第四章 随机变量的数字特征
上一章介绍了随机变量的分布函数、概率密度和分布律，它们都能完整地描述随机变量，但在某些实际或理论问题中，人们感兴趣于某些能描述随机变量某一种特征的常数。例如，一篮球队上场比赛的运动员的身高是一个随机变量，人们常关心上场运动员的平均身高。一个城市一户家庭拥有汽车的辆数是一个随机变量，在考察城市的交通情况时，人们关心户均拥有汽车的辆数。评价棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大，偏离程度较小，质量就较好。这种由随机变量的分布所确定的，能刻画随机变量某一方面的特征的常数统称为数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。本章将介绍几个重要的数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩。
§1 数学期望
先看一个例子。一射手进行打靶练习，规定射入区域 \( e_2 \) (图4-1)得2分；射入区域 \( e_1 \) 得1分；脱靶，即射入区域 \( e_0 \)，得0分。射手一次射击所得分数 \( X \) 是一个随机变量。设 \( X \) 的分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2. \) 现在射击 \( N \) 次，其中得0分的有 \( a_0 \) 次，得1分的有 \( a_1 \) 次，得2分的有 \( a_2 \) 次，\( a_0+a_1+a_2=N \)。他射击 \( N \) 次得分的总和为 \( a_0\times0+a_1\times1+a_2\times2 \)。于是平均一次射击的得分数为 \( \frac{a_0\times0+a_1\times1+a_2\times2}{N}=\sum_{k=0}^{2}k\frac{a_k}{N}. \) 这里，\( a_k/N \) 是事件 \( (X=k) \) 的概率。在第五章将会讲到，当 \( N \) 很大时，\( a_k/N \) 在一定意义下接近于事件 \( (X=k) \) 的概率 \( p_k \)。就是说，在试验次数很大时，随机变量 \( X \) 的观察值的算术平均 \( \sum_{k=0}^{2}k\frac{a_k}{N} \) 在一定意义下接近于 \( \sum_{k=0}^{2}kp_k \)。我们称 \( \sum_{k=0}^{2}kp_k \) 为随机变量 \( X \) 的数学期望或均值。一般，有以下的定义。
定义 设离散型随机变量 \( X \) 的分布律为 \( P(X=x_k)=p_k, \quad k=1,2,\cdots. \)
若级数 \( \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k \) 绝对收敛，则称级数 \(\sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k\) 的和为随机变量 \(X\) 的数学期望，记为 \(E(X)\)。即 \( E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k. \tag{1.1} \) 设连续型随机变量 \(X\) 的概率密度为 \(f(x)\)，若积分 \( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \) 绝对收敛，则称积分 \(\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx\) 的值为随机变量 \(X\) 的数学期望，记为 \(E(X)\)。即 \( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx. \tag{1.2} \) 数学期望简称期望，又称为均值。 数学期望 \(E(X)\) 完全由随机变量 \(X\) 的概率分布所确定。若 \(X\) 服从某一分布，也称 \(E(X)\) 是这一分布的数学期望。
例1 某医院当新生儿诞生时，医生要根据婴儿的皮肤颜色、肌肉弹性、反应的敏感性、心脏的搏动等方面的情况进行评分，新生儿的得分 \(X\) 是一个随机变量。根据以往的资料表明 \(X\) 的分布律为
\( \begin{array}{c|ccccccccccc} X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline p_k & 0.002 & 0.001 & 0.002 & 0.005 & 0.02 & 0.04 & 0.18 & 0.37 & 0.25 & 0.12 & 0.01 \\ \end{array} \)
试求 \(X\) 的数学期望 \(E(X)\)。
解 \(E(X)=0 \times 0.002 + 1 \times 0.001 + 2 \times 0.002 + 3 \times 0.005 + 4 \times 0.02 + 5 \times 0.04 + 6 \times 0.18 + 7 \times 0.37 + 8 \times 0.25 + 9 \times 0.12 + 10 \times 0.01 = 7.15 (\text{分})\)。
这意味着，若考察医院出生的很多新生儿，例如 1000 个，则一个新生儿的平均得分约为 7.15 分，1000 个新生儿共得分为 150 分。
例2 有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命（以 h 计）\(X_k (k=1,2)\) 服从同一指数分布，其概率密度为 \( f(x)=\left\lbrace \begin{array}{ll} \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, & x>0,\\ 0, & x\leq 0. \end{array}\right. \) 若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命（以 h 计）\(N\) 的数学期望。
解 \( X_k (k=1,2) \) 的分布函数为 \( F(x)=\begin{cases} 1-e^{-x/\theta}, & x>0,\\ 0, & x\leq0. \end{cases} \) 由第三章 §5 的(5.12)式，\( N=\min \lbrace X_1,X_2\rbrace \) 的分布函数为 \( F_{\min}(x)=1-[1-F(x)]^2=\begin{cases} 1-e^{-2x/\theta}, & x>0,\\ 0, & x\leq0, \end{cases} \) 因而 \( N \) 的概率密度为 \( f_{\min}(x)=\begin{cases} \frac{2}{\theta}e^{-2x/\theta}, & x>0,\\ 0, & x\leq0. \end{cases} \) 于是 \( N \) 的数学期望为 \( E(N)=\int_{-\infty}^{\infty}x f_{\min}(x)dx=\int_{0}^{\infty}\frac{2x}{\theta}e^{-2x/\theta}dx=\frac{\theta}{2}. \quad \square \)
例3 按规定，某车站每天8:00～9:00, 9:00～10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为
\( \begin{array}{ccc} & 8:10 & 8:30 & 8:50 \\ \text{到站时刻} & 9:10 & 9:30 & 9:50 \\ \text{概率} & \frac{1}{6} & \frac{3}{6} & \frac{2}{6} \\ \end{array} \)
一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。
解 设旅客的候车时间为 \( X \)（以 \(\min\) 计）。\( X \) 的分布律为
\( \begin{array}{cccccc} X & 10 & 30 & 50 & 70 & 90 \\ p_k & \frac{3}{6} & \frac{2}{6} & \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \times \frac{3}{6} & \frac{1}{6} \times \frac{2}{6} \\ \end{array} \)
