§2.5 随机变量的函数的分布
概述
在实际应用中，我们常常对某些随机变量的函数更感兴趣。例如，在一些试验中，所关心的随机变量往往不能由直接测量得到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数。比如我们能测量圆轴截面的直径\(d\)，而关心的却是截面面积\(A = \frac{1}{4} \pi d^2\)。这里，随机变量\(A\)是随机变量\(d\)的函数。在这一节中，我们将讨论如何由已知的随机变量\(X\)的概率分布去求得它的函数\(Y = g(X)\)（其中\(g(\cdot)\)是已知的连续函数）的概率分布。这里\(Y\)是这样的随机变量，当\(X\)取值\(x\)时，\(Y\)取值\(g(x)\)。
例题解析
例1
设随机变量\(X\)具有以下的分布律，试求\(Y = (X-1)^2\)的分布律。
解 \(Y\)所有可能取的值为\(0, 1, 4\)。由
即得\(Y\)的分布律为
例2
设随机变量\(X\)具有概率密度
求随机变量\(Y = 2X + 8\)的概率密度。
解 分别记\(X, Y\)的分布函数为\(F_X(x), F_Y(y)\)。下面先来求\(F_Y(y)\)。
将\(F_Y(y)\)关于\(y\)求导数，得\(Y = 2X + 8\)的概率密度为
例3
设随机变量\(X\)具有概率密度\(f_X(x),-\infty < x < \infty\)，求\(Y = X^2\)的概率密度。
解 分别记\(X, Y\)的分布函数为\(F_X(x), F_Y(y)\)。先来求\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)。由于\(Y = X^2 \geq 0\)，故当\(y \leq 0\)时\(F_Y(y) = 0\)。当\(y > 0\)时有
将\(F_Y(y)\)关于\(y\)求导数，即得\(Y\)的概率密度为
例如，设\(X \sim N(0, 1)\)，其概率密度为
由上式得\(Y = X^2\)的概率密度为
此时称\(Y\)服从自由度为 1 的\(\chi^2\)分布。
例4
设随机变量\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)。试证明\(X\)的线性函数\(Y = aX + b\)（\(a \neq 0\)）也服从正态分布。
证 \(X\)的概率密度为
现在\(y = g(x) = ax + b\)，由这一式子解得
由(5.2)式得\(Y = aX + b\)的概率密度为
即
即有
特别，在上例中取\(a = \frac{1}{\sigma}, b =-\frac{\mu}{\sigma}\)得
这就是上一节引理的结果。 □
例5
设电压\(V =A \sin \Theta\)，其中\(A\)是一个已知的正常数，相角\(\Theta\)是一个随机变量，且有\(\Theta \sim U\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)，试求电压\(V\)的概率密度。
解 现在\(v = g(\theta) =A \sin \theta\)在\(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)上恒有\(g'(\theta) =A \cos \theta > 0\)，且有反函数
又，\(\Theta\)的概率密度为
由(5.2)式得\(V =A \sin \theta\)的概率密度为
定理
设随机变量\(X\)具有概率密度\(f_X(x)\)，\(-\infty < x < \infty\)，又设函数\(g(x)\)处处可导且恒有\(g'(x) > 0\)（或恒有\(g'(x) < 0\)），则\(Y = g(X)\)是连续型随机变量，其概率密度为
其中\(\alpha = \min\lbrace g(-\infty), g(\infty)\rbrace\)，\(\beta = \max\lbrace g(-\infty), g(\infty)\rbrace\)，\(h(y)\)是\(g(x)\)的反函数。
小结
随机变量\(X = X(e)\)是定义在样本空间\(S = \lbrace e\rbrace\)上的实值单值函数。也就是说，它是随机试验结果的函数。它的取值随试验的结果而定，是不能预先确定的，它的取值有一定的概率。随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究。今后，我们主要研究随机变量和它的分布。
一个随机变量，如果它所有可能的值是有限个或可列无限个，这种随机变量称为离散型随机变量，不是这种情况则称为非离散型的。不论是离散型的或非离散型的随机变量\(X\)，都可以借助分布函数
来描述。若已知随机变量\(X\)的分布函数，就能知道\(X\)落在任一区间\((x_1, x_2]\)上的概率
这样，分布函数就能完整地描述随机变量取值的统计规律性。
对于离散型随机变量，我们需要掌握的是它可能取哪些值，以及它以怎样的概率取这些值，这就是离散型随机变量取值的统计规律性。因此，对于离散型随机变量，用分布律
或写成
（这里，\(\sum_{k=1}^{\infty} p_k = 1\)）来描述它的取值的统计规律性较为直观和简洁。分布律与分布函数有以下的关系
它们是一一对应的。
设随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，如果存在非负可积函数\(f(x)\)，使得对于任意\(x\)，有
则称\(X\)是连续型随机变量，其中\(f(x) \geq 0\)称为\(X\)的概率密度。
给定\(X\)的概率密度\(f(x)\)就能确定\(F(x)\)，由于\(f(x)\)位于积分号之内，故改变\(f(x)\)在个别点上的函数值并不改变\(F(x)\)的值。因此，改变\(f(x)\)在个别点上的值，是无关紧要的。
连续型随机变量\(X\)的分布函数是连续的，连续型随机变量取任一指定实数值\(a\)的概率为0，即\(P(X = a) = 0\)。这两点性质离散型随机变量是不具备的。
我们将随机变量分成为
读者不要误以为，一个随机变量，如果它不是离散型的那一定是连续型的。但本书只讨论两类重要的随机变量：离散型和连续型随机变量。
读者应掌握分布函数、分布律、概率密度的性质。本章引入了几种重要的随机变量的分布：(0-1)分布，二项分布，泊松分布，指数分布，均匀分布和正态分布。读者必须熟知这几种随机变量的分布律或概率密度。
随机变量\(X\)的函数\(Y = g(X)\)也是一个随机变量，要掌握如何由已知的\(X\)的分布（\(X\)的分布律或概率密度）去求得\(Y = g(X)\)的分布（\(Y\)的分布律或概率密度）。
随机变量的函数的分布
重要术语及主题
随机变量
分布函数
离散型随机变量及其分布律
连续型随机变量及其概率密度
伯努利试验
(0-1)分布
n 重伯努利试验
二项分布
泊松分布
指数分布
均匀分布
正态分布
随机变量函数的分布
随机变量的函数的分布详解
在概率论与统计中，我们不仅关注随机变量本身，还关注其函数的分布。例如，在实验中，无法直接测量的物理量往往是另一随机变量的函数。假设测量圆的直径\(d\)，所关心的截面面积为\(A = \frac{1}{4} \pi d^2\)，这里\(A\)是随机变量\(d\)的函数。因此，若已知随机变量\(X\)的概率分布，我们可以求其函数\(Y = g(X)\)的分布。
求随机变量的函数的分布
离散型随机变量的函数分布
若\(X\)是离散型随机变量，其分布律已知，我们可以根据\(Y = g(X)\)取值的可能性，通过已知\(X\)的概率计算\(Y\)的分布。此时\(Y\)的分布律为\(P(Y = y_k)\)，计算时需要累加所有满足\(g(X) = y_k\)的事件概率。
例1：若\(X\)的取值为\(-1, 0, 1, 2\)且对应概率分别为\(0.2, 0.3, 0.1, 0.4\)，则\(Y = (X-1)^2\)的分布可求得为不同\(X\)值对应的\(Y\)值的概率累加。
连续型随机变量的函数分布
对于连续型随机变量\(X\)，其概率密度函数已知，若\(Y = g(X)\)且\(g(\cdot)\)为单调连续函数，则可以通过以下步骤求\(Y\)的分布函数和概率密度函数：
先求\(F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y)\)。
通过积分或逆函数方法，将\(Y \leq y\)转换成关于\(X\)的不等式，再求出相应的\(F_Y(y)\)。
对\(F_Y(y)\)求导得到\(Y\)的概率密度\(f_Y(y)\)。
例2：若\(X\)的密度为\(f_X(x) = \frac{x}{8}\)且\(Y = 2X + 8\)，则可以用逆函数法求出\(f_Y(y)\)。
一般方法与定理
对于\(Y = g(X)\)，若\(g(x)\)是严格单调且可导函数，\(Y\)的概率密度可通过公式
其中\(h(y)\)为\(g(x)\)的反函数。这一方法适用于任何严格单调的可导函数。
重要例子
线性变换
若\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，则\(Y = aX + b\)仍服从正态分布，且\(Y \sim N(a\mu + b, (a\sigma)^2)\)。
自由度为 1 的\(\chi^2\)分布
若\(X \sim N(0,1)\)，则\(Y = X^2\)服从自由度为 1 的\(\chi^2\)分布，其概率密度为\(f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{-1/2} e^{-y/2}\)。
正弦函数变换
若\(V =A \sin \Theta\)，其中\(A\)为常数，\(\Theta \sim U(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)，则可利用反函数求\(V\)的概率密度。
对于离散型随机变量\(X\)，函数\(Y = g(X)\)的分布如何获得？
A. 通过概率密度函数积分
B. 通过累加\(X\)的事件概率 (正确)
C. 通过分布函数积分
D. 通过傅里叶变换
解释：对于离散型随机变量，可以通过累加满足\(g(X) = y\)的事件概率计算\(Y\)的分布。
设\(Y = g(X)\)，如果\(g(\cdot)\)是单调连续函数且\(X\)为连续型随机变量，求\(Y\)的分布的关键步骤是？
A. 对\(Y\)积分
B. 解出关于\(X\)的不等式 (正确)
C. 解出关于\(Y\)的不等式
D. 直接求密度
解释：可以将\(g(X) \leq y\)转换为关于\(X\)的不等式，方便求分布。
若\(X\)的密度\(f_X(x)\)已知，求\(Y = g(X)\)的密度的一个常用方法是？
A. 通过卷积
B. 通过反函数法 (正确)
C. 通过求均值
D. 通过直接积分
解释：通过求反函数\(h(y)\)和求导数可以获得\(Y\)的密度。
设\(X \sim N(0, 1)\)，则\(Y = X^2\)的分布是什么？
