 $ F(x) $ 在某点 $ x_0 $ 处的导数 $ F'(x_0) $（）。

A. 一定存在且等于 $ f(x_0) $
B. 一定不存在
C. 若 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 连续则存在且等于 $ f(x_0) $
D. 与概率密度函数 $ f(x) $ 无关答案：C 选项解释： -A 选项：只有当 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处连续时，$ F'(x_0) = f(x_0) $，不是一定存在且等于 $ f(x_0) $，A 选项错误。 -B 选项：当满足一定条件时存在，不是一定不存在，B 选项错误。 -C 选项：根据概率密度函数与分布函数的关系，若 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 连续，则 $ F'(x_0) = f(x_0) $，C 选项正确。 -D 选项：$ F'(x_0) $ 与 $ f(x) $ 密切相关，D 选项错误。

选择题 23

设 $ X \sim U(0, 5) $，则 $ P(2 < X < 4) $ 等于（）。

A. $ \frac{2}{5} $
B. $ \frac{3}{5} $
C. $ \frac{4}{5} $
D. $ \frac{1}{5} $ 答案：A 选项解释： -A 选项：对于均匀分布 $ X \sim U(a, b) $，$ P(c < X < d) = \frac{d - c}{b - a} $，这里 $ a = 0 $，$ b = 5 $，$ c = 2 $，$ d = 4 $，则 $ P(2 < X < 4) = \frac{4 - 2}{5 - 0} = \frac{2}{5} $，A 选项正确。 -B 选项：计算错误，应为 $ \frac{2}{5} \neq \frac{3}{5} $，B 选项错误。 -C 选项：同理 $ \frac{2}{5} \neq \frac{4}{5} $，C 选项错误。 -D 选项：错误，应为 $ \frac{2}{5} \neq \frac{1}{5} $，D 选项错误。

选择题 24

若 $ X $ 服从指数分布，且 $ P(X > 1) = e^{-2} $，则其参数 $ \theta $ 等于（）。

A. 2
B. 1
C. $ \frac{1}{2} $
D. 4 答案：C 选项解释： -A 选项：已知 $ X $ 服从指数分布，$ P(X > x) = e^{-\frac{x}{\theta}} $，由 $ P(X > 1) = e^{-2} $ 可得 $ e^{-\frac{1}{\theta}} = e^{-2} $，则 $ \theta = \frac{1}{2} \neq 2 $，A 选项错误。 -B 选项：$ \theta = \frac{1}{2} \neq 1 $，B 选项错误。 -C 选项：解得 $ \theta = \frac{1}{2} $，C 选项正确。 -D 选项：错误，应为 $ \theta = \frac{1}{2} \neq 4 $，D 选项错误。

选择题 25

设 $ X \sim N(3, 9) $，则 $ P(X < 6) $ 等于（）。

A. $ \Phi(1) $
B. $ \Phi(-1) $
C. $ \Phi(2) $
D. $ \Phi(-2) $ 答案：A 选项解释： -A 选项：若 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，则 $ P(X < x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) $，这里 $ \mu = 3 $，$ \sigma = 3 $，$ x = 6 $，则 $ P(X < 6) = \Phi\left(\frac{6 - 3}{3}\right) = \Phi(1) $，A 选项正确。 -B 选项：应为 $ \Phi(1) \neq \Phi(-1) $，B 选项错误。 -C 选项：错误，是 $ \Phi(1) \neq \Phi(2) $，C 选项错误。 -D 选项：同理 $ \Phi(1) \neq \Phi(-2) $，D 选项错误。

选择题 26

正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ 中，$ \sigma $ 越大，则（）。

A. 曲线越陡峭，$ X $ 落在 $ \mu $ 附近的概率越大
B. 曲线越平缓，$ X $ 落在 $ \mu $ 附近的概率越小
C. 曲线越陡峭，$ X $ 落在 $ \mu $ 附近的概率越小
D. 曲线越平缓，$ X $ 落在 $ \mu $ 附近的概率越大答案：B 选项解释： -A 选项：$ \sigma $ 越大，曲线越平缓，且 $ X $ 落在 $ \mu $ 附近的概率越小，A 选项错误。 -B 选项：由正态分布性质，$ \sigma $ 越大，图形变得越平缓，$ X $ 落在 $ \mu $ 附近的概率越小，B 选项正确。 -C 选项：曲线是越平缓，C 选项错误。 -D 选项：概率越小，D 选项错误。