在上表中，例如 \( P\lbrace X=70\rbrace=P(AB)=P(A)P(B)=\frac{1}{6} \times \frac{3}{6}, \)
其中 \( A \) 为事件“第一班车在8:10到站”，\( B \) 为“第二班车在9:30到站”。候车时间的数学期望为 \( E(X)=10 \times \frac{3}{6}+30 \times \frac{2}{6}+50 \times \frac{1}{36}+70 \times \frac{3}{36}+90 \times \frac{2}{36}=27.22. \quad \square \)
例4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式。记使用寿命为 \( X \)（以年计），规定：
\( X \leq 1, \text{一台付款} 1500 \text{元}; \) \( 1 < X \leq 2, \text{一台付款} 2000 \text{元}; \) \( 2 < X \leq 3, \text{一台付款} 2500 \text{元}; \) \( X > 3, \text{一台付款} 3000 \text{元}. \)
设寿命 \(X\) 服从指数分布，概率密度为 \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{10} e^{-x/10}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0. \end{cases} \)
试求该商店一台这种家用电器收费 \(Y\) 的数学期望。
解 先求出寿命 \(X\) 落在各个时间区间的概率。即有 \( P(X \leq 1) = \int_{0}^{1} \frac{1}{10} e^{-x/10} dx = 1 - e^{-0.1} = 0.0952, \) \( P(1 < X \leq 2) = \int_{1}^{2} \frac{1}{10} e^{-x/10} dx = e^{-0.1} - e^{-0.2} = 0.0861, \) \( P(2 < X \leq 3) = \int_{2}^{3} \frac{1}{10} e^{-x/10} dx = e^{-0.2} - e^{-0.3} = 0.0779, \) \( P(X > 3) = \int_{3}^{\infty} \frac{1}{10} e^{-x/10} dx = e^{-0.3} = 0.7408. \)
一台家用电器收费 \(Y\) (以元计) 的分布律为
\( \begin{array}{c|cccc} Y & 1500 & 2000 & 2500 & 3000 \\ \hline p_k & 0.0952 & 0.0861 & 0.0779 & 0.7408 \\ \end{array} \)
得 \(E(Y) = 2732.15\), 即平均一台收费 \(2732.15\) 元。
例5 在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验 \(N\) 个人的血，可以用两种方法进行。(i)将每个人的血分别去验，这就需验 \(N\) 次。(ii)按 \(k\) 个人一组进行分组，把从 \(k\) 个人抽来的血混合在一起进行检验。如果这混合血液呈阴性反应，就说明 \(k\) 个人的血都呈阴性反应，这样，这 \(k\) 个人的血就只需验一次；若呈阳性，则再对这 \(k\) 个人的血液分别进行化验，这样，\(k\) 个人的血总共要化验 \(k+1\) 次。假设每个人化验呈阳性的概率为 \(p\)，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当 \(p\) 较小时，选取适当的 \(k\)，按第二种方法可以减少化验的次数。并说明 \(k\) 取什么值时最适宜。
解 各人的血呈阴性反应的概率为 \(q=1-p\)。因此 \(k\) 个人的混合血呈阴性反应的概率为 \(q^k\)，\(k\) 个人的混合血呈阳性反应的概率为 \(1-q^k\)。
设以 \(k\) 个人为一组时，组内每人化验的次数为 \(X\)，则 \(X\) 是一个随机变量，其分布律为
\( X \quad \frac{1}{k} \quad \frac{k+1}{k} \)
\( p_k \quad q^k \quad 1-q^k \)
\( X \) 的数学期望为
\( E(X) = \frac{1}{k} q^k + \left( 1 + \frac{1}{k} \right) (1 - q^k) = 1 - q^k + \frac{1}{k}. \)
\( N \) 个人平均需化验的次数为
\( N \left( 1 - q^k + \frac{1}{k} \right). \)
由此可知,只要选择 \( k \) 使
\( 1 - q^k + \frac{1}{k} < 1, \)
则 \( N \) 个人平均需化验的次数 \( < N \). 当 \( p \) 固定时,我们选取 \( k \) 使得
\( L = 1 - q^k + \frac{1}{k} \)
小于 1 且取到最小值,这时就能得到最好的分组方法.
例如, \( p = 0.1 \), 则 \( q = 0.9 \), 当 \( k = 4 \) 时, \( L = 1 - q^k + \frac{1}{k} \) 取到最小值. 此时得到最好的分组方法. 若 \( N = 1000 \), 此时以 \( k = 4 \) 分组, 则按第二种方法平均只需化验
\( 1000 \left( 1 - 0.9^4 + \frac{1}{4} \right) = 594 (\text{次}). \)
这样平均来说, 约可以减少 40% 的工作量. □
例 6 设随机变量 \( X \sim \pi(\lambda) \), 求 \( E(X) \).
解 \( X \) 的分布律为
\( P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \cdots, \quad \lambda > 0. \)
\( X \) 的数学期望为
\( E(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = \lambda, \)
即 \( E(X) = \lambda \). □
例 7 设随机变量 \( X \sim U(a,b) \), 求 \( E(X) \).
解 \( X \) 的概率密度为
\( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a < x < b \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \)
\( X \) 的数学期望为
\( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx = \int_a^b \frac{x}{b-a} dx = \frac{a+b}{2}. \)
即数学期望位于区间 \((a,b)\) 的中点。 □
我们经常需要求随机变量的函数的数学期望，例如飞机机翼受到压力 \(W=kV^2\) (V是风速, k>0是常数)的作用, 需要求 W 的数学期望, 这里 W 是随机变量 V 的函数. 这时, 可以通过下面的定理来求 W 的数学期望.
定理 设 Y 是随机变量 X 的函数: \(Y=g(X)\) (g 是连续函数).
(i) 如果 X 是离散型随机变量, 它的分布律为 \(P\lbrace X=x_k\rbrace=p_k,k=1,2,\cdots\), 若 \(\sum_{k=1}^\infty g(x_k)p_k\) 绝对收敛, 则有
\( E(Y)=E[g(X)]=\sum_{k=1}^\infty g(x_k)p_k. \tag{1.3} \)
(ii) 如果 X 是连续型随机变量, 它的概率密度为 \(f(x)\), 若 \(\int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)dx\) 绝对收敛, 则有
\( E(Y)=E[g(X)]=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)dx. \tag{1.4} \)
定理的重要意义在于当我们求 \(E(Y)\) 时, 不必算出 Y 的分布律或概率密度, 而只需利用 X 的分布律或概率密度就可以了, 定理的证明超出了本书的范围. 我们只对下述特殊情况加以证明.
证 设 X 是连续型随机变量, 且 \(y=g(x)\) 满足第二章 §5 中定理的条件.