A. 正态分布
B. 自由度为 1 的\(\chi^2\)分布 (正确)
C. 均匀分布
D. 指数分布
解释：\(X^2\)服从自由度为 1 的\(\chi^2\)分布。
若\(Y = aX + b\)，其中\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，则\(Y\)的分布是？
A. 均匀分布
B. 泊松分布
C. 正态分布 (正确)
D. 对数正态分布
解释：线性变换后的随机变量\(Y\)仍然服从正态分布。
在计算连续型随机变量函数的分布时，反函数法要求：
A.\(g(x)\)是严格单调的 (正确)
B.\(g(x)\)是周期性的
C.\(g(x)\)是线性的
D.\(g(x)\)是正弦函数
解释：严格单调的条件保证了反函数\(h(y)\)的存在。
设\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，若\(Y = \frac{X-\mu}{\sigma}\)，则\(Y\)的分布是？
A. 均匀分布
B. 标准正态分布 (正确)
C. 指数分布
D. 泊松分布
解释：标准化处理后，\(Y\)服从\(N(0, 1)\)。
如果\(X \sim U(a, b)\)，且\(Y = X^2\)，则\(Y\)的密度应如何求？
A. 通过积分
B. 通过逆函数 (正确)
C. 通过卷积
D. 通过正态化处理
解释：使用逆函数法可以求出\(Y = X^2\)的密度。
对于正态分布，线性变换的结果是：
A. 任意分布
B. 正态分布 (正确)
C. 泊松分布
D. 指数分布
解释：正态分布经过线性变换后仍为正态分布。
若\(f_X(x)\)是\(X\)的密度，求\(Y = g(X)\)的密度时需要用到什么条件？
A.\(f_X(x) > 0\)
B.\(g(x)\)可导且严格单调 (正确)
C.\(X\)为离散型
D.\(X\)为独立分布
解释：单调性和可导性确保可以求出\(Y\)的分布。
随机变量的函数的分布应用于：
A. 求和分布
B. 变换分布 (正确)
C. 乘积分布
D. 联合分布
解释：常用于计算变换后的随机变量的分布。
对于一般\(Y = g(X)\)的分布求解，如果\(g(x)\)不满足单调性，常用的方法是？
A. 划分区域分段处理 (正确)
B. 直接积分
C. 使用反函数
D. 傅里叶变换
解释：可以对不同区域划分后处理。
正态随机变量的平方根变换适用于哪种分布？
A. 正态分布
B. 均匀分布
C. 自由度为 1 的\(\chi^2\)分布 (正确)
D. 泊松分布
解释：平方变换后的分布为\(\chi^2\)分布。
若\(X \sim U(-1,1)\)，则\(Y = X^2\)的可能取值范围为？
A.\([0,1]\)(正确)
B.\([-1,1]\)
C.\([0,0.5]\)
D.\([-0.5,0.5]\)
解释：平方后范围在\([0,1]\)。
若\(X \sim N(0, 1)\)，则\(Y = e^X\)的分布是什么？
A. 正态分布
B. 对数正态分布 (正确)
C. 指数分布
D. 均匀分布
解释：当\(X \sim N(0, 1)\)时，\(Y = e^X\)服从对数正态分布。
若随机变量\(X\)是连续型且其函数\(Y = g(X)\)的分布已知，则\(Y\)是什么类型的随机变量？
A. 必须是离散型
B. 必须是连续型
C. 不确定，取决于\(g(X)\)(正确)
D. 必须是正态分布
解释：\(Y\)是否为连续型或离散型取决于\(g(X)\)的性质。
在反函数法中，若\(g(x)\)是严格递增函数，则\(h(y)\)的导数\(h'(y)\)应该是？
A. 正数 (正确)
B. 负数
C. 零
D. 任意
解释：当\(g(x)\)严格递增时，反函数的导数\(h'(y)\)为正数。
设\(X \sim U(a, b)\)，若\(Y = X^2\)，则\(Y\)的密度可以通过什么方法求得？
A. 积分法
B. 反函数法 (正确)
C. 分段函数法
D. 正态化方法
解释：反函数法可用于求解\(Y = X^2\)的密度。
对于离散型随机变量\(X\)，若\(Y = g(X)\)，则\(Y\)的分布律为？
A.\(Y\)的概率密度函数
B.\(Y\)的分布函数
C.\(Y\)的离散分布律 (正确)
D.\(Y\)的卷积
解释：对于离散型\(X\)，\(Y = g(X)\)的分布律为离散分布律。
若\(X\)服从\(U(0, 1)\)，则\(Y =-\ln X\)的分布为？
A. 正态分布
B. 指数分布 (正确)
C. 均匀分布
D. 对数正态分布
解释：若\(X \sim U(0, 1)\)，则\(Y =-\ln X\)服从指数分布。
若\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，则\(Y = X + c\)的分布是？
A. 均匀分布
B. 正态分布 (正确)
C. 泊松分布
D. 指数分布
解释：加上一个常数后的随机变量仍然服从正态分布。
设随机变量\(X \sim N(0, 1)\)，若\(Y = X^2\)，则\(Y\)的可能取值范围是？
A.\([0, \infty)\)(正确)
B.\((-\infty, 0]\)
C.\([0,1]\)
D.\((-1,1)\)
解释：由于\(Y = X^2\)，取值范围为\([0, \infty)\)。
在求连续型随机变量的函数分布时，反函数法适用于何种函数\(g(x)\)？
A. 任意函数
B. 单调且可导的函数 (正确)
C. 常数函数
D. 非单调函数
解释：反函数法适用于单调且可导的函数\(g(x)\)。
若随机变量\(X\)有密度\(f_X(x)\)，函数\(Y = g(X)\)的密度\(f_Y(y)\)的求法之一是？
A. 对\(Y\)积分
B. 使用反函数法 (正确)
C. 使用极值求解
D. 直接求平均值
解释：反函数法可以用来求函数\(Y = g(X)\)的密度。
设随机变量\(X \sim N(0, 1)\)，则\(Y = |X|\)的分布是什么？
A. 正态分布
B. 对称正态分布
C. 半正态分布 (正确)
D. 指数分布
解释：\(|X|\)服从半正态分布。
若\(X \sim U(0,1)\)，则\(Y = \sin(\pi X)\)的取值范围是？
A.\([-1,1]\)
B.\([0,1]\)(正确)
C.\([-0.5,0.5]\)
D.\([0,0.5]\)
解释：\(Y = \sin(\pi X)\)的取值范围为\([0,1]\)。
若\(X \sim N(0, 1)\)，则\(Y = e^X\)的可能取值范围是？
A.\([0, \infty)\)(正确)
B.\((-\infty, 0]\)
C.\([0,1]\)
D.\((-1,1)\)
解释：\(e^X\)的取值为正数，取值范围为\([0, \infty)\)。
设\(X \sim U(-\pi/2, \pi/2)\)，则\(Y = \tan(X)\)的分布范围是？
A.\([0, \pi)\)
B.\((-1,1)\)
C.\((-\infty, \infty)\)(正确)
D.\([-\pi/2, \pi/2]\)
解释：由于\(\tan(x)\)的定义域为\((-\pi/2, \pi/2)\)，因此\(Y\)的取值范围是\((-\infty, \infty)\)。
若\(X \sim N(0, 1)\)，则\(Y = X^3\)的取值范围是？
A.\([0, \infty)\)
B.\((-\infty, \infty)\)(正确)
C.\([-1, 1]\)
D.\((-\infty, 0)\)
解释：由于\(X^3\)为奇次幂，\(Y\)的取值范围为\((-\infty, \infty)\)。
设\(X \sim U(-1, 1)\)，则\(Y = X^2\)的密度函数在什么范围内非零？
A.\((-\infty, \infty)\)
B.\([0, 1]\)(正确)
C.\([0, \infty)\)
D.\([0.5, 1]\)
解释：由于\(X\)的取值范围为\([-1, 1]\)，\(Y = X^2\)的取值范围为\([0, 1]\)。
设随机变量\(X \sim N(0, 1)\)，若\(Y = X + X^2\)，则\(Y\)的分布是？
A. 正态分布
B. 对数正态分布
C. 复杂的连续分布 (正确)
D. 均匀分布
解释：由于\(Y = X + X^2\)是非线性函数，因此其分布较复杂。
若\(X \sim U(0,1)\)，则\(Y =-\ln X\)的均值是？
A. 1 (正确)
B. 0
C.\(\ln 2\)
D. 2
解释：若\(X \sim U(0,1)\)，则\(Y =-\ln X\)服从参数为 1 的指数分布，其均值为 1。
对于连续型随机变量\(X\)，若\(Y = g(X)\)，且\(g(x)\)是单调递减函数，则\(f_Y(y)\)中\(h'(y)\)的符号是？
A. 正号
B. 负号 (正确)
C. 不确定
D. 任意
解释：当\(g(x)\)单调递减时，反函数导数\(h'(y)\)为负。
若\(X \sim U(0,2)\)，则\(Y = X/2\)的分布是？
A. 均匀分布 (正确)
B. 正态分布
C. 对数正态分布
D. 指数分布
解释：若\(X \sim U(0,2)\)，则\(Y = X/2\)服从均匀分布\(U(0,1)\)。
若\(X \sim U(-a, a)\)，则\(Y = X^2\)的密度在\([0, a^2]\)范围内为？
A. 均匀分布
B. 正态分布
C. 分段密度函数 (正确)
D. 对数正态分布
解释：\(Y = X^2\)的密度在范围\([0, a^2]\)内为分段密度函数。
若\(X \sim N(0, 1)\)，则\(Y = |X|\)的均值为？
A. 0
B.\(\sqrt{2/\pi}\)(正确)
C.\(\sqrt{\pi/2}\)
D. 1
解释：\(|X|\)的均值为\(\sqrt{2/\pi}\)。
设\(X \sim N(0, 1)\)，则\(Y = X^4\)的分布的对称性如何？
A. 关于\(y\)轴对称
B. 关于原点对称
C. 无对称性
D. 关于\(y\)轴对称 (正确)
解释：\(X^4\)生成的\(Y\)具有关于\(y\)轴对称的分布。
对于正态分布，函数\(Y = X^2\)的分布属于什么分布类型？
A. 正态分布
B.\(\chi^2\)分布 (正确)
C. 均匀分布
D. 对数正态分布
解释：\(X^2\)属于自由度为 1 的\(\chi^2\)分布。
若\(X \sim N(0, \sigma^2)\)，则\(Y = X^2\)的分布的期望为？
A.\(2\sigma^2\)
B.\(\sigma^2\)(正确)
C.\(\sqrt{2\sigma}\)
D.\(\sigma^2/2\)
解释：\(X^2\)的期望为\(\sigma^2\)。
设\(X \sim U(-a, a)\)，则\(Y = X^2\)的分布函数在\(y = 0\)处的值是？
A. 0 (正确)
B. 1
C. 0.5
D.\(a\)
解释：在\(y = 0\)处，\(F_Y(0) = 0\)。
随机变量的函数的分布
一、随机变量的函数的分布的概念