选择题 27

设 $ X $ 是连续型随机变量，其概率密度函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x) = f(-x) $，则 $ X $ 的分布函数 $ F(x) $（）。

A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既不是奇函数也不是偶函数
D. 不一定具有奇偶性答案：B 选项解释： -A 选项：$ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt $，$ F(-x) = \int_{-\infty}^{-x} f(t) \, dt $，令 $ u = -t $，则 $ F(-x) = \int_{\infty}^{x} f(-u) (-du) = \int_{x}^{\infty} f(u) \, du = 1 - F(x) $，所以 $ F(x) $ 是偶函数，不是奇函数，A 选项错误。 -B 选项：由上述推导可知 $ F(x) $ 是偶函数，B 选项正确。 -C 选项：错误，是偶函数，C 选项错误。 -D 选项：可以确定是偶函数，D 选项错误。

选择题 28

设 $ X \sim U(-1, 1) $，$ Y = X^2 $，则 $ Y $ 的分布函数 $ F_Y(y) $ 在 $ y = \frac{1}{4} $ 处的值为（）。

A. $ \frac{1}{2} $
B. $ \frac{1}{4} $
C. $ \frac{3}{4} $
D. $ \frac{1}{8} $ 答案：A 选项解释： -A 选项：当 $ y = \frac{1}{4} $ 时，$ P(Y \leq \frac{1}{4}) = P(-\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})}{1 - (-1)} = \frac{1}{2} $，即 $ F_Y(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} $，A 选项正确。 -B 选项：计算错误，应为 $ \frac{1}{2} \neq \frac{1}{4} $，B 选项错误。 -C 选项：错误，是 $ \frac{1}{2} \neq \frac{3}{4} $，C 选项错误。 -D 选项：同理 $ \frac{1}{2} \neq \frac{1}{8} $，D 选项错误。

选择题 29

设 $ X $ 服从指数分布，已知 $ E(X) = 2 $，则 $ P(X > 4) $ 等于（）。

A. $ e^{-2} $
B. $ e^{-1} $
C. $ 1 - e^{-2} $
D. $ 1 - e^{-1} $ 答案：A 选项解释： -A 选项：对于指数分布 $ E(X) = \theta $，已知 $ E(X) = 2 $ 则 $ \theta = 2 $，$ P(X > x) = e^{-\frac{x}{\theta}} $，所以 $ P(X > 4) = e^{-\frac{4}{2}} = e^{-2} $，A 选项正确。 -B 选项：应为 $ e^{-2} \neq e^{-1} $，B 选项错误。 -C 选项：错误，是 $ e^{-2} \neq 1 - e^{-2} $，C 选项错误。 -D 选项：同理 $ e^{-2} \neq 1 - e^{-1} $，D 选项错误。

选择题 30

设 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，$ P(X \leq a) = 0.5 $，则 $ a $ 等于（）。

A. $ \mu $
B. $ \mu + \sigma $
C. $ \mu - \sigma $
D. 无法确定答案：A 选项解释： -A 选项：正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ 的概率密度函数曲线关于 $ x = \mu $ 对称，所以 $ P(X \leq \mu) = 0.5 $，即 $ a = \mu $，A 选项正确。 -B 选项：$ P(X \leq \mu + \sigma) \neq 0.5 $，B 选项错误。 -C 选项：$ P(X \leq \mu - \sigma) \neq 0.5 $，C 选项错误。 -D 选项：可以确定 $ a = \mu $，D 选项错误。