由第二章 §5 中的 (5.2) 式知道随机变量 \(Y=g(X)\) 的概率密度为
\( f_Y(y)=\begin{cases} f_X[h(y)]|h'(y)|, & \alpha<y<\beta, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases} \)
于是
\( E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty} yf_Y(y)dy=\int_\alpha^\beta yf_X[h(y)]|h'(y)|dy. \)
当 \(h'(y)\) 恒 >0 时
\( E(Y)=\int_\alpha^\beta yf_X[h(y)]h'(y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)dx. \)
当 \(h'(y)\) 恒 <0 时
\( E(Y)=-\int_\alpha^\beta yf_X[h(y)]h'(y)dy = -\int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)dx. \)
综合上两式, (1.4) 式得证. □
上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。例如，设 \( Z \) 是随机变量 \( X, Y \) 的函数 \( Z = g(X,Y) \)（\( g \) 是连续函数），那么，\( Z \) 是一个一维随机变量。若二维随机变量 \( (X,Y) \) 的概率密度为 \( f(x,y) \)，则有 \( E(Z) = E[g(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x,y)f(x,y)dxdy, \) 这里设上式右边的积分绝对收敛。又若 \( (X,Y) \) 为离散型随机变量，其分布律为 \( P\lbrace X=x_i, Y=y_j\rbrace = p_{ij}, i,j=1,2,\cdots, \) 则有 \( E(Z) = E[g(X,Y)] = \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} g(x_i,y_j)p_{ij}, \) 这里设上式右边的级数绝对收敛。
例8 设风速 \( V \) 在 \( (0,a) \) 上服从均匀分布，即具有概率密度 \( f(v) = \begin{cases} \frac{1}{a}, & 0<v<a,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \) 又设飞机机翼受到的正压力 \( W \) 是 \( V \) 的函数：\( W=kV^2(k>0) \)，常数 \( v \)，求 \( W \) 的数学期望。
解 由 (1.4) 式有 \( E(W) = \int_{-\infty}^{\infty} kv^2 f(v) dv = \int_0^a kv^2 \frac{1}{a} dv = \frac{1}{3} ka^2. \) □
例9 设随机变量 \( (X,Y) \) 的概率密度 \( f(x,y) = \begin{cases} \frac{3}{2x^3 y^2}, & \frac{1}{x} < y < x, x > 1,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \) 求数学期望 \( E(Y), E(\frac{1}{XY}) \)。
解 由 (1.5) 式得 \( E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} yf(x,y)dydx = \int_1^\infty \int_{\frac{1}{x}}^x \frac{3}{2x^3 y} dydx \) \( = \frac{3}{2} \int_1^\infty \frac{1}{x^3} \left[ \ln y \right]_1^x dx = 3 \int_1^\infty \frac{\ln x}{x^3} dx \) \( = \left[ -\frac{3}{2} \ln x \right]_1^\infty + \frac{3}{2} \int_1^\infty \frac{1}{x^3} dx = \frac{3}{4}. \) \( E(\frac{1}{XY}) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{xy} f(x,y) dy dx = \int_1^\infty dx \int_{\frac{1}{x}}^x \frac{3}{2x^3 y^3} dy = \frac{3}{5}. \) □
例10 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利 \( m \) 元，而积压一件产品将导致 \( n \) 元的损失。再者，他们预测销售量 \( Y \) (件) 服从指数分布，其概率密度为
\( f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-y/\theta}, & y>0, \\ 0, & y\leq 0. \end{cases} \quad \theta>0, \)
问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品 \((m,n,\theta)\) 均为已知？
解 设生产 \(x\) 件，则获利 \(Q\) 是 \(x\) 的函数
\( Q=Q(x)=\begin{cases} mY-n(x-Y), & Y<x, \\ mx, & Y\geq x. \end{cases} \)
\(Q\) 是随机变量，它是 \(Y\) 的函数，其数学期望为
\( E(Q)=\int_{0}^{\infty} Qf_Y(y)dy=\int_{0}^{x}[my-n(x-y)]\frac{1}{\theta}e^{-y/\theta}dy+\int_{x}^{\infty}mx\frac{1}{\theta}e^{-y/\theta}dy \)
\( =(m+n)\theta-(m+n)\theta e^{-x/\theta}-nx. \)
令
\( \frac{d}{dx}E(Q)=(m+n)e^{-x/\theta}-n=0, \)
得
\( x=-\theta \ln\frac{n}{m+n}. \)
而
\( \frac{d^2}{dx^2}E(Q)=\frac{(m+n)}{\theta}e^{-x/\theta}<0, \)
故知当 \(x=-\theta \ln\frac{n}{m+n}\) 时 \(E(Q)\) 取极大值，且可知这也是最大值。
例如，若
\( f_Y(y)=\begin{cases} \frac{1}{10\,000}e^{-\frac{y}{10\,000}}, & y>0, \\ 0, & y\leq 0, \end{cases} \)
且有 \(m=500\) 元，\(n=2\,000\) 元，则
\( x=-10\,000\ln\frac{2\,000}{500+2\,000}=2\,231.4. \)
取 \(x=2\,231\) 件。 □
例11 设甲与其他三人参与一个项目的竞拍，价格以千美元计，价格高者获胜。若甲中标，他就将此项目以10千美元转让给他人。可以为其他三人的竞拍价是相互独立的，且都在7千~11千美元之间均匀分布。问甲应如何报价才能使获益的数学期望最大（若甲中标，则必须将此项目以他自己的报价买下）。
解 设 \(X_1,X_2,X_3\) 是其他三人的报价，按题意 \(X_1,X_2,X_3\) 相互独立，且在区间 (7,11) 上服从均匀分布。其分布函数为
\( F(u)=\begin{cases} 0, & u<7, \\ \frac{u-7}{4}, & 7\leq u<11, \\ 1, & u\geq 11. \end{cases} \)
以 \( Y \) 记三人的最高出价，即 \( Y = \max \lbrace X_1, X_2, X_3 \rbrace \)，\( Y \) 的分布函数为 \( F_Y(u) = \begin{cases} 0, & u < 7, \\ \left( \frac{u - 7}{4} \right)^3, & 7 \leq u < 11, \\ 1, & u \geq 11. \end{cases} \) 若甲的报价为 \( x \)，按题意 \( 7 \leq x \leq 10 \)，知甲能赢得这一项目的概率为 \( p = P(Y \leq x) = F_Y(x) = \left( \frac{x - 7}{4} \right)^3 \quad (7 \leq x \leq 10). \) 以 \( G(X) \) 记甲的赚钱数，\( G(X) \) 是一个随机变量，它的分布律为 \( \begin{array}{c|c|c} G(X) & 10 - x & 0 \\ \hline \text{概率} & \left( \frac{x - 7}{4} \right)^3 & 1 - \left( \frac{x - 7}{4} \right)^3 \end{array} \) 于是甲的赚钱数的数学期望为 \( E[G(X)] = \left( \frac{x - 7}{4} \right)^3 (10 - x). \) 令 \( \frac{d}{dx} E[G(X)] = \frac{1}{4^3} [(x - 7)^2 (37 - 4x)] = 0, \) 得 \( x = 37/4, \quad x = 7 \, (\text{舍去}). \) 又知 \( \frac{d^2}{dx^2} E[G(X)] \bigg|_{x=37/4} < 0. \) 故知当甲的报价为 \( x = 37/4 \) 千美元时，他的赚钱数的数学期望达到极大值，还可知这也是最大值。□
现在来证明数学期望的几个重要性质①（以下设所遇到的随机变量的数学期望存在）。
1° 设 \( C \) 是常数，则有 \( E(C) = C \).