在实际问题中，我们常常需要研究随机变量的函数的分布情况。例如，当我们关心的随机变量不能直接测量，而它是某个可直接测量的随机变量的函数时，就需要通过已知随机变量的概率分布来求得其函数的概率分布。设\(Y = g(X)\)，其中\(g(\cdot)\)是已知的连续函数，当\(X\)取值\(x\)时，\(Y\)取值\(g(x)\)，我们的任务就是由\(X\)的概率分布求出\(Y\)的概率分布。
二、离散型随机变量函数的分布
对于离散型随机变量\(X\)，已知其分布律，求\(Y = g(X)\)的分布律时，先确定\(Y\)所有可能取的值，然后通过计算\(P(Y = y)\)来得到\(Y\)的分布律。例如在例1中，通过计算\(P((X-1)^2 = y)\)得到了\(Y = (X-1)^2\)的分布律。
三、连续型随机变量函数的分布
一般方法
对于连续型随机变量\(X\)，求\(Y = g(X)\)的概率密度时，通常先求出\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)，即\(F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(g(X)\leq y)\)，然后对\(F_Y(y)\)关于\(y\)求导得到\(Y\)的概率密度\(f_Y(y)\)。在这个过程中，关键的一步是在“\(g(X)\leq y\)”中解出\(X\)，得到一个与“\(g(X)\leq y\)”等价的\(X\)的不等式，并用后者代替“\(g(X)\leq y\)”。
单调函数情况的定理
设随机变量\(X\)具有概率密度\(f_X(x)\)，\(-\infty < x < \infty\)，又设函数\(g(x)\)处处可导且恒有\(g'(x)>0\)（或恒有\(g'(x)<0\)），则\(Y = g(X)\)是连续型随机变量，其概率密度为：
其中\(\alpha = \min\lbrace g(-\infty),g(\infty)\rbrace\)，\(\beta = \max\lbrace g(-\infty),g(\infty)\rbrace\)，\(h(y)\)是\(g(x)\)的反函数。这个定理为求连续型随机变量的单调函数的概率密度提供了一个简便的方法。需要注意的是，当\(g(x)\)不是单调函数时，上述定理失效，应按一般方法来求解。
四、随机变量分类及相关描述
随机变量的分类
随机变量分为离散型和非离散型，非离散型中又以连续型最为常见，但要注意并非所有非离散型随机变量都是连续型的，本书主要讨论离散型和连续型这两类重要的随机变量。
分布函数的作用
不论是离散型还是连续型随机变量\(X\)，都可以借助分布函数\(F(x)=P\lbrace X\leq x\rbrace\)来描述其取值的统计规律性。已知分布函数，就能知道\(X\)落在任一区间\((x_1,x_2]\)上的概率\(P\lbrace x_1 < X\leq x_2\rbrace=F(x_2)-F(x_1)\)。
离散型随机变量的描述
对于离散型随机变量，用分布律\(P(X = x_k)=p_k\)来描述其取值的统计规律性更为直观和简洁，且分布律与分布函数有一一对应的关系\(F(x)=P(X\leq x)=\sum_{x_k\leq x}P(X = x_k)\)。
连续型随机变量的描述
对于连续型随机变量\(X\)，若存在非负可积函数\(f(x)\)，使得\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(x)dx\)，则称\(f(x)\)为\(X\)的概率密度。给定概率密度\(f(x)\)就能确定分布函数\(F(x)\)，且改变\(f(x)\)在个别点上的值不影响\(F(x)\)的值。同时，连续型随机变量的分布函数是连续的，且取任一指定实数值\(a\)的概率为\(0\)，这与离散型随机变量不同。
五、重要的随机变量分布
本章还引入了几种重要的随机变量的分布，包括(0-1)分布、二项分布、泊松分布、指数分布、均匀分布和正态分布，读者需要熟知这些分布的分布律或概率密度，以便更好地解决相关问题。
1
设离散型随机变量\(X\)的分布律为\(\begin{array}{c|ccc}X & 1 & 2 & 3 \\ \hline p_k & 0.3 & 0.4 & 0.3\end{array}\)，则\(Y = X^2\)的分布律为（ ）。
A.\(\begin{array}{c|ccc}Y & 1 & 4 & 9 \\ \hline p_k & 0.3 & 0.4 & 0.3\end{array}\)
B.\(\begin{array}{c|ccc}Y & 1 & 4 & 9 \\ \hline p_k & 0.3 & 0.7 & 0\end{array}\)
C.\(\begin{array}{c|ccc}Y & 1 & 2 & 3 \\ \hline p_k & 0.3 & 0.4 & 0.3\end{array}\)
D.\(\begin{array}{c|ccc}Y & 2 & 4 & 6 \\ \hline p_k & 0.3 & 0.4 & 0.3\end{array}\) 答案：A 选项解释： -A选项：当\(X = 1\)时，\(Y = 1^2 = 1\)，概率为\(0.3\)；当\(X = 2\)时，\(Y = 2^2 = 4\)，概率为\(0.4\)；当\(X = 3\)时，\(Y = 3^2 = 9\)，概率为\(0.3\)，所以\(Y\)的分布律为\(\begin{array}{c|ccc}Y & 1 & 4 & 9 \\ \hline p_k & 0.3 & 0.4 & 0.3\end{array}\)，A选项正确。 -B选项：计算错误，应为\(\begin{array}{c|ccc}Y & 1 & 4 & 9 \\ \hline p_k & 0.3 & 0.4 & 0.3\end{array}\)，B选项错误。 -C选项：\(Y\)的值应为\(X^2\)的值，不是\(X\)的值，C选项错误。 -D选项：同理，\(Y\)的值计算错误，D选项错误。
2
设随机变量\(X\)服从均匀分布\(U(0, 2)\)，则\(Y = 3X + 1\)的概率密度为（ ）。
A.\(\begin{cases}\frac{1}{6}, & 1 < y < 7 \\ 0, & 其他\end{cases}\)
B.\(\begin{cases}\frac{1}{2}, & 1 < y < 7 \\ 0, & 其他\end{cases}\)
C.\(\begin{cases}\frac{1}{3}, & 1 < y < 7 \\ 0, & 其他\end{cases}\)
D.\(\begin{cases}\frac{1}{4}, & 1 < y < 7 \\ 0, & 其他\end{cases}\) 答案：A 选项解释： -A选项：已知\(X\sim U(0,2)\)，其概率密度为\(f_X(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & 0 < x < 2 \\ 0, & 其他\end{cases}\)。对于\(Y = 3X + 1\)，\(y = g(x)=3x + 1\)，解得\(x = h(y)=\frac{y-1}{3}\)，\(h'(y)=\frac{1}{3}\)。根据定理，\(\alpha = g(0)=1\)，\(\beta = g(2)=7\)，则\(Y\)的概率密度为\(f_Y(y)=\begin{cases}f_X[h(y)]|h'(y)|=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}, & 1 < y < 7 \\ 0, & 其他\end{cases}\)，A选项正确。 -B选项：计算错误，应为\(\frac{1}{6}\)，B选项错误。 -C选项：同理，应为\(\frac{1}{6}\)，C选项错误。 -D选项：错误，应为\(\frac{1}{6}\)，D选项错误。
3
设随机变量\(X\)的概率密度为\(f_X(x)=\begin{cases}2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & 其他\end{cases}\)，则\(Y = X^3\)的概率密度为（ ）。
A.\(\begin{cases}\frac{2}{3}y^{-\frac{2}{3}}, & 0 < y < 1 \\ 0, & 其他\end{cases}\)
B.\(\begin{cases}\frac{2}{3}y^{\frac{2}{3}}, & 0 < y < 1 \\ 0, & 其他\end{cases}\)
C.\(\begin{cases}\frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}}, & 0 < y < 1 \\ 0, & 其他\end{cases}\)
D.\(\begin{cases}\frac{1}{3}y^{\frac{2}{3}}, & 0 < y < 1 \\ 0, & 其他\end{cases}\) 答案：A 选项解释： -A选项：先求\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)，当\(y\leq0\)时，\(F_Y(y)=0\)；当\(0 < y < 1\)时，\(F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^3\leq y)=P(X\leq y^{\frac{1}{3}})=\int_{0}^{y^{\frac{1}{3}}}2xdx=y^{\frac{2}{3}}\)。对\(F_Y(y)\)求导得\(f_Y(y)=\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\)，即\(f_Y(y)=\begin{cases}\frac{2}{3}y^{-\frac{2}{3}}, & 0 < y < 1 \\ 0, & 其他\end{cases}\)，A选项正确。 -B选项：求导错误，应为\(\frac{2}{3}y^{-\frac{2}{3}}\)，B选项错误。 -C选项：错误，应为\(\frac{2}{3}y^{-\frac{2}{3}}\)，C选项错误。 -D选项：同理，应为\(\frac{2}{3}y^{-\frac{2}{3}}\)，D选项错误。
4
设\(X\)是离散型随机变量，\(Y = g(X)\)，下列说法正确的是（ ）。
A.\(Y\)一定是离散型随机变量
B.\(Y\)一定是连续型随机变量
C.\(Y\)可能是离散型也可能是连续型随机变量
D.\(Y\)既不是离散型也不是连续型随机变量 答案：A 选项解释： -A选项：因为\(X\)是离散型随机变量，对于\(Y = g(X)\)，其取值也是由\(X\)的取值通过函数\(g\)确定的，所以\(Y\)的取值也是有限个或可列无限个，因此\(Y\)一定是离散型随机变量，A选项正确。 -B选项：\(Y\)不一定是连续型随机变量，B选项错误。 -C选项：\(Y\)一定是离散型随机变量，不是可能是连续型，C选项错误。 -D选项：\(Y\)是离散型随机变量，D选项错误。