选择题 31

设 $ X $ 是连续型随机变量，$ F(x) $ 是其分布函数，则 $ F(x) $ 在 $ (-\infty, \infty) $ 上（）。

A. 可导
B. 连续但不一定可导
C. 不连续
D. 是单调递减函数答案：B 选项解释： -A 选项：连续型随机变量的分布函数是连续的，但不一定处处可导，A 选项错误。 -B 选项：由连续型随机变量的性质可知，其分布函数连续但不一定可导，B 选项正确。 -C 选项：是连续的，C 选项错误。 -D 选项：分布函数是单调递增函数，D 选项错误。

选择题 32

设 $ X $ 服从均匀分布 $ U(a, b) $，其数学期望 $ E(X) $ 等于（）。

A. $ \frac{a + b}{2} $
B. $ \frac{b - a}{2} $
C. $ a + b $
D. $ ab $ 答案：A 选项解释： -A 选项：对于均匀分布 $ U(a, b) $，数学期望 $ E(X) = \frac{a + b}{2} $，A 选项正确。 -B 选项：错误，应为 $ \frac{a + b}{2} \neq \frac{b - a}{2} $，B 选项错误。 -C 选项：错误，是 $ \frac{a + b}{2} \neq a + b $，C 选项错误。 -D 选项：同理 $ \frac{a + b}{2} \neq ab $，D 选项错误。

选择题 33

设 $ X $ 服从指数分布，其方差 $ D(X) $ 等于（）。

A. $ \theta $
B. $ \theta^2 $
C. $ \frac{1}{\theta} $
D. $ \frac{1}{\theta^2} $ 答案：B 选项解释： -A 选项：对于指数分布，方差 $ D(X) = \theta^2 \neq \theta $，A 选项错误。 -B 选项：指数分布的方差 $ D(X) = \theta^2 $，B 选项正确。 -C 选项：错误，是 $ \theta^2 \neq \frac{1}{\theta} $，C 选项错误。 -D 选项：同理 $ \theta^2 \neq \frac{1}{\theta^2} $，D 选项错误。

选择题 34

设 $ X \sim N(0, 1) $，则 $ P(|X| < 1) $ 等于（）。

A. $ \Phi(1) - \Phi(-1) $
B. $ 2\Phi(1) - 1 $
C. $ 1 - 2\Phi(-1) $
D. 以上都对答案：D 选项解释： -A 选项：$ P(|X| < 1) = P(-1 < X < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) $，A 选项正确。 -B 选项：因为 $ \Phi(-1) = 1 - \Phi(1) $，所以 $ \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 $，B 选项正确。 -C 选项：同理 $ 1 - 2\Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 $，C 选项正确。 -D 选项：A、B、C 选项均正确，所以 D 选项正确。

选择题 35

设 $ X $ 是连续型随机变量，$ f(x) $ 是其概率密度函数，若 $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = 0.5 $，则（）。

A. $ P(X \leq a) + P(X \geq b) = 0.5 $
B. $ P(a < X < b) = 0.5 $
C. $ P(X \leq a) = 0.5 $ 或 $ P(X \geq b) = 0.5 $
D. 无法确定 $ X $ 在其他区间的概率关系答案：B 选项解释： -A 选项：$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = P(a < X < b) = 0.5 $，而不是 $ P(X \leq a) + P(X \geq b) = 0.5 $，A 选项错误。 -B 选项：根据概率密度函数的性质，$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = P(a < X < b) = 0.5 $，B 选项正确。 -C 选项：错误，不是 $ P(X \leq a) = 0.5 $ 或 $ P(X \geq b) = 0.5 $，C 选项错误。 -D 选项：可以确定 $ P(a < X < b) = 0.5 $，D 选项错误。

知识点讲解

在概率论中，连续型随机变量是非常重要的一类随机变量。它们的特性可以通过概率密度函数（probability density function，简称PDF）来描述。概率密度函数是一个描述连续型随机变量在某个确定的取值点附近的概率密度的函数。对于连续型随机变量$X$，其概率密度函数$f(x)$满足以下条件：