2° 设 \( X \) 是一个随机变量，\( C \) 是常数，则有 \( E(CX) = CE(X). \)
3° 设 \( X, Y \) 是两个随机变量，则有 \( E(X + Y) = E(X) + E(Y). \) 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。
4° 设 \( X, Y \) 是相互独立的随机变量，则有 \( E(XY) = E(X)E(Y). \)
① 这里我们只对连续型随机变量的情况加以证明，读者只要将证明中的“积分”用“和式”代替，就能得到离散型随机变量情况的证明。
这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。
证 1°,2°由读者自己证明。我们来证3°和4°。
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为\( f(x,y) \)。其边缘概率密度为\( f_X(x) \)，\( f_Y(y) \)。由(1.5)式 \( E(X+Y)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(x+y)f(x,y)dxdy \) \( =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xf(x,y)dxdy+\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}yf(x,y)dxdy \) \( =E(X)+E(Y) \)
3°得证。
又若X和Y相互独立， \( E(XY)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xyf(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xyf_X(x)f_Y(y)dxdy \) \( =\left[\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx\right]\left[\int_{-\infty}^{\infty}yf_Y(y)dy\right]=E(X)E(Y) \)
4°得证。
例12 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求\( E(X) \)（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各位旅客是否下车相互独立）。
解 引入随机变量 \( X_i=\begin{cases} 0, & \text{在第i站没有人下车}, \\ 1, & \text{在第i站有人下车}, \end{cases} i=1,2,\cdots,10. \) 易知 \( X=X_1+X_2+\cdots+X_{10}. \) 现在求\( E(X) \)。
按题意，任一旅客在第i站不下车的概率为\(\frac{9}{10}\)，因此20位旅客都不在第i站下车的概率为\(\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\)，在第i站有人下车的概率为\(1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\)，也就是 \( P\lbrace X_i=0\rbrace=\left(\frac{9}{10}\right)^{20}, P\lbrace X_i=1\rbrace=1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}, i=1,2,\cdots,10. \) 由此 \( E(X_i)=1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}, i=1,2,\cdots,10. \) 进而 \( E(X)=E(X_1+X_2+\cdots+X_{10})=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_{10}) \)
\( =10\left[1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\right]=8.784 (\text{次}). \)
本题是将 \(X\) 分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的,这种处理方法具有一定的普遍意义。
例13 设一电路中电流 \(I\) (以A计)与电阻 \(R\) (以 \(\Omega\) 计)是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为
\( g(i)=\begin{cases} 2i, & 0 \leq i \leq 1,\\ 0, & \text{其他}, \end{cases} h(r)=\begin{cases} \frac{r^2}{9}, & 0 \leq r \leq 3,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \)
试求电压 \(V=IR\) 的均值。
解
\( E(V)=E(IR)=E(I)E(R)=\int_{-\infty}^{\infty}ig(i)di\left[\int_{-\infty}^{\infty}rh(r)dr\right]=\left(\int_{0}^{1}2i^2di\right)\left(\int_{0}^{3}\frac{r^3}{9}dr\right)=\frac{3}{2}(V). \)
第四章 随机变量的数字特征扩展讲解
数字特征的定义和意义
数字特征是描述随机变量某一方面特征的统计量，用以概括随机变量的分布特性。它们在理论分析和实际应用中具有重要作用，特别是在处理数据简约化和建模时。主要数字特征包括：
数学期望（均值）：反映随机变量的集中趋势；
方差和标准差：量化随机变量的离散程度；
相关系数：表示随机变量间的线性相关程度；
矩：描述随机变量分布形态的特征。
数学期望
数学期望是最常用的数字特征，定义为随机变量的加权平均值：
对于离散型随机变量 \( X \)，数学期望 \( E(X) \) 是 \( E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k, \) 其中 \( x_k \) 是取值，\( p_k \) 是对应的概率。
对于连续型随机变量 \( X \)，数学期望 \( E(X) \) 是 \( E(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx, \) 其中 \( f(x) \) 是概率密度函数。
数学期望反映随机变量的平均水平。例如，平均分、户均拥有汽车的辆数等问题都涉及数学期望。
数学期望的性质
数学期望具有以下重要性质：
常数的数学期望等于常数：\( E(C) = C \)；
线性性：对于任意随机变量 \( X, Y \) 和常数 \( C \)，有 \( E(CX + Y) = C E(X) + E(Y). \)
独立随机变量的乘积期望： \( E(XY) = E(X)E(Y), \) 仅当 \( X \) 和 \( Y \) 独立时成立。
数学期望的应用
通过数学期望可以求解实际问题的平均趋势。例如：
分布律给出情况下直接计算期望；
随机变量函数的数学期望：
如果 \( Y = g(X) \)，则有
离散型：\( E(Y) = \sum_{k=1}^\infty g(x_k)p_k, \) 其中 \( g(x_k) \) 是随机变量 \( X \) 经过函数 \( g \) 映射后的值，\( p_k \) 是 \( X \) 取值 \( x_k \) 的概率；
连续型：\( E(Y) = \int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)dx \), 其中 \( g(x) \) 是映射函数，\( f(x) \) 是概率密度。
这种方法可以避免先求出 \( Y \) 的分布律或概率密度直接计算 \( E(Y) \)，极大简化了计算。
典型例子分析
分布律给定，直接计算数学期望
例：随机变量 \( X \) 的分布律为： \( \begin{array}{c|ccccccccccc} X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline p_k & 0.002 & 0.001 & 0.002 & 0.005 & 0.02 & 0.04 & 0.18 & 0.37 & 0.25 & 0.12 & 0.01 \\ \end{array} \) 期望为： \( E(X) = \sum_{k=0}^{10} x_k p_k = 7.15. \)指数分布随机变量的数学期望
随机变量 \( X \) 服从指数分布 \( f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, x > 0 \)，则数学期望 \( E(X) = \int_{0}^\infty x \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta} dx = \theta. \)函数映射后的数学期望
设 \( Y = g(X) \)，如 \( g(X) = kV^2 \)（受风速 \( V \) 影响的机翼压力）。若 \( V \) 在 \( (0, a) \) 上均匀分布，概率密度为 \( f(v) = \frac{1}{a} \)，则 \( E(Y) = \int_{0}^{a} kv^2 \frac{1}{a} dv = \frac{1}{3} ka^2. \)独立随机变量的乘积期望
设 \( X \) 和 \( Y \) 相互独立，求 \( Z = XY \) 的数学期望。已知 \( X \) 和 \( Y \) 的概率密度分别为 \( f_X(x) \) 和 \( f_Y(y) \)，有 \( E(Z) = E(X)E(Y). \)
多维随机变量的数学期望
对于二维随机变量 \( (X, Y) \)，如果其概率密度为 \( f(x, y) \)，函数 \( Z = g(X, Y) \) 的数学期望为： \( E(Z) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(x, y)f(x, y) dx dy. \)
实际问题分析与优化
最优决策问题
在生产和营销中，常使用数学期望来求解最优产量或报价。例如：某公司生产 \( x \) 件产品，销售量 \( Y \) 服从指数分布，收益函数为 \( Q(x) = m \min(x, Y) - nx, \) 通过数学期望 \( E(Q) \) 最大化找到最优生产量 \( x \)。
分组优化问题
对于大规模抽样，利用分组化验可减少工作量。如 \( N \) 人分 \( k \) 人一组化验，平均化验次数的数学期望为 \( E(X) = N \left[1 - q^k + \frac{1}{k}\right], \) 通过最小化该期望找到最优分组数 \( k \)。随机变量变化的期望计算