5
设随机变量\(X\)服从正态分布\(N(0, 1)\)，则\(Y = 2X-1\)服从（ ）。
A.\(N(-1, 4)\)
B.\(N(-1, 2)\)
C.\(N(0, 2)\)
D.\(N(0, 4)\) 答案：A 选项解释： -A选项：已知\(X\sim N(0,1)\)，对于\(Y = 2X-1\)，根据\(Y = aX + b\sim N(a\mu + b, (a\sigma)^2)\)，可得\(Y\sim N(2\times0-1, (2\times1)^2)=N(-1, 4)\)，A选项正确。 -B选项：计算错误，应为\(N(-1, 4)\)，B选项错误。 -C选项：错误，应为\(N(-1, 4)\)，C选项错误。 -D选项：参数计算错误，应为\(N(-1, 4)\)，D选项错误。
6
设随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，则\(P(X = x)\)（ ）。
A. 等于\(F(x)\)
B. 等于\(F(x)-F(x-0)\)
C. 对于离散型随机变量，\(P(X = x)\)可能大于\(0\)；对于连续型随机变量，\(P(X = x)=0\)
D. 对于离散型随机变量，\(P(X = x)=0\)；对于连续型随机变量，\(P(X = x)\)可能大于\(0\) 答案：C 选项解释： -A选项：\(P(X = x)\)不等于\(F(x)\)，A选项错误。 -B选项：\(F(x)-F(x-0)\)一般用于求离散型随机变量在\(x\)点的概率，但表述不完整，B选项错误。 -C选项：对于离散型随机变量，其在某些取值点上的概率可能大于\(0\)；而对于连续型随机变量，取任一指定实数值的概率为\(0\)，C选项正确。 -D选项：说法错误，对于连续型随机变量\(P(X = x)=0\)，D选项错误。
7
设\(X\)是连续型随机变量，其概率密度为\(f(x)\)，分布函数为\(F(x)\)，则下列说法错误的是（ ）。
A.\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt\)
B.\(f(x)\geq0\)
C.\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1\)
D.\(f(x)\)在\((-\infty, \infty)\)上一定连续 答案：D 选项解释： -A选项：这是连续型随机变量分布函数与概率密度的基本关系，A选项正确。 -B选项：概率密度函数的基本性质之一是\(f(x)\geq0\)，B选项正确。 -C选项：由概率密度的性质可知\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1\)，C选项正确。 -D选项：\(f(x)\)不一定在\((-\infty, \infty)\)上连续，只需要满足非负可积且积分为\(1\)等性质即可，D选项错误。
9
设随机变量\(X\)服从指数分布，概率密度为\(f_X(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x\leq0\end{cases}\)，\(\lambda>0\)，则\(Y = e^X\)的概率密度为（ ）。
A.\(\begin{cases}\frac{1}{y\lambda}e^{-\frac{\lambda}{y}}, & y > 1 \\ 0, & y\leq1\end{cases}\)
B.\(\begin{cases}\lambda y^{-\lambda-1}, & y > 1 \\ 0, & y\leq1\end{cases}\)
C.\(\begin{cases}\frac{1}{y\lambda}e^{-\lambda\ln y}, & y > 0 \\ 0, & y\leq0\end{cases}\)
D.\(\begin{cases}\lambda e^{-\lambda\ln y}, & y > 0 \\ 0, & y\leq0\end{cases}\) 答案：A 选项解释： -A 选项：先求\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)，当\(y\leq1\)时，\(F_Y(y)=0\)；当\(y > 1\)时，\(F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(e^X\leq y)=P(X\leq\ln y)=\int_{0}^{\ln y}\lambda e^{-\lambda x}dx = 1- e^{-\lambda\ln y}\)。对\(F_Y(y)\)求导得\(f_Y(y)=\frac{1}{y\lambda}e^{-\frac{\lambda}{y}}\)，所以\(f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{y\lambda}e^{-\frac{\lambda}{y}}, & y > 1 \\ 0, & y\leq1\end{cases}\)，A 选项正确。 -B 选项：计算错误，应为\(\frac{1}{y\lambda}e^{-\frac{\lambda}{y}}\)，B 选项错误。 -C 选项：化简错误，应为\(\frac{1}{y\lambda}e^{-\frac{\lambda}{y}}\)，C 选项错误。 -D 选项：错误，应为\(\frac{1}{y\lambda}e^{-\frac{\lambda}{y}}\)，D 选项错误。
10
设随机变量\(X\)服从均匀分布\(U(-2, 2)\)，则\(Y = X^2\)的分布函数\(F_Y(y)\)在\(y = 1\)处的值为（ ）。
A.\(\frac{1}{2}\)
B.\(\frac{1}{4}\)
C.\(\frac{3}{4}\)
D.\(0\) 答案：A 选项解释： -A 选项：当\(y\leq0\)时，\(F_Y(y)=0\)；当\(0 < y < 4\)时，\(F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(-\sqrt{y}\leq X\leq\sqrt{y})=\frac{\sqrt{y}-(-\sqrt{y})}{2-(-2)}=\frac{\sqrt{y}}{2}\)。当\(y = 1\)时，\(F_Y(1)=\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}\)，A 选项正确。 -B 选项：计算错误，应为\(\frac{1}{2}\)，B 选项错误。 -C 选项：错误，应为\(\frac{1}{2}\)，C 选项错误。 -D 选项：错误，应为\(\frac{1}{2}\)，D 选项错误。
11
设\(X\)是连续型随机变量，\(Y = g(X)\)，若\(g(x)\)在某区间上不是单调函数，则求\(Y\)的概率密度（ ）。
A. 不能用定理\(f_Y(y)=\begin{cases}f_X[h(y)]|h'(y)|, & \alpha < y < \beta \\ 0, & 其他\end{cases}\)，需按一般方法先求分布函数再求导
B. 仍可用上述定理，只需分段讨论
C. 只能通过列举\(Y\)的取值和对应的概率来求
D. 不存在通用的方法 答案：A 选项解释： -A 选项：当\(g(x)\)不是单调函数时，定理\(f_Y(y)=\begin{cases}f_X[h(y)]|h'(y)|, & \alpha < y < \beta \\ 0, & 其他\end{cases}\)失效，需按一般方法先求\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)=P(g(X)\leq y)\)，然后对\(F_Y(y)\)关于\(y\)求导得到\(Y\)的概率密度，A 选项正确。 -B 选项：不能用该定理，B 选项错误。 -C 选项：对于连续型随机变量一般不是通过列举取值和概率来求，C 选项错误。 -D 选项：有通用的一般方法，D 选项错误。
12
设随机变量\(X\)服从正态分布\(N(\mu, \sigma^2)\)，则\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\)的概率密度为（ ）。
A.\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\)
B.\(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)
C.\(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)
D.\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(z-\mu)^2}{2}}\) 答案：A 选项解释： -A 选项：已知\(X\sim N(\mu, \sigma^2)\)，则\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0, 1)\)，其概率密度为\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\)，A 选项正确。 -B 选项：这是\(X\)的概率密度形式，不是\(Z\)的，B 选项错误。 -C 选项：错误，应为\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\)，C 选项错误。 -D 选项：指数部分错误，应为\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\)，D 选项错误。
13
设随机变量\(X\)的概率密度为\(f_X(x)=\begin{cases}e^{-x}, & x > 0 \\ 0, & x\leq0\end{cases}\)，则\(Y = \min\lbrace X, 1\rbrace\)的分布函数\(F_Y(y)\)在\(y = 0.5\)处的值为（ ）。
A.\(1- e^{-0.5}\)
B.\(e^{-0.5}\)
C.\(0.5\)
D.\(0\) 答案：A 选项解释： -A 选项：当\(y\leq0\)时，\(F_Y(y)=0\)；当\(0 < y < 1\)时，\(F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(\min\lbrace X, 1\rbrace\leq y)=P(X\leq y)=1- e^{-y}\)。当\(y = 0.5\)时，\(F_Y(0.5)=1- e^{-0.5}\)，A 选项正确。 -B 选项：计算错误，应为\(1- e^{-0.5}\)，B 选项错误。 -C 选项：错误，应为\(1- e^{-0.5}\)，C 选项错误。 -D 选项：错误，应为\(1- e^{-0.5}\)，D 选项错误。
14