非负性：对于所有的$x$，有$f(x) \geq 0$。
归一性：概率密度函数在整个实数域上的积分等于1，即$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$。
概率计算：对于任意实数$x_1$和$x_2$（$x_1 \leq x_2$），随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率由概率密度函数的积分给出，即$P(x_1 < X \leq x_2) = \int_{x_1}^{x_2} f(x) dx$。
连续性：如果$f(x)$在点$x$处连续，则分布函数$F(x)$的导数等于概率密度函数，即$F'(x) = f(x)$。

此外，连续型随机变量的分布函数$F(x)$是连续的，且对于任意实数$a$，有$P(X = a) = 0$。这意味着连续型随机变量取任一指定实数值的概率都是0。

在实际应用中，常见的连续型随机变量包括均匀分布、指数分布和正态分布。

均匀分布：如果一个连续型随机变量$X$在区间$(a, b)$上服从均匀分布，那么它在该区间内的任何等长度的子区间内取值的概率是相同的。
指数分布：指数分布常用于描述独立随机事件发生的时间间隔，它具有无记忆性，即未来的概率分布不依赖于过去。
正态分布：正态分布是自然界和社会现象中最常见的分布之一，它的概率密度函数呈钟形曲线，对称于均值$\mu$，且由参数$\mu$（均值）和$\sigma$（标准差）完全确定。