例如，甲在竞拍中需计算其最优报价 \( x \) 以最大化收益 \( E(G(X)) \)。若三人报价均服从均匀分布 \( U(7, 11) \)，则甲的最优报价为 \( x = \frac{37}{4}. \)
典型应用扩展
设备寿命与平均收益
结合寿命分布和收益函数，计算设备的使用价值和最佳更换周期。交通流量预测
基于平均等待时间（如候车时间），利用期望建模优化调度。风险评估
通过计算收益期望与风险权衡（如保险或投资）评估决策的优劣。
以上理论和例子说明了数学期望在概率论与统计中的重要性。
选择题与答案
以下是基于上述内容的选择题，涵盖理论概念、计算方法和实际应用。
选择题
数学期望的本质是：
A. 随机变量分布的离散程度
B. 随机变量的平均趋势
C. 随机变量的最大值
D. 随机变量的最小值
答案：B
解析： 数学期望反映了随机变量的集中趋势或平均水平。若随机变量 \( X \) 的概率密度为 \( f(x) = \frac{1}{a}, 0 \leq x \leq a \)，则其期望 \( E(X) \) 为：
A. \( \frac{a}{2} \)
B. \( a \)
C. \( \frac{a}{3} \)
D. \( \frac{2a}{3} \)
答案：A
解析： 均匀分布期望公式 \( E(X) = \frac{a + b}{2} \)，此处 \( b = 0, a = a \)。如果随机变量 \( X \) 和 \( Y \) 独立，且 \( E(X) = 3, E(Y) = 4 \)，则 \( E(XY) \) 为：
A. 7
B. 12
C. 0
D. 无法确定
答案：B
解析： \( X, Y \) 独立时，\( E(XY) = E(X)E(Y) = 3 \times 4 = 12 \)。下列公式中正确表示随机变量 \( Y = g(X) \) 的数学期望的是：
A. \( E(Y) = \int_{-\infty}^\infty g(x) dx \)
B. \( E(Y) = \int_{-\infty}^\infty g(x)f(x) dx \)
C. \( E(Y) = \sum_{k=1}^\infty g(x_k) p_k \)
D. B 和 C 正确
答案：D
解析： 对连续型随机变量使用积分，对离散型使用求和。
选择题及解析
基础理论题
数学期望的定义适用于以下哪些情形？
A. 离散型随机变量
B. 连续型随机变量
C. 离散和连续型随机变量
D. 无定义范围的随机变量
答案：C
解析： 数学期望定义适用于离散型和连续型随机变量，分别通过和式和积分计算。数学期望的值由什么决定？
A. 随机变量的值和概率分布
B. 随机变量的最大值
C. 随机变量的取值范围
D. 试验次数的大小
答案：A
解析： 数学期望由随机变量的概率分布和取值决定，与试验次数无关。随机变量的数学期望反映了：
A. 数据的波动程度
B. 数据的集中趋势
C. 数据的范围
D. 数据的最大可能值
答案：B
解析： 数学期望是随机变量的均值，表示数据的集中趋势。以下哪个不是数学期望的性质？
A. \( E(C) = C \)（常数期望）
B. \( E(CX) = CE(X) \)（比例性）
C. \( E(XY) = E(X)E(Y) \)（独立性）
D. \( E(X + Y) = E(X) - E(Y) \)
答案：D
解析： 数学期望具有线性性：\( E(X + Y) = E(X) + E(Y) \)。对于随机变量 \( X \sim U(0, a) \)，其数学期望为：
A. \( \frac{a}{2} \)
B. \( \frac{a}{3} \)
C. \( a \)
D. \( \frac{2a}{3} \)
答案：A
解析： 均匀分布期望公式 \( E(X) = \frac{a + b}{2} \)，此处 \( b = 0, a = a \)。
简单计算题
设随机变量 \( X \sim \pi(\lambda) \)，其数学期望为：
A. \( \lambda^2 \)
B. \( \frac{\lambda}{2} \)
C. \( \lambda \)
D. 无法确定
答案：C
解析： 泊松分布的数学期望为其参数 \( \lambda \)。设 \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \)，其数学期望为：
A. \( \mu \)
B. \( \sigma^2 \)
C. \( \mu + \sigma^2 \)
D. 0
答案：A
解析： 正态分布的数学期望是参数 \( \mu \)。设 \( X \) 服从均匀分布 \( U(0, 1) \)，则 \( Y = 2X + 3 \) 的数学期望为：
A. 1.5
B. 3.5
C. 4
D. 5
答案：C
解析： \( E(Y) = E(2X + 3) = 2E(X) + 3 = 2 \times 0.5 + 3 = 4 \)。设风速 \( V \) 在 \( (0, 10) \) 上均匀分布，压力 \( W = kV^2 \)，则 \( E(W) \) 为：
A. \( 100k \)
B. \( 10k \)
C. \( \frac{1}{3} k \)
D. \( \frac{1}{3} k(10)^2 \)
答案：D
解析： 均匀分布下 \( E(W) = \int_0^{10} kv^2 \frac{1}{10} dv = \frac{1}{3} k (10)^2 \)。设 \( X, Y \) 是独立随机变量，且 \( E(X) = 3, E(Y) = 4 \)，则 \( E(3X + 2Y) \) 为：
A. 18
B. 12
C. 6
D. 14
答案：D
解析： 利用线性性：\( E(3X + 2Y) = 3E(X) + 2E(Y) = 3 \times 3 + 2 \times 4 = 14 \)。
实际应用题
某设备寿命服从指数分布 \( f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, x > 0 \)，其平均寿命为：
A. \( \theta \)
B. \( 2\theta \)
C. \( \frac{\theta}{2} \)
D. \( \theta^2 \)
答案：A
解析： 指数分布的数学期望为 \( \theta \)。某公司生产 \( x \) 件产品，收益函数 \( Q(x) \) 的期望为 \( (m+n)\theta - nx - (m+n)\theta e^{-x/\theta} \)。最大期望收益时 \( x \) 的取值为：
A. \( \theta \ln(m+n) \)
B. \( \theta \ln \frac{m}{n} \)
C. \( -\theta \ln \frac{n}{m+n} \)
D. 无法确定
答案：C
解析： 利用导数 \( \frac{d}{dx} E(Q) = 0 \) 求得。设 \( X \sim U(1, 5) \)，求 \( g(X) = X^2 \) 的数学期望：
A. \( 11 \)
B. \( 21 \)
C. \( 13 \)
D. \( 25 \)
答案：C
解析： \( E(X^2) = \int_1^5 \frac{x^2}{4} dx = \frac{1}{4} \times \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^5 = 13 \)。设 \( X, Y \) 是独立随机变量，且 \( E(X) = 2, E(Y) = 5 \)，则 \( E(XY^2) \) 为：
A. 10
B. 20
C. 50
D. 100
答案：C
解析： \( E(XY^2) = E(X)E(Y^2) = 2 \times 25 = 50 \)。某旅客候车时间的数学期望为 27.22 分钟。假设他每天候车 2 次，则每天总候车时间的数学期望为：
A. 27.22 分钟
B. 54.44 分钟
C. 14 分钟
D. 无法确定
答案：B
解析： 期望具有可加性，\( E(T) = 27.22 \times 2 = 54.44 \)。
理论证明与综合题
若 \( X \) 是随机变量， \( C \) 为常数，则 \( E(X + C) \) 为：
A. \( E(X) + C \)
B. \( E(X) - C \)
C. \( E(X) \)
D. \( C \)
答案：A
解析： 根据数学期望的线性性，\( E(X + C) = E(X) + C \)。以下关于独立随机变量 \( X, Y \) 的数学期望叙述正确的是：
A. \( E(XY) \neq E(X)E(Y) \)
B. \( E(XY) = E(X)E(Y) \)
C. \( E(XY) = E(X + Y) \)
D. 无法确定
答案：B
解析： 独立随机变量的乘积期望为各自期望的乘积。设 \( X \) 和 \( Y \) 独立且服从同一分布 \( N(0, 1) \)，则 \( E(X^2 + Y^2) \) 为：
A. 1
B. 2
C. 0
D. 无法确定
答案：B
解析： \( E(X^2) = \sigma^2 + \mu^2 = 1 \)，独立性可加。设 \( Z = g(X, Y) \)， \( Z \) 的数学期望公式为：
A. \( E(Z) = \int g(x)f(x)dx \)
B. \( E(Z) = \int \int g(x, y)f(x, y)dxdy \)
C. \( E(Z) = \int g(x, y)dx \)
D. 无法确定
答案：B
解析： 多维随机变量的数学期望使用联合密度积分计算。某航班20位旅客下车的站点数 \( X \) 的数学期望为 8.784 次，该期望是通过以下性质求得：
A. 独立性
B. 数学期望的可加性
C. 数学期望的比例性
D. 随机变量的分布规律
答案：B
解析： 通过分解 \( X \) 为子随机变量和并求期望得出。
\( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \)
其中 \( f(x) \) 是 \( X \) 的概率密度函数。
数学期望的性质
常数性质：设 \( C \) 是常数，则 \( E(C) = C \)。
线性性质：设 \( X \) 是一个随机变量，\( C \) 是常数，则 \( E(CX) = CE(X) \)。
加法性质：设 \( X \) 和 \( Y \) 是两个随机变量，则 \( E(X + Y) = E(X) + E(Y) \)。这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。
独立乘积性质：设 \( X \) 和 \( Y \) 是相互独立的随机变量，则 \( E(XY) = E(X)E(Y) \)。这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。
数学期望的应用
数学期望在实际问题中有广泛的应用，例如：
体育比赛得分：在体育比赛中，运动员的得分可以看作一个随机变量，数学期望可以用来估计运动员的平均得分。
产品质量评估：在评估棉花的质量时，纤维的平均长度和纤维长度与平均长度的偏离程度都是重要的数字特征。
经济决策：在经济决策中，数学期望可以用来估计投资的平均回报。
选择题
数学期望 \( E(X) \) 的定义是：
A. \( E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k \)
B. \( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \)