设随机变量\(X\)服从二项分布\(B(n, p)\)，\(Y = X + 1\)，则\(Y\)的分布律为（ ）。
A.\(P(Y = k)=C_{n}^{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}, k = 1, 2,\cdots , n + 1\)
B.\(P(Y = k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}, k = 0, 1,\cdots , n\)
C.\(P(Y = k)=C_{n}^{k-1}p^{k}(1-p)^{n-k+1}, k = 1, 2,\cdots , n + 1\)
D.\(P(Y = k)=C_{n}^{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}, k =-1, 0,\cdots , n-1\) 答案：A 选项解释： -A 选项：因为\(X\sim B(n, p)\)，\(Y = X + 1\)，所以\(P(Y = k)=P(X = k-1)=C_{n}^{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}, k = 1, 2,\cdots , n + 1\)，A 选项正确。 -B 选项：这是\(X\)的分布律，不是\(Y\)的，B 选项错误。 -C 选项：组合数与概率的指数对应错误，C 选项错误。 -D 选项：错误，应为\(P(Y = k)=C_{n}^{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}, k = 1, 2,\cdots , n + 1\)，D 选项错误。
15
设随机变量\(X\)的概率密度为\(f_X(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}, & 0 < x < \pi \\ 0, & 其他\end{cases}\)，则\(Y=\sin X\)的概率密度\(f_Y(y)\)在\(y=\frac{1}{2}\)处的值为（ ）。
A.\(\frac{1}{\pi}\)
B.\(\frac{2}{\pi}\)
C.\(\frac{1}{2\pi}\)
D.\(\frac{3}{\pi}\) 答案：A 选项解释： -A 选项：先求\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)，当\(y\leq0\)时，\(F_Y(y)=0\)；当\(0 < y < 1\)时，\(F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(\sin X\leq y)\)，由\(X\)的取值范围\(0 < x < \pi\)，可得\(F_Y(y)=\frac{2}{\pi}\arcsin y\)。对\(F_Y(y)\)求导得\(f_Y(y)=\frac{2}{\pi\sqrt{1-y^2}}\)，当\(y=\frac{1}{2}\)时，\(f_Y(\frac{1}{2})=\frac{1}{\pi}\)，A 选项正确。 -B 选项：计算错误，应为\(\frac{1}{\pi}\)，B 选项错误。 -C 选项：错误，应为\(\frac{1}{\pi}\)，C 选项错误。 -D 选项：错误，应为\(\frac{1}{\pi}\)，D 选项错误。
16
设随机变量\(X\)服从泊松分布\(P(\lambda)\)，\(Y = 2X\)，则\(Y\)的分布律为（ ）。
A.\(P(Y = k)=\frac{\lambda^{\frac{k}{2}}e^{-\lambda}}{\left(\frac{k}{2}\right)!}, k = 0, 2, 4,\cdots \)
B.\(P(Y = k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}, k = 0, 1, 2,\cdots \)
C.\(P(Y = k)=\frac{\lambda^{\frac{k}{2}}e^{-\lambda}}{k!}, k = 0, 2, 4,\cdots \)
D.\(P(Y = k)=\frac{(2\lambda)^{k}e^{-2\lambda}}{k!}, k = 0, 1, 2,\cdots \) 答案：D 选项解释： -A 选项：计算错误，应为\(P(Y = k)=\frac{(2\lambda)^{k}e^{-2\lambda}}{k!}, k = 0, 1, 2,\cdots \)，A 选项错误。 -B 选项：这是\(X\)的分布律，不是\(Y\)的，B 选项错误。 -C 选项：错误，应为\(P(Y = k)=\frac{(2\lambda)^{k}e^{-2\lambda}}{k!}, k = 0, 1, 2,\cdots \)，C 选项错误。 -D 选项：因为\(X\sim P(\lambda)\)，\(Y = 2X\)，则\(Y\sim P(2\lambda)\)，其分布律为\(P(Y = k)=\frac{(2\lambda)^{k}e^{-2\lambda}}{k!}, k = 0, 1, 2,\cdots \)，D 选项正确。
17
设随机变量\(X\)在区间\((0, 1)\)上服从均匀分布，\(Y =-\ln X\)，则\(Y\)的概率密度为（ ）。
A.\(\begin{cases}e^{-y}, & y > 0 \\ 0, & y\leq0\end{cases}\)
B.\(\begin{cases}-e^{-y}, & y > 0 \\ 0, & y\leq0\end{cases}\)
C.\(\begin{cases}ye^{-y}, & y > 0 \\ 0, & y\leq0\end{cases}\)
D.\(\begin{cases}\frac{1}{y}e^{-y}, & y > 0 \\ 0, & y\leq0\end{cases}\) 答案：A 选项解释： -A 选项：先求\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)，当\(y\leq0\)时，\(F_Y(y)=0\)；当\(y > 0\)时，\(F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(-\ln X\leq y)=P(X\geq e^{-y})=1- e^{-y}\)。对\(F_Y(y)\)求导得\(f_Y(y)=e^{-y}\)，所以\(f_Y(y)=\begin{cases}e^{-y}, & y > 0 \\ 0, & y\leq0\end{cases}\)，A 选项正确。 -B 选项：求导错误，应为\(e^{-y}\)，B 选项错误。 -C 选项：错误，应为\(e^{-y}\)，C 选项错误。 -D 选项：错误，应为\(e^{-y}\)，D 选项错误。
18
设随机变量\(X\)的分布函数为\(F_X(x)\)，\(Y = g(X)\)，若\(g(x)\)是严格单调递减函数，则\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)与\(F_X(x)\)的关系为（ ）。
A.\(F_Y(y)=1- F_X[g^{-1}(y)]\)
B.\(F_Y(y)=F_X[g^{-1}(y)]\)
C.\(F_Y(y)=1- F_X[-g^{-1}(y)]\)
D.\(F_Y(y)=F_X[-g^{-1}(y)]\) 答案：A 选项解释： -A 选项：当\(g(x)\)是严格单调递减函数时，\(F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(g(X)\leq y)=P(X\geq g^{-1}(y))=1- F_X[g^{-1}(y)]\)，A 选项正确。 -B 选项：关系错误，应为\(1- F_X[g^{-1}(y)]\)，B 选项错误。 -C 选项：错误，应为\(1- F_X[g^{-1}(y)]\)，C 选项错误。 -D 选项：错误，应为\(1- F_X[g^{-1}(y)]\)，D 选项错误。
随机变量的函数的分布
重要术语及主题
随机变量
分布函数
离散型随机变量及其分布律
连续型随机变量及其概率密度
伯努利试验
(0-1)分布
n 重伯努利试验
二项分布
泊松分布
指数分布
均匀分布
正态分布
随机变量函数的分布
随机变量的函数的分布详解
在概率论与统计中，我们不仅关注随机变量本身，还关注其函数的分布。例如，在实验中，无法直接测量的物理量往往是另一随机变量的函数。假设测量圆的直径\(d\)，所关心的截面面积为\(A = \frac{1}{4} \pi d^2\)，这里\(A\)是随机变量\(d\)的函数。因此，若已知随机变量\(X\)的概率分布，我们可以求其函数\(Y = g(X)\)的分布。
离散型随机变量的函数分布
若\(X\)是离散型随机变量，其分布律已知，我们可以根据\(Y = g(X)\)取值的可能性，通过已知\(X\)的概率计算\(Y\)的分布。此时\(Y\)的分布律为\(P(Y = y_k)\)，计算时需要累加所有满足\(g(X) = y_k\)的事件概率。
连续型随机变量的函数分布
对于连续型随机变量\(X\)，其概率密度函数已知，若\(Y = g(X)\)且\(g(\cdot)\)为单调连续函数，则可以通过以下步骤求\(Y\)的分布函数和概率密度函数：
先求\(F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y)\)。
通过积分或逆函数方法，将\(Y \leq y\)转换成关于\(X\)的不等式，再求出相应的\(F_Y(y)\)。
对\(F_Y(y)\)求导得到\(Y\)的概率密度\(f_Y(y)\)。
一般方法与定理
对于\(Y = g(X)\)，若\(g(x)\)是严格单调且可导函数，\(Y\)的概率密度可通过公式
其中\(h(y)\)为\(g(x)\)的反函数。这一方法适用于任何严格单调的可导函数。
选择题
如果随机变量\(X\)服从均匀分布\(U(0, 1)\)，那么\(Y = X^2\)的分布是什么？
A. 均匀分布
B. 指数分布
C. 正态分布
D. 不是均匀分布
答案：D
解释： \(Y = X^2\)的分布不是均匀的，因为平方操作改变了概率密度的分布。
若\(X\)是离散型随机变量，\(Y = g(X)\)也是离散型随机变量吗？
A. 总是
B. 从不
C. 有时
D. 无法确定
答案：A
解释： 离散型随机变量的函数仍然是离散型的，因为可能的输出值是有限或可数无限的。
如果\(X\)是连续型随机变量，\(Y = g(X)\)一定是连续型随机变量吗？
A. 是
B. 否
C. 有时
D. 无法确定
答案：B
解释： 连续型随机变量的函数不一定是连续型的，例如，当函数\(g(x)\)导致输出值成为离散集合时。
对于连续型随机变量\(X\)和函数\(Y = g(X)\)，如果\(g(x)\)是严格单调增加的，那么\(Y\)的概率密度函数\(f_Y(y)\)可以通过什么公式计算？
A.\(f_X[h(y)]\)
B.\(f_X[h(y)] |h'(y)|\)