选择题目

下列哪个函数可以作为连续型随机变量的概率密度函数？
- A. $f(x) = x^2$，$x \in \mathbb{R}$
- B. $f(x) = e^{-x}$，$x > 0$
- C. $f(x) = 1$，$0 \leq x \leq 1$
- D. $f(x) = 2x$，$0 \leq x \leq 1$
- 答案：D
- 解释： 选项D满足非负性和归一性，$\int_{0}^{1} 2x dx = 1$。
对于连续型随机变量$X$，下列哪个表达式表示$X$落在区间$(a, b]$的概率？
- A. $F(b) - F(a)$
- B. $F(a) - F(b)$
- C. $\int_{a}^{b} f(x) dx$
- D. $\int_{b}^{a} f(x) dx$
- 答案：A 和 C
- 解释： 根据概率密度函数的定义，$P(a < X \leq b) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) dx$。
若连续型随机变量$X$的概率密度函数$f(x)$在点$x$处连续，则下列哪个表达式成立？
- A. $F'(x) = f(x)$
- B. $F(x) = f'(x)$
- C. $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$
- D. $f(x) = \int_{-\infty}^{x} F(t) dt$
- 答案：A 和 C
- 解释： 选项A是概率密度函数的连续性定义，选项C是分布函数的定义。
对于任意实数$a$，连续型随机变量$X$取值为$a$的概率是多少？
- A. 0
- B. 1
- C. $f(a)$
- D. $F(a)$
- 答案：A
- 解释： 对于连续型随机变量，它取任一指定实数值的概率都是0。
均匀分布的随机变量$X$在区间$(a, b)$上，其概率密度函数$f(x)$的值是多少？
- A. $b - a$
- B. $\frac{1}{b - a}$
- C. $a + b$
- D. $\frac{1}{a + b}$
- 答案：B
- 解释： 均匀分布的概率密度函数在区间$(a, b)$上是一个常数，且$\int_{a}^{b} f(x) dx = 1$，因此$f(x) = \frac{1}{b - a}$。
指数分布的无记忆性可以用哪个表达式表示？
- A. $P(X > s + t | X > s) = P(X > t)$
- B. $P(X > s + t) = P(X > s)P(X > t)$
- C. $P(X > s) = P(X > s + t | X > t)$
- D. $P(X > t) = P(X > s + t | X > s)$
- 答案：A
- 解释： 无记忆性指的是未来的概率分布不依赖于过去，即已知$X > s$的条件下，$X > s + t$的概率与$X > t$的概率相同。
正态分布的概率密度函数$f(x)$关于哪个点对称？
- A. 原点
- B. $x = \mu$
- C. $x = \sigma$
- D. $x = 0$
- 答案：B
- 解释： 正态分布的概率密度函数关于均值$\mu$对称。
若$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$服从什么分布？
- A. $N(0, 1)$
- B. $N(\mu, \sigma^2)$
- C. $N(1, 0)$
- D. $N(\sigma, \mu)$
- 答案：A
- 解释： 这是标准正态分布的定义。
正态分布的$3\sigma$法则表明，随机变量的值落在哪个区间内的概率接近1？
- A. $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$
- B. $(\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma)$
- C. $(\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)$
- D. $(0, \mu + 3\sigma)$
- 答案：C
- 解释： $3\sigma$法则表明，几乎所有的值（99.74%）都落在均值两侧各三个标准差的区间内。
若$X$服从指数分布，其概率密度函数为$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，$x > 0$，则$\lambda$的值决定了什么？
- A. 分布的均值
- B. 分布的方差
- C. 分布的形状
- D. 分布的位置
- 答案：C
- 解释： $\lambda$是指数分布的率参数，它决定了分布的形状。
对于连续型随机变量$X$，其分布函数$F(x)$是：
- A. 总是非负的
- B. 总是递增的
- C. 总是连续的
- D. 总是有界的
- 答案：C
- 解释： 连续型随机变量的分布函数是连续的。
若$X$服从均匀分布$U(a, b)$，则$X$的期望值$E(X)$是多少？
- A. $\frac{a + b}{2}$
- B. $a + b$
- C. $b - a$
- D. $\frac{b - a}{2}$
- 答案：A
- 解释： 均匀分布的期望值是区间$(a, b)$的中点。
正态分布的参数$\sigma$表示什么？
- A. 均值
- B. 方差
- C. 标准差
- D. 概率密度
- 答案：C
- 解释： 在正态分布中，$\sigma$表示标准差。
若$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则$X$的标准差是多少？
- A. $\mu$
- B. $\sigma^2$
- C. $\sigma$
- D. $\frac{1}{\sigma}$
- 答案：C
- 解释： 正态分布的第二个参数是方差，其平方根是标准差。
若$X$服从标准正态分布，则$P(X > 1)$等于多少？
- A. $\Phi(1)$
- B. $1 - \Phi(1)$
- C. $\Phi(-1)$
- D. $1 - \Phi(-1)$
- 答案：B
- 解释： 标准正态分布的上侧概率可以通过$1 - \Phi(x)$计算。
若$X$服从指数分布，其概率密度函数为$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，$x > 0$，则$X$的期望值$E(X)$是多少？
- A. $\lambda$
- B. $\frac{1}{\lambda}$
- C. $\lambda^2$
- D. $\frac{1}{\lambda^2}$
- 答案：B
- 解释： 指数分布的期望值是其率参数的倒数。
对于连续型随机变量$X$，若$f(x)$在$x = c$处连续，则$f(c)$的值决定了什么？
- A. $X = c$的概率
- B. $X$在$c$附近的概率密度
- C. $X$的分布函数在$c$处的值
- D. $X$的方差
- 答案：B
- 解释： $f(c)$表示随机变量在$c$点附近的概率密度。
若$X$服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，则$X$的分布函数$F(x)$可以通过什么变换转换为标准正态分布的分布函数？
- A. $Z = X - \mu$
- B. $Z = \frac{X}{\sigma}$
- C. $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
- D. $Z = \mu + \sigma X$
- 答案：C
- 解释： 通过$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$变换，可以将任意正态分布转换为标准正态分布。
在正态分布中，若$\sigma$增大，则概率密度函数的图形将如何变化？
- A. 变得更尖
- B. 变得更平坦
- C. 向左移动
- D. 向右移动
- 答案：B
- 解释： 标准差$\sigma$的增大使得正态分布的概率密度函数图形变得更平坦，表示数据更分散。
若$X$服从均匀分布$U(a, b)$，则$X$的方差$Var(X)$是多少？
- A. $\frac{(b - a)^2}{12}$
- B. $\frac{(b - a)^2}{4}$
- C. $b - a$
- D. $\frac{b + a}{2}$
- 答案：A
- 解释： 均匀分布的方差公式是$\frac{(b - a)^2}{12}$。