C. \( E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k \)
D. \( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
答案：A 解释：数学期望 \( E(X) \) 对于离散型随机变量 \( X \) 的定义是 \( E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k \)。
对于连续型随机变量 \( X \)，数学期望 \( E(X) \) 的定义是：
A. \( E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k \)
B. \( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \)
C. \( E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k \)
D. \( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
答案：B 解释：数学期望 \( E(X) \) 对于连续型随机变量 \( X \) 的定义是 \( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \)。
设 \( C \) 是常数，则 \( E(C) \) 等于：
A. \( C \)
B. \( 0 \)
C. \( 1 \)
D. \( C^2 \)
答案：A 解释：常数的数学期望等于常数本身，即 \( E(C) = C \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，\( C \) 是常数，则 \( E(CX) \) 等于：
A. \( C \)
B. \( CE(X) \)
C. \( E(X) \)
D. \( C^2E(X) \)
答案：B 解释：常数与随机变量的乘积的数学期望等于常数乘以随机变量的数学期望，即 \( E(CX) = CE(X) \)。
设 \( X \) 和 \( Y \) 是两个随机变量，则 \( E(X + Y) \) 等于：
A. \( E(X) + E(Y) \)
B. \( E(X)E(Y) \)
C. \( E(X) - E(Y) \)
D. \( E(X) / E(Y) \)
答案：A 解释：两个随机变量之和的数学期望等于各自数学期望之和，即 \( E(X + Y) = E(X) + E(Y) \)。
设 \( X \) 和 \( Y \) 是相互独立的随机变量，则 \( E(XY) \) 等于：
A. \( E(X) + E(Y) \)
B. \( E(X)E(Y) \)
C. \( E(X) - E(Y) \)
D. \( E(X) / E(Y) \)
答案：B 解释：相互独立的随机变量之积的数学期望等于各自数学期望之积，即 \( E(XY) = E(X)E(Y) \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} k p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
答案：A 解释：离散型随机变量 \( X \) 的数学期望 \( E(X) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} k p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：A 解释：连续型随机变量 \( X \) 的数学期望 \( E(X) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X^2) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} k p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
答案：C 解释：随机变量 \( X \) 的平方的数学期望 \( E(X^2) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X^2) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：C 解释：连续型随机变量 \( X \) 的平方的数学期望 \( E(X^2) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(2X) \) 等于：
A. \( 2 \sum_{k=0}^{2} k p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
答案：A 解释：随机变量 \( X \) 的数学期望 \( E(2X) \) 等于 \( 2 \sum_{k=0}^{2} k p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(2X) \) 等于：
A. \( 2 \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：A 解释：连续型随机变量 \( X \) 的数学期望 \( E(2X) \) 等于 \( 2 \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \)。
设 \( X \) 和 \( Y \) 是两个随机变量，则 \( E(X - Y) \) 等于：
A. \( E(X) + E(Y) \)
B. \( E(X)E(Y) \)
C. \( E(X) - E(Y) \)
D. \( E(X) / E(Y) \)
答案：C 解释：两个随机变量之差的数学期望等于各自数学期望之差，即 \( E(X - Y) = E(X) - E(Y) \)。
设 \( X \) 和 \( Y \) 是相互独立的随机变量，则 \( E(X/Y) \) 等于：
A. \( E(X) + E(Y) \)
B. \( E(X)E(Y) \)
C. \( E(X) - E(Y) \)
D. \( E(X) / E(Y) \)
答案：D 解释：相互独立的随机变量之商的数学期望等于各自数学期望之商，即 \( E(X/Y) = E(X) / E(Y) \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X + 1) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} (k + 1) p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
答案：A 解释：随机变量 \( X \) 的数学期望 \( E(X + 1) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} (k + 1) p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X + 1) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} (x + 1) f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：A 解释：连续型随机变量 \( X \) 的数学期望 \( E(X + 1) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} (x + 1) f(x) dx \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X^3) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} k p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
答案：C 解释：随机变量 \( X \) 的立方的数学期望 \( E(X^3) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X^3) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^3 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：C 解释：连续型随机变量 \( X \) 的立方的数学期望 \( E(X^3) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} x^3 f(x) dx \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X^2 + X) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k + \sum_{k=0}^{2} k p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
答案：A 解释：随机变量 \( X \) 的平方与 \( X \) 之和的数学期望 \( E(X^2 + X) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k + \sum_{k=0}^{2} k p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X^2 + X) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^2 + x) f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：A 解释：连续型随机变量 \( X \) 的平方与 \( X \) 之和的数学期望 \( E(X^2 + X) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^2 + x) f(x) dx \)。
选择题及解析 (第21~40题)
基础理论题
设随机变量 \( X \sim \text{Exp}(\lambda) \)，其数学期望为：
A. \( \frac{1}{\lambda^2} \)
B. \( \frac{1}{\lambda} \)
C. \( \lambda \)
D. 无法确定
答案：B
解析： 指数分布的数学期望为 \( \frac{1}{\lambda} \)。设随机变量 \( X \) 的分布律为 \( P(X = k) = \frac{1}{2^k}, k = 1, 2, 3, \dots \)，则 \( E(X) \) 为：
A. 2
B. 4
C. 无穷大
D. 无法计算
答案：A
解析： \( E(X) = \sum_{k=1}^\infty k \cdot \frac{1}{2^k} = 2 \)。若 \( Y = X^2 \)，且 \( E(X) = 0, \text{Var}(X) = 1 \)，则 \( E(Y) \) 为：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无法确定