C.\(f_X(y) |g'(y)|\)
D.\(f_X[g(y)] |g'(y)|\)
答案：B
解释： 如果\(g(x)\)是严格单调增加的，那么\(Y = g(X)\)的概率密度函数可以通过公式\(f_Y(y) = f_X[h(y)] |h'(y)|\)计算，其中\(h(y)\)是\(g(x)\)的反函数。
如果随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f_X(x)\)，那么\(Y = 2X\)的概率密度函数\(f_Y(y)\)是什么？
A.\(f_X(\frac{y}{2})\)
B.\(\frac{1}{2}f_X(\frac{y}{2})\)
C.\(2f_X(2y)\)
D.\(f_X(2y)\)
答案：B
解释： 根据变换公式，\(f_Y(y) = f_X[h(y)] |h'(y)|\)，其中\(h(y) = \frac{y}{2}\)，所以\(f_Y(y) = \frac{1}{2}f_X(\frac{y}{2})\)。
对于随机变量\(X\)和\(Y = g(X)\)，如果\(g(x)\)在某区间内不是单调函数，我们如何求\(Y\)的分布？
A. 使用定理直接计算
B. 通过解出\(X\)的等价不等式
C. 无法求解
D. 假设\(g(x)\)是单调的
答案：B
解释： 当\(g(x)\)不是单调函数时，我们不能直接应用定理，而需要通过解出\(X\)的等价不等式来求解\(Y\)的分布。
如果\(X\)服从正态分布\(N(\mu, \sigma^2)\)，那么\(Y = aX + b\)（\(a \neq 0\)）的分布是什么？
A. 均匀分布
B. 正态分布
C. 泊松分布
D. 指数分布
答案：B
解释： 线性变换后的正态分布仍然是正态分布，其均值和方差按照线性变换的规则变化。
对于随机变量\(X\)和\(Y = g(X)\)，如果\(g(x)\)是严格单调减少的，那么\(Y\)的概率密度函数\(f_Y(y)\)如何计算？
A.\(f_X[h(y)]\)
B.\(f_X[h(y)] |h'(y)|\)
C.\(-f_X[h(y)] |h'(y)|\)
D.\(f_X[g(y)] |g'(y)|\)
答案：C
解释： 如果\(g(x)\)是严格单调减少的，那么\(Y = g(X)\)的概率密度函数可以通过公式\(f_Y(y) =-f_X[h(y)] |h'(y)|\)计算。
如果随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f_X(x)\)，那么\(Y = X^2\)的概率密度函数\(f_Y(y)\)在\(y > 0\)时是什么？
A.\(\frac{1}{2\sqrt{y}}[f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})]\)
B.\(2\sqrt{y}[f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})]\)
C.\(\frac{1}{\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y})\)
D.\(\sqrt{y}f_X(\sqrt{y})\)
答案：A
解释： 根据\(Y = X^2\)的概率密度函数的推导，我们得到\(f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}[f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})]\)。
如果随机变量\(X\)服从标准正态分布\(N(0, 1)\)，那么\(Y = X^2\)服从什么分布？
A. 均匀分布
B. 指数分布
C.\(\chi^2\)分布
D. 正态分布
答案：C
解释： 标准正态分布的随机变量的平方服从自由度为1的\(\chi^2\)分布。
对于随机变量\(X\)和\(Y = g(X)\)，如果\(g(x)\)在某区间内是常数函数，那么\(Y\)的分布是什么？
A. 均匀分布
B. 离散分布
C. 连续分布
D. 无法确定
答案：B
解释： 如果\(g(x)\)在某区间内是常数函数，那么\(Y\)将取一个或几个特定的值，因此\(Y\)的分布是离散的。
如果随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f_X(x)\)，那么\(Y = e^X\)的概率密度函数\(f_Y(y)\)是什么？
A.\(f_X(\ln y)\)
B.\(\frac{1}{y}f_X(\ln y)\)
C.\(e^{f_X(x)}\)
D.\(f_X(e^y)\)
答案：B
解释： 根据变换公式，\(f_Y(y) = f_X[h(y)] |h'(y)|\)，其中\(h(y) = \ln y\)，所以\(f_Y(y) = \frac{1}{y}f_X(\ln y)\)。
如果随机变量\(X\)服从均匀分布\(U(a, b)\)，那么\(Y = g(X)\)的分布函数\(F_Y(y)\)如何计算？
A.\(F_X(g^{-1}(y))\)
B.\(g(F_X(x))\)
C.\(F_X(y)\)
D.\(g^{-1}(F_X(x))\)
答案：A
解释： \(Y\)的分布函数可以通过将\(X\)的分布函数应用于\(g(x)\)的反函数来计算。
对于随机变量\(X\)和\(Y = g(X)\)，如果\(g(x)\)是严格单调函数，那么\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)可以通过什么公式计算？
A.\(F_X(y)\)
B.\(F_X(g(y))\)
C.\(F_X(h(y))\)
D.\(g(F_X(y))\)
答案：C
解释： 如果\(g(x)\)是严格单调函数，那么\(Y\)的分布函数可以通过公式\(F_Y(y) = F_X(h(y))\)计算，其中\(h(y)\)是\(g(x)\)的反函数。
如果随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f_X(x)\)，那么\(Y = \frac{1}{X}\)的概率密度函数\(f_Y(y)\)是什么？
A.\(f_X(\frac{1}{y})\)
B.\(\frac{1}{y^2}f_X(\frac{1}{y})\)
C.\(yf_X(y)\)
D.\(\frac{1}{y}f_X(\frac{1}{y})\)
答案：B
解释： 根据变换公式，\(f_Y(y) = f_X[h(y)] |h'(y)|\)，其中\(h(y) = \frac{1}{y}\)，所以\(f_Y(y) = \frac{1}{y^2}f_X(\frac{1}{y})\)。
对于随机变量\(X\)和\(Y = g(X)\)，如果\(g(x)\)在某区间内是周期函数，那么\(Y\)的分布如何确定？
A. 无法确定
B. 通过分段计算
C. 通过整体计算
D. 与\(X\)相同
答案：A
解释： 周期函数可能没有全局反函数，因此不能直接应用变换公式，需要具体分析。
如果随机变量\(X\)服从正态分布\(N(\mu, \sigma^2)\)，那么\(Y = e^X\)的分布是什么？
A. 正态分布
B. 对数正态分布
C. 指数分布
D. 均匀分布
答案：B
解释： 对于正态分布的随机变量\(X\)，\(Y = e^X\)服从对数正态分布。
对于随机变量\(X\)和\(Y = g(X)\)，如果\(g(x)\)是严格单调函数，那么\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)可以通过什么公式计算？
A.\(F_X(y)\)
B.\(F_X(g(y))\)
C.\(F_X(h(y))\)
D.\(g(F_X(y))\)
答案：C
解释： 如果\(g(x)\)是严格单调函数，那么\(Y\)的分布函数可以通过公式\(F_Y(y) = F_X(h(y))\)计算，其中\(h(y)\)是\(g(x)\)的反函数。
如果随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f_X(x)\)，那么\(Y = |X|\)的概率密度函数\(f_Y(y)\)在\(y < 0\)时是什么？
A.\(0\)
B.\(f_X(y)\)
C.\(2f_X(y)\)
D.\(f_X(-y)\)
答案：A
解释： 由于\(Y = |X|\)总是非负的，所以对于\(y < 0\)，\(f_Y(y) = 0\)。
对于随机变量\(X\)和\(Y = g(X)\)，如果\(g(x)\)是周期函数，那么\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)如何计算？
A. 通过\(F_X(g^{-1}(y))\)
B. 通过\(g(F_X(x))\)
C. 通过积分\(g(x)\)的概率密度
D. 无法直接计算
答案：D
解释： 周期函数可能没有全局反函数，因此不能直接应用变换公式。
如果随机变量\(X\)服从均匀分布\(U(a, b)\)，那么\(Y = \frac{1}{X}\)的分布是什么？
A. 均匀分布
B. 指数分布
C. 反均匀分布
D. 无法确定
答案：D
解释： \(Y = \frac{1}{X}\)的分布取决于\(a\)和\(b\)的值，不能简单地归类为某种特定分布。
对于随机变量\(X\)和\(Y = g(X)\)，如果\(g(x) = x^2\)，那么\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)如何计算？
A.\(F_X(\sqrt{y})\)
B.\(F_X(-\sqrt{y})\)
C.\(F_X(\sqrt{y})- F_X(-\sqrt{y})\)
D.\(F_X(\sqrt{y}) + F_X(-\sqrt{y})\)
答案：C
解释： 由于\(Y = X^2\)，需要考虑\(X\)在\(-\sqrt{y}\)和\(\sqrt{y}\)之间的概率。
如果随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f_X(x)\)，那么\(Y = \ln(X)\)的概率密度函数\(f_Y(y)\)在\(y \in \mathbb{R}\)时是什么？
A.\(e^yf_X(e^y)\)
B.\(e^{-y}f_X(e^y)\)
C.\(f_X(e^y)\)
D.\(e^yf_X(y)\)
答案：A
解释： 根据变换公式，\(f_Y(y) = f_X[h(y)] |h'(y)|\)，其中\(h(y) = e^y\)，所以\(f_Y(y) = e^yf_X(e^y)\)。
对于随机变量\(X\)和\(Y = g(X)\)，如果\(g(x)\)是严格单调减少的，那么\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)如何计算？
A.\(F_X(g^{-1}(y))\)
B.\(1- F_X(g^{-1}(y))\)
C.\(F_X(h(y))\)
D.\(1- F_X(h(y))\)