扩展与讲解

连续型随机变量及其概率密度

定义：如果对于随机变量$X$的分布函数$F(x)$，存在非负函数$f(x)$，使得对于任意实数$x$有 $$ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt, $$ 则称$X$为连续型随机变量，其中函数$f(x)$称为$X$的概率密度函数，简称概率密度。

性质：

$f(x) \geq 0$对所有$x$成立。
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$。
对于任意实数$x_1, x_2$（$x_1 \leq x_2$）， $$ P(x_1 < X \leq x_2) = F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx. $$
若$f(x)$在点$x$处连续，则$F'(x) = f(x)$。

解释：

性质1表明概率密度函数是非负的。
性质2表明概率密度函数在整个实数轴上的积分等于1，即概率的总和为1。
性质3表明随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于该区间上概率密度函数下的面积。
性质4表明在概率密度函数的连续点处，分布函数的导数等于概率密度函数。

重要性：

连续型随机变量的分布函数是连续函数。
概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于1。
随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于该区间上概率密度函数下的曲边梯形的面积。

特殊性质：

对于连续型随机变量$X$，它取任一指定实数值$a$的概率均为0，即$P(X = a) = 0$。

应用：

在实际应用中，连续型随机变量广泛存在于自然现象和社会现象中，如测量误差、海洋波浪高度、半导体器件中的热噪声电流或电压等。

选择题

连续型随机变量的定义是什么？
- A. 随机变量的分布函数是离散的。
- B. 随机变量的分布函数是连续的。
- C. 随机变量的分布函数存在非负函数$f(x)$使得$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$。
- D. 随机变量的分布函数是分段函数。
- 答案：C
- 解释：连续型随机变量的定义是存在非负函数$f(x)$使得$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$。
概率密度函数$f(x)$的性质不包括以下哪一项？
- A. $f(x) \geq 0$对所有$x$成立。
- B. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$。
- C. $f(x)$在所有点处连续。
- D. $P(x_1 < X \leq x_2) = \int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx$。
- 答案：C
- 解释：概率密度函数$f(x)$不一定在所有点处连续，但在连续点处有$F'(x) = f(x)$。
连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率是多少？
- A. 0
- B. 1
- C. 0.5
- D. 不确定
- 答案：A
- 解释：对于连续型随机变量$X$，它取任一指定实数值$a$的概率均为0，即$P(X = a) = 0$。
概率密度函数$f(x)$在区间$(x_1, x_2]$上的积分表示什么？
- A. 随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率。
- B. 随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的期望值。
- C. 随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的方差。
- D. 随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的标准差。
- 答案：A
- 解释：概率密度函数$f(x)$在区间$(x_1, x_2]$上的积分表示随机变量$X$落在该区间的概率。
连续型随机变量的分布函数$F(x)$是什么类型的函数？
- A. 离散函数
- B. 连续函数
- C. 分段函数
- D. 阶梯函数
- 答案：B
- 解释：连续型随机变量的分布函数$F(x)$是连续函数。
概率密度函数$f(x)$在整个实数轴上的积分等于多少？
- A. 0
- B. 1
- C. 0.5
- D. 不确定
- 答案：B
- 解释：概率密度函数$f(x)$在整个实数轴上的积分等于1，即$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$。
若$f(x)$在点$x$处连续，则$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：若$f(x)$在点$x$处连续，则$F'(x) = f(x)$。
连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于什么？
- A. $F(x_2) - F(x_1)$
- B. $F(x_1) - F(x_2)$
- C. $\int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$
- D. $\int_{x_2}^{x_1} f(x) \, dx$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于$F(x_2) - F(x_1)$。
概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于多少？
- A. 0
- B. 1
- C. 0.5
- D. 不确定
- 答案：B
- 解释：概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于1。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，这意味着什么？
- A. $X$不可能取值$a$。
- B. $X$取值$a$的概率非常小。
- C. $X$取值$a$的概率为0。
- D. $X$取值$a$的概率不确定。
- 答案：C
- 解释：连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，即$P(X = a) = 0$。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于什么？
- A. $F(x_2) - F(x_1)$
- B. $F(x_1) - F(x_2)$
- C. $\int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$
- D. $\int_{x_2}^{x_1} f(x) \, dx$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于$F(x_2) - F(x_1)$。
概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于多少？
- A. 0
- B. 1
- C. 0.5
- D. 不确定
- 答案：B
- 解释：概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于1。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，这意味着什么？
- A. $X$不可能取值$a$。
- B. $X$取值$a$的概率非常小。
- C. $X$取值$a$的概率为0。
- D. $X$取值$a$的概率不确定。
- 答案：C
- 解释：连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，即$P(X = a) = 0$。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于什么？
- A. $F(x_2) - F(x_1)$
- B. $F(x_1) - F(x_2)$
- C. $\int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$
- D. $\int_{x_2}^{x_1} f(x) \, dx$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于$F(x_2) - F(x_1)$。
概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于多少？
- A. 0
- B. 1
- C. 0.5
- D. 不确定
- 答案：B
- 解释：概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于1。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。