答案：B
解析： \( E(Y) = \text{Var}(X) + E(X)^2 = 1 + 0^2 = 1 \)。数学期望与以下哪个量无关？
A. 随机变量的概率分布
B. 随机变量的取值范围
C. 随机变量的观测值
D. 随机变量的中心趋势
答案：C
解析： 数学期望是由概率分布决定的，与单个观测值无关。设随机变量 \( X \sim \text{Binomial}(n, p) \)，其数学期望为：
A. \( np(1-p) \)
B. \( n^2p \)
C. \( np \)
D. \( n \)
答案：C
解析： 二项分布的数学期望为 \( np \)。
计算题
设 \( X \sim U(0, 1) \)，则 \( E(X^2) \) 为：
A. \( \frac{1}{3} \)
B. \( \frac{1}{2} \)
C. \( \frac{2}{3} \)
D. \( 1 \)
答案：A
解析： \( E(X^2) = \int_0^1 x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Big|_0^1 = \frac{1}{3} \)。设 \( X \sim N(0, 1) \)，则 \( E(X^3) \) 为：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 无法确定
答案：A
解析： 正态分布的奇数次中心矩为 0。设 \( X \) 和 \( Y \) 独立，且 \( E(X) = 2, E(Y) = 3 \)，则 \( E(X + 2Y) \) 为：
A. 7
B. 8
C. 6
D. 5
答案：B
解析： 利用线性性：\( E(X + 2Y) = E(X) + 2E(Y) = 2 + 6 = 8 \)。设随机变量 \( X \) 的分布律为：
\( \begin{array}{c|ccccc} X & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X) & 0.1 & 0.2 & 0.4 & 0.2 & 0.1 \\ \end{array} \) 则 \( E(X^2) \) 为：
A. 1.4
B. 2
C. 2.2
D. 4
答案：A
解析： \( E(X^2) = (-2)^2 \cdot 0.1 + (-1)^2 \cdot 0.2 + 0^2 \cdot 0.4 + 1^2 \cdot 0.2 + 2^2 \cdot 0.1 = 1.4 \)。设 \( X \sim \text{Poisson}(\lambda) \)，其数学期望为：
A. \( \lambda^2 \)
B. \( \frac{\lambda}{2} \)
C. \( \lambda \)
D. 无法确定
答案：C
解析： 泊松分布的数学期望为参数 \( \lambda \)。
实际应用题
一旅客候车时间的数学期望为 27.22 分钟。若他乘车 5 天，每天 2 次，则总候车时间的数学期望为：
A. 272.2 分钟
B. 271.5 分钟
C. 273 分钟
D. 272 分钟
答案：A
解析： \( E(T) = 27.22 \times 2 \times 5 = 272.2 \)。设某公司的年收益 \( R \)（万元）满足 \( f(r) = \frac{1}{10} e^{-r/10}, r > 0 \)。计算其平均年收益：
A. 20 万元
B. 10 万元
C. 5 万元
D. 30 万元
答案：B
解析： 指数分布的数学期望为参数值 \( 10 \)。某设备使用寿命服从均匀分布 \( U(0, 5) \)，则平均寿命为：
A. 2.5 年
B. 5 年
C. 10 年
D. 0 年
答案：A
解析： 均匀分布 \( U(a, b) \) 的数学期望为 \( \frac{a+b}{2} \)。一产品销售量 \( Y \sim \text{Exp}(\frac{1}{100}) \)，若每件收益为 \( 50 \) 元，损失为 \( 30 \) 元，生产 \( x \) 件时平均利润的期望最大值为：
A. 2000 元
B. 2231 元
C. 2500 元
D. 无法确定
答案：B
解析： 根据生产数量优化公式 \( x = -\theta \ln \frac{n}{m+n} \)。甲报价 8.5 万元竞标，其他人报价服从均匀分布 \( U(7, 11) \)，甲中标的数学期望收益为：
A. 0 万元
B. 1.75 万元
C. 2 万元
D. 无法确定
答案：B
解析： 甲中标概率为 \( \left(\frac{8.5-7}{4}\right)^3 \)，收益 \( (10-8.5) \)。
理论扩展与综合题
设 \( Y = g(X) = kX^2 \)，随机变量 \( X \sim N(0, 1) \)，则 \( E(Y) \) 为：
A. \( 0 \)
B. \( k \)
C. \( 2k \)
D. \( k/2 \)
答案：B
解析： \( E(Y) = kE(X^2) = k(\text{Var}(X) + E(X)^2) = k \times 1 = k \)。两个随机变量 \( X, Y \) 满足 \( E(X+Y) = E(X) + E(Y) \)，说明：
A. \( X, Y \) 独立
B. \( X, Y \) 无关
C. 数学期望具有可加性
D. 无法判断
答案：C
解析： 数学期望的可加性独立于随机变量关系。设 \( X_1, X_2, \dots, X_n \) 独立且同分布，且 \( E(X_i) = \mu \)，则 \( E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) \) 为：
A. \( \mu \)
B. \( n\mu \)
C. \( \frac{\mu}{n} \)
D. \( 0 \)
答案：A
解析： 期望的线性性：\( E\left(\frac{1}{n} \sum X_i\right) = \frac{1}{n} \sum E(X_i) = \mu \)。设 \( Z = g(X, Y) = X^2 + Y^2 \)，且 \( X, Y \sim N(0, 1) \)，则 \( E(Z) \) 为：
A. 1
B. 2
C. 0
D. 4
答案：B
解析： \( E(X^2) = 1, E(Y^2) = 1 \)，相加得 \( E(Z) = 2 \)。某电路的电流 \( I \sim U(0, 1) \)，电阻 \( R \sim U(0, 2) \)，电压 \( V = IR \)，则 \( E(V) \) 为：
A. 1
B. \( 0.5 \)
C. \( 0.333 \)
D. \( 0.25 \)
答案：C
解析： \( E(V) = E(I)E(R) = \frac{1}{2} \times 1 = 0.333 \)。
好的，以下是另外20道关于数学期望的选择题：
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X^2 - X) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k - \sum_{k=0}^{2} k p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
答案：A 解释：随机变量 \( X \) 的平方与 \( X \) 之差的数学期望 \( E(X^2 - X) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k - \sum_{k=0}^{2} k p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X^2 - X) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^2 - x) f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：A 解释：连续型随机变量 \( X \) 的平方与 \( X \) 之差的数学期望 \( E(X^2 - X) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^2 - x) f(x) dx \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X^2 + 2X) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k + 2 \sum_{k=0}^{2} k p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
答案：A 解释：随机变量 \( X \) 的平方与 \( 2X \) 之和的数学期望 \( E(X^2 + 2X) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k + 2 \sum_{k=0}^{2} k p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X^2 + 2X) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^2 + 2x) f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：A 解释：连续型随机变量 \( X \) 的平方与 \( 2X \) 之和的数学期望 \( E(X^2 + 2X) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^2 + 2x) f(x) dx \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X^2 - 2X) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k - 2 \sum_{k=0}^{2} k p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
答案：A 解释：随机变量 \( X \) 的平方与 \( 2X \) 之差的数学期望 \( E(X^2 - 2X) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k - 2 \sum_{k=0}^{2} k p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X^2 - 2X) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^2 - 2x) f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：A 解释：连续型随机变量 \( X \) 的平方与 \( 2X \) 之差的数学期望 \( E(X^2 - 2X) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^2 - 2x) f(x) dx \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X^3 + X^2) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k + \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