答案：D
解释： 如果\(g(x)\)是严格单调减少的，那么\(Y\)的分布函数可以通过公式\(F_Y(y) = 1- F_X(h(y))\)计算，其中\(h(y)\)是\(g(x)\)的反函数。
如果随机变量\(X\)服从指数分布，那么\(Y = \frac{1}{X}\)的分布是什么？
A. 指数分布
B. 倒指数分布
C. 均匀分布
D. 无法确定
答案：D
解释： \(Y = \frac{1}{X}\)的分布取决于\(X\)的参数，不能简单地归类为某种特定分布。
对于随机变量\(X\)和\(Y = g(X)\)，如果\(g(x)\)是常数函数，那么\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)是什么？
A. 0
B. 1
C.\(F_X(y)\)
D. 无法确定
答案：B
解释： 如果\(g(x)\)是常数函数，那么\(Y\)将取一个特定的值，因此\(Y\)的分布函数在该值处为1。
如果随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f_X(x)\)，那么\(Y = X^3\)的概率密度函数\(f_Y(y)\)在\(y \in \mathbb{R}\)时是什么？
A.\(\frac{1}{3}y^{-2/3}f_X(y^{1/3})\)
B.\(3y^{2}f_X(y^{1/3})\)
C.\(\frac{1}{3}y^{2/3}f_X(y^{1/3})\)
D.\(3y^{-2}f_X(y^{1/3})\)
答案：A
解释： 根据变换公式，\(f_Y(y) = f_X[h(y)] |h'(y)|\)，其中\(h(y) = y^{1/3}\)，所以\(f_Y(y) = \frac{1}{3}y^{-2/3}f_X(y^{1/3})\)。
对于随机变量\(X\)和\(Y = g(X)\)，如果\(g(x)\)是严格单调增加的，那么\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)在\(y\)的哪个区间内是增函数？
A.\((\alpha, \beta)\)
B.\((-\infty, \alpha)\)
C.\((\beta, \infty)\)
D. 无法确定
答案：A
解释： 如果\(g(x)\)是严格单调增加的，那么\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)在\(y\)的区间\((\alpha, \beta)\)内是增函数，其中\(\alpha\)和\(\beta\)分别是\(g(x)\)在\(-\infty\)和\(\infty\)的最小值和最大值。
如果随机变量\(X\)服从均匀分布\(U(0, 1)\)，那么\(Y = X^2\)的分布函数\(F_Y(y)\)在\(0 \leq y \leq 1\)时是什么？
A.\(\sqrt{y}\)
B.\(y^2\)
C.\(1- \sqrt{y}\)
D.\(1- y^2\)
答案：A
解释： 由于\(Y = X^2\)，\(F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(X \leq \sqrt{y}) = \sqrt{y}\)。
对于随机变量\(X\)和\(Y = g(X)\)，如果\(g(x)\)是周期函数，那么\(Y\)的分布如何确定？
A. 无法确定
B. 通过分段计算
C. 通过整体计算
D. 与\(X\)相同
答案：A
解释： 周期函数可能没有全局反函数，因此不能直接应用变换公式，需要具体分析。
如果随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f_X(x)\)，那么\(Y = \max(X, a)\)的概率密度函数\(f_Y(y)\)在\(y < a\)时是什么？
A.\(0\)
B.\(f_X(y)\)
C.\(f_X(a)\)
D.\(f_X(y) + f_X(a)\)
答案：A
解释： 当\(y < a\)时，\(Y = \max(X, a)\)的概率密度函数为0，因为\(Y\)的最小值是\(a\)。
对于随机变量\(X\)和\(Y = g(X)\)，如果\(g(x)\)是严格单调函数，那么\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)可以通过什么公式计算？
A.\(F_X(y)\)
B.\(F_X(g(y))\)
C.\(F_X(h(y))\)
D.\(g(F_X(y))\)
答案：C
解释： 如果\(g(x)\)是严格单调函数，那么\(Y\)的分布函数可以通过公式\(F_Y(y) = F_X(h(y))\)计算，其中\(h(y)\)是\(g(x)\)的反函数。
如果随机变量\(X\)服从指数分布，那么\(Y = \ln(X)\)的分布是什么？
A. 指数分布
B. 均匀分布
C. 正态分布
D. 无法确定
答案：D
解释： 对数变换会改变原始分布的形状，因此\(Y = \ln(X)\)不会服从指数分布。
对于随机变量\(X\)和\(Y = g(X)\)，如果\(g(x)\)是严格单调减少的，那么\(Y\)的分布函数\(F_Y(y)\)如何计算？
A.\(F_X(g^{-1}(y))\)
B.\(1- F_X(g^{-1}(y))\)
C.\(F_X(h(y))\)
D.\(1- F_X(h(y))\)
答案：D
解释： 如果\(g(x)\)是严格单调减少的，那么\(Y\)的分布函数可以通过公式\(F_Y(y) = 1- F_X(h(y))\)计算，其中\(h(y)\)是\(g(x)\)的反函数。
随机变量的函数的分布
重要术语及主题
随机变量
分布函数
离散型随机变量及其分布律
连续型随机变量及其概率密度
伯努利试验
(0-1)分布
n 重伯努利试验
二项分布
泊松分布
指数分布
均匀分布
正态分布
随机变量函数的分布
随机变量的函数的分布详解
在实际应用中，我们经常对某些随机变量的函数更感兴趣。例如，在一些试验中，所关心的随机变量往往不能由直接测量得到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数。比如我们能测量圆轴截面的直径 \( d \)，而关心的却是截面面积 \( A = \frac{1}{4} \pi d^2 \)。这里，随机变量 \( A \) 是随机变量 \( d \) 的函数。在这一节中，我们将讨论如何由已知的随机变量 \( X \) 的概率分布去求得它的函数 \( Y = g(X) \)（其中 \( g(\cdot) \) 是已知的连续函数）的概率分布。
例1
设随机变量 \( X \) 具有以下的分布律，试求 \( Y = (X-1)^2 \) 的分布律。
解 \( Y \) 所有可能取的值为 \( 0, 1, 4 \)。由
即得 \( Y \) 的分布律为
例2
设随机变量 \( X \) 具有概率密度
求随机变量 \( Y = 2X + 8 \) 的概率密度。
解 分别记 \( X, Y \) 的分布函数为 \( F_X(x), F_Y(y) \)。下面先来求 \( F_Y(y) \)。
将 \( F_Y(y) \) 关于 \( y \) 求导数，得 \( Y = 2X + 8 \) 的概率密度为
例3
设随机变量 \( X \) 具有概率密度 \( f_X(x),-\infty < x < \infty \)，求 \( Y = X^2 \) 的概率密度。
解 分别记 \( X, Y \) 的分布函数为 \( F_X(x), F_Y(y) \)。先来求 \( Y \) 的分布函数 \( F_Y(y) \)。由于 \( Y = X^2 \geq 0 \)，故当 \( y \leq 0 \) 时 \( F_Y(y) = 0 \)。当 \( y > 0 \) 时有
将 \( F_Y(y) \) 关于 \( y \) 求导数，即得 \( Y \) 的概率密度为
例如，设 \( X \sim N(0, 1) \)，其概率密度为
由上式得 \( Y = X^2 \) 的概率密度为
此时称 \( Y \) 服从自由度为 1 的 \( \chi^2 \) 分布。
定理
设随机变量 \( X \) 具有概率密度 \( f_X(x) \)，\( -\infty < x < \infty \)，又设函数 \( g(x) \) 处处可导且恒有 \( g'(x) > 0 \)（或恒有 \( g'(x) < 0 \)），则 \( Y = g(X) \) 是连续型随机变量，其概率密度为
其中 \( \alpha = \min\lbrace g(-\infty), g(\infty)\rbrace \)，\( \beta = \max\lbrace g(-\infty), g(\infty)\rbrace \)，\( h(y) \) 是 \( g(x) \) 的反函数。
例4
设随机变量 \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \)。试证明 \( X \) 的线性函数 \( Y = aX + b \)（\( a \neq 0 \)）也服从正态分布。
证 \( X \) 的概率密度为
现在 \( y = g(x) = ax + b \)，由这一式子解得
由定理得 \( Y = aX + b \) 的概率密度为
即
即有
特别，在上例中取 \( a = \frac{1}{\sigma}, b =-\frac{\mu}{\sigma} \) 得
这就是上一节引理的结果。
例5
设电压 \( V = A \sin \Theta \)，其中 \( A \) 是一个已知的正常数，相角 \( \Theta \) 是一个随机变量，且有 \( \Theta \sim U\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \)，试求电压 \( V \) 的概率密度。
解 现在 \( v = g(\theta) = A \sin \theta \) 在 \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) 上恒有 \( g'(\theta) = A \cos \theta > 0 \)，且有反函数
又，\( \Theta \) 的概率密度为
由定理得 \( V = A \sin \theta \) 的概率密度为
随机变量的函数的分布
重要术语及主题
随机变量
分布函数
离散型随机变量及其分布律
连续型随机变量及其概率密度
伯努利试验
(0-1)分布
n 重伯努利试验
二项分布
泊松分布
指数分布
均匀分布
正态分布
随机变量函数的分布
随机变量的函数的分布详解
在实际应用中，我们经常对某些随机变量的函数更感兴趣。例如，在一些试验中，所关心的随机变量往往不能由直接测量得到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数。比如我们能测量圆轴截面的直径 \( d \)，而关心的却是截面面积 \( A = \frac{1}{4} \pi d^2 \)。这里，随机变量 \( A \) 是随机变量 \( d \) 的函数。在这一节中，我们将讨论如何由已知的随机变量 \( X \) 的概率分布去求得它的函数 \( Y = g(X) \)（其中 \( g(\cdot) \) 是已知的连续函数）的概率分布。