选择题

连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，这意味着什么？
- A. $X$不可能取值$a$。
- B. $X$取值$a$的概率非常小。
- C. $X$取值$a$的概率为0。
- D. $X$取值$a$的概率不确定。
- 答案：C
- 解释：连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，即$P(X = a) = 0$。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于什么？
- A. $F(x_2) - F(x_1)$
- B. $F(x_1) - F(x_2)$
- C. $\int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$
- D. $\int_{x_2}^{x_1} f(x) \, dx$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于$F(x_2) - F(x_1)$。
概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于多少？
- A. 0
- B. 1
- C. 0.5
- D. 不确定
- 答案：B
- 解释：概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于1。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，这意味着什么？
- A. $X$不可能取值$a$。
- B. $X$取值$a$的概率非常小。
- C. $X$取值$a$的概率为0。
- D. $X$取值$a$的概率不确定。
- 答案：C
- 解释：连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，即$P(X = a) = 0$。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于什么？
- A. $F(x_2) - F(x_1)$
- B. $F(x_1) - F(x_2)$
- C. $\int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$
- D. $\int_{x_2}^{x_1} f(x) \, dx$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于$F(x_2) - F(x_1)$。
概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于多少？
- A. 0
- B. 1
- C. 0.5
- D. 不确定
- 答案：B
- 解释：概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于1。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，这意味着什么？
- A. $X$不可能取值$a$。
- B. $X$取值$a$的概率非常小。
- C. $X$取值$a$的概率为0。
- D. $X$取值$a$的概率不确定。
- 答案：C
- 解释：连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，即$P(X = a) = 0$。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于什么？
- A. $F(x_2) - F(x_1)$
- B. $F(x_1) - F(x_2)$
- C. $\int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$
- D. $\int_{x_2}^{x_1} f(x) \, dx$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于$F(x_2) - F(x_1)$。
概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于多少？
- A. 0
- B. 1
- C. 0.5
- D. 不确定
- 答案：B
- 解释：概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于1。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，这意味着什么？
- A. $X$不可能取值$a$。
- B. $X$取值$a$的概率非常小。
- C. $X$取值$a$的概率为0。
- D. $X$取值$a$的概率不确定。
- 答案：C
- 解释：连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，即$P(X = a) = 0$。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于什么？
- A. $F(x_2) - F(x_1)$
- B. $F(x_1) - F(x_2)$
- C. $\int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$
- D. $\int_{x_2}^{x_1} f(x) \, dx$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于$F(x_2) - F(x_1)$。
概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于多少？
- A. 0
- B. 1
- C. 0.5
- D. 不确定
- 答案：B
- 解释：概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于1。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，这意味着什么？
- A. $X$不可能取值$a$。
- B. $X$取值$a$的概率非常小。
- C. $X$取值$a$的概率为0。
- D. $X$取值$a$的概率不确定。
- 答案：C
- 解释：连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，即$P(X = a) = 0$。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于什么？
- A. $F(x_2) - F(x_1)$
- B. $F(x_1) - F(x_2)$
- C. $\int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$