答案：A 解释：随机变量 \( X \) 的立方与平方之和的数学期望 \( E(X^3 + X^2) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k + \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X^3 + X^2) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^3 + x^2) f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：A 解释：连续型随机变量 \( X \) 的立方与平方之和的数学期望 \( E(X^3 + X^2) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^3 + x^2) f(x) dx \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X^3 - X^2) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k - \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
答案：A 解释：随机变量 \( X \) 的立方与平方之差的数学期望 \( E(X^3 - X^2) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k - \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X^3 - X^2) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^3 - x^2) f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：A 解释：连续型随机变量 \( X \) 的立方与平方之差的数学期望 \( E(X^3 - X^2) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^3 - x^2) f(x) dx \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X^3 + 2X^2) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k + 2 \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
答案：A 解释：随机变量 \( X \) 的立方与 \( 2X^2 \) 之和的数学期望 \( E(X^3 + 2X^2) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k + 2 \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X^3 + 2X^2) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^3 + 2x^2) f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：A 解释：连续型随机变量 \( X \) 的立方与 \( 2X^2 \) 之和的数学期望 \( E(X^3 + 2X^2) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^3 + 2x^2) f(x) dx \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X^3 - 2X^2) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k - 2 \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
答案：A 解释：随机变量 \( X \) 的立方与 \( 2X^2 \) 之差的数学期望 \( E(X^3 - 2X^2) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k - 2 \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X^3 - 2X^2) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^3 - 2x^2) f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：A 解释：连续型随机变量 \( X \) 的立方与 \( 2X^2 \) 之差的数学期望 \( E(X^3 - 2X^2) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^3 - 2x^2) f(x) dx \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X^3 + 3X^2) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k + 3 \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
答案：A 解释：随机变量 \( X \) 的立方与 \( 3X^2 \) 之和的数学期望 \( E(X^3 + 3X^2) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k + 3 \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X^3 + 3X^2) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^3 + 3x^2) f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：A 解释：连续型随机变量 \( X \) 的立方与 \( 3X^2 \) 之和的数学期望 \( E(X^3 + 3X^2) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^3 + 3x^2) f(x) dx \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X^3 - 3X^2) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k - 3 \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
答案：A 解释：随机变量 \( X \) 的立方与 \( 3X^2 \) 之差的数学期望 \( E(X^3 - 3X^2) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k - 3 \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X^3 - 3X^2) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^3 - 3x^2) f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：A 解释：连续型随机变量 \( X \) 的立方与 \( 3X^2 \) 之差的数学期望 \( E(X^3 - 3X^2) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^3 - 3x^2) f(x) dx \)。
设 \( X \) 是一个随机变量，其分布律为 \( P(X=k)=p_k, \quad k=0,1,2 \)，则 \( E(X^3 + 4X^2) \) 等于：
A. \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k + 4 \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
B. \( \sum_{k=0}^{2} p_k \)
C. \( \sum_{k=0}^{2} k \)
D. \( \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)
答案：A 解释：随机变量 \( X \) 的立方与 \( 4X^2 \) 之和的数学期望 \( E(X^3 + 4X^2) \) 等于 \( \sum_{k=0}^{2} k^3 p_k + 4 \sum_{k=0}^{2} k^2 p_k \)。
设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则 \( E(X^3 + 4X^2) \) 等于：
A. \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^3 + 4x^2) f(x) dx \)
B. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \)
D. \( \int_{-\infty}^{\infty} x dx \)
答案：A 解释：连续型随机变量 \( X \) 的立方与 \( 4X^2 \) 之和的数学期望 \( E(X^3 + 4X^2) \) 等于 \( \int_{-\infty}^{\infty} (x^3 + 4x^2) f(x) dx \)。
以下是对该知识点的扩展讲解、相关选择题及答案解析：
一、知识点扩展讲解
（一）随机变量数字特征的引入
在实际问题中，虽然随机变量的分布函数、概率密度和分布律能完整描述它，但有时我们更关注能体现其某一方面特征的常数。比如篮球队员身高这个随机变量，我们常关心平均身高；家庭汽车拥有量这个随机变量，考察交通情况时会关注户均拥有量等。这些由随机变量分布所确定的、刻画其某方面特征的常数就是数字特征，像数学期望、方差、相关系数和矩等，它们在理论和实际应用中都极为重要。
（二）数学期望的定义及计算
离散型随机变量的数学期望：
首先通过射手打靶的例子引出。射手射击所得分数\(X\)是随机变量，其分布律为\(P(X = k)=p_k\)，\(k = 0,1,2\)。射击\(N\)次后，平均一次射击得分数在试验次数很大时接近于\(\sum_{k = 0}^{2}kp_k\)，由此引出离散型随机变量数学期望的定义。
对于一般的离散型随机变量\(X\)，若其分布律为\(P(X = x_k)=p_k\)，\(k = 1,2,\cdots\)，当级数\(\sum_{k = 1}^{\infty}x_kp_k\)绝对收敛时，该级数的和就是\(X\)的数学期望，记为\(E(X)=\sum_{k = 1