例1
设随机变量 \( X \) 具有以下的分布律，试求 \( Y = (X-1)^2 \) 的分布律。
解 \( Y \) 所有可能取的值为 \( 0, 1, 4 \)。由
即得 \( Y \) 的分布律为
例2
设随机变量 \( X \) 具有概率密度
求随机变量 \( Y = 2X + 8 \) 的概率密度。
解 分别记 \( X, Y \) 的分布函数为 \( F_X(x), F_Y(y) \)。下面先来求 \( F_Y(y) \)。
将 \( F_Y(y) \) 关于 \( y \) 求导数，得 \( Y = 2X + 8 \) 的概率密度为
例3
设随机变量 \( X \) 具有概率密度 \( f_X(x),-\infty < x < \infty \)，求 \( Y = X^2 \) 的概率密度。
解 分别记 \( X, Y \) 的分布函数为 \( F_X(x), F_Y(y) \)。先来求 \( Y \) 的分布函数 \( F_Y(y) \)。由于 \( Y = X^2 \geq 0 \)，故当 \( y \leq 0 \) 时 \( F_Y(y) = 0 \)。当 \( y > 0 \) 时有
将 \( F_Y(y) \) 关于 \( y \) 求导数，即得 \( Y \) 的概率密度为
例如，设 \( X \sim N(0, 1) \)，其概率密度为
由上式得 \( Y = X^2 \) 的概率密度为
此时称 \( Y \) 服从自由度为 1 的 \( \chi^2 \) 分布。
定理
设随机变量 \( X \) 具有概率密度 \( f_X(x) \)，\( -\infty < x < \infty \)，又设函数 \( g(x) \) 处处可导且恒有 \( g'(x) > 0 \)（或恒有 \( g'(x) < 0 \)），则 \( Y = g(X) \) 是连续型随机变量，其概率密度为
其中 \( \alpha = \min\lbrace g(-\infty), g(\infty)\rbrace \)，\( \beta = \max\lbrace g(-\infty), g(\infty)\rbrace \)，\( h(y) \) 是 \( g(x) \) 的反函数。
例4
设随机变量 \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \)。试证明 \( X \) 的线性函数 \( Y = aX + b \)（\( a \neq 0 \)）也服从正态分布。
证 \( X \) 的概率密度为
现在 \( y = g(x) = ax + b \)，由这一式子解得
由定理得 \( Y = aX + b \) 的概率密度为
即
即有
特别，在上例中取 \( a = \frac{1}{\sigma}, b =-\frac{\mu}{\sigma} \) 得
这就是上一节引理的结果。
例5
设电压 \( V = A \sin \Theta \)，其中 \( A \) 是一个已知的正常数，相角 \( \Theta \) 是一个随机变量，且有 \( \Theta \sim U\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \)，试求电压 \( V \) 的概率密度。
解 现在 \( v = g(\theta) = A \sin \theta \) 在 \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) 上恒有 \( g'(\theta) = A \cos \theta > 0 \)，且有反函数
又，\( \Theta \) 的概率密度为
由定理得 \( V = A \sin \theta \) 的概率密度为
选择题
设随机变量 \( X \) 具有以下的分布律，试求 \( Y = (X-1)^2 \) 的分布律。
A. \( P(Y = 0) = 0.1, P(Y = 1) = 0.7, P(Y = 4) = 0.2 \)
B. \( P(Y = 0) = 0.2, P(Y = 1) = 0.3, P(Y = 4) = 0.5 \)
C. \( P(Y = 0) = 0.3, P(Y = 1) = 0.4, P(Y = 4) = 0.3 \)
D. \( P(Y = 0) = 0.4, P(Y = 1) = 0.2, P(Y = 4) = 0.4 \)
答案：A
解释：根据例1的计算，\( P(Y = 0) = 0.1, P(Y = 1) = 0.7, P(Y = 4) = 0.2 \)。
设随机变量 \( X \) 具有概率密度 \( f_X(x) = \frac{x}{8}, 0 < x < 4 \)，求随机变量 \( Y = 2X + 8 \) 的概率密度。
A. \( f_Y(y) = \frac{y-8}{32}, 8 < y < 16 \)
B. \( f_Y(y) = \frac{y-8}{16}, 8 < y < 16 \)
C. \( f_Y(y) = \frac{y-8}{64}, 8 < y < 16 \)
D. \( f_Y(y) = \frac{y-8}{8}, 8 < y < 16 \)
答案：A
解释：根据例2的计算，\( f_Y(y) = \frac{y-8}{32}, 8 < y < 16 \)。
设随机变量 \( X \) 具有概率密度 \( f_X(x),-\infty < x < \infty \)，求 \( Y = X^2 \) 的概率密度。
A. \( f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}[f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})], y > 0 \)
B. \( f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{y}}[f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})], y > 0 \)
C. \( f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}[f_X(\sqrt{y})- f_X(-\sqrt{y})], y > 0 \)
D. \( f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{y}}[f_X(\sqrt{y})- f_X(-\sqrt{y})], y > 0 \)
答案：A
解释：根据例3的计算，\( f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}[f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})], y > 0 \)。
设随机变量 \( X \sim N(0, 1) \)，求 \( Y = X^2 \) 的概率密度。
A. \( f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{-1/2} e^{-y/2}, y > 0 \)
B. \( f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{-1/2} e^{-y}, y > 0 \)
C. \( f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{-1/2} e^{-y/4}, y > 0 \)
D. \( f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{-1/2} e^{-y/3}, y > 0 \)
答案：A
解释：根据例3的计算，\( f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{-1/2} e^{-y/2}, y > 0 \)。
设随机变量 \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \)，求 \( Y = aX + b \) 的概率密度。
A. \( f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X \left( \frac{y- b}{a} \right),-\infty < y < \infty \)
B. \( f_Y(y) = \frac{1}{a} f_X \left( \frac{y- b}{a} \right),-\infty < y < \infty \)
C. \( f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X \left( \frac{y- b}{a} \right),-\infty < y < \infty \)
D. \( f_Y(y) = \frac{1}{a} f_X \left( \frac{y- b}{a} \right),-\infty < y < \infty \)
答案：A
解释：根据例4的计算，\( f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X \left( \frac{y- b}{a} \right),-\infty < y < \infty \)。
设电压 \( V = A \sin \Theta \)，其中 \( A \) 是一个已知的正常数，相角 \( \Theta \) 是一个随机变量，且有 \( \Theta \sim U\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \)，试求电压 \( V \) 的概率密度。
A. \( \psi(v) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{A^2- v^2}}, -A < v < A \)
B. \( \psi(v) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{A^2- v^2}}, -A < v < A \)
C. \( \psi(v) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{A^2- v^2}}, -A < v < A \)
D. \( \psi(v) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{A^2- v^2}}, -A < v < A \)
答案：A
解释：根据例5的计算，\( \psi(v) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{A^2- v^2}}, -A < v < A \)。