- D. $\int_{x_2}^{x_1} f(x) \, dx$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于$F(x_2) - F(x_1)$。
概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于多少？
- A. 0
- B. 1
- C. 0.5
- D. 不确定
- 答案：B
- 解释：概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于1。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，这意味着什么？
- A. $X$不可能取值$a$。
- B. $X$取值$a$的概率非常小。
- C. $X$取值$a$的概率为0。
- D. $X$取值$a$的概率不确定。
- 答案：C
- 解释：连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，即$P(X = a) = 0$。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于什么？
- A. $F(x_2) - F(x_1)$
- B. $F(x_1) - F(x_2)$
- C. $\int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$
- D. $\int_{x_2}^{x_1} f(x) \, dx$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于$F(x_2) - F(x_1)$。
概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于多少？
- A. 0
- B. 1
- C. 0.5
- D. 不确定
- 答案：B
- 解释：概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于1。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，这意味着什么？
- A. $X$不可能取值$a$。
- B. $X$取值$a$的概率非常小。
- C. $X$取值$a$的概率为0。
- D. $X$取值$a$的概率不确定。
- 答案：C
- 解释：连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，即$P(X = a) = 0$。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于什么？
- A. $F(x_2) - F(x_1)$
- B. $F(x_1) - F(x_2)$
- C. $\int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$
- D. $\int_{x_2}^{x_1} f(x) \, dx$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于$F(x_2) - F(x_1)$。
概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于多少？
- A. 0
- B. 1
- C. 0.5
- D. 不确定
- 答案：B
- 解释：概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于1。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
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连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，这意味着什么？
- A. $X$不可能取值$a$。
- B. $X$取值$a$的概率非常小。
- C. $X$取值$a$的概率为0。
- D. $X$取值$a$的概率不确定。
- 答案：C
- 解释：连续型随机变量$X$取任一指定实数值$a$的概率为0，即$P(X = a) = 0$。
连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于什么？
- A. $f(x)$
- B. $F(x)$
- C. $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
- D. $\int_{x}^{\infty} f(t) \, dt$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$的分布函数$F(x)$在$x$处的导数$F'(x)$等于$f(x)$。
连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于什么？
- A. $F(x_2) - F(x_1)$
- B. $F(x_1) - F(x_2)$
- C. $\int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$
- D. $\int_{x_2}^{x_1} f(x) \, dx$
- 答案：A
- 解释：连续型随机变量$X$落在区间$(x_1, x_2]$的概率等于$F(x_2) - F(x_1)$。
概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于多少？
- A. 0
- B. 1
- C. 0.5
- D. 不确定
- 答案：B
- 解释：概率密度函数$f(x)$的图形与$Ox$轴之间的面积等于1。

§2.4 连续型随机变量及其概率密度

一、连续型随机变量的定义

二、概率密度的性质

三、概率密度的物理意义

四、例题解析

例1

五、连续型随机变量的性质

六、概率分布的定义

七、三种重要的连续型随机变量

（一）均匀分布

例2

（二）指数分布

（三）正态分布

例3

上α分位点的定义

§4 连续型随机变量及其概率密度详解

连续型随机变量的性质

概率密度的计算与应用

重要的连续型分布

一、连续型随机变量及其概率密度的基本概念

二、概率密度的性质

三、连续型随机变量取特定值的概率

四、几种重要的连续型随机变量

五、标准正态分布的上 \( \alpha \) 分位点

选择题1

选择题2

选择题3

选择题4

选择题5

选择题6

选择题7

选择题8

选择题 21

选择题 22

选择题 23

选择题 24

选择题 25

选择题 26

选择题 27

选择题 28

选择题 29

选择题 30

选择题 31

选择题 32

选择题 33

选择题 34

选择题 35

知识点讲解

选择题目

扩展与讲解

连续型随机变量及其概率密度

选择题

选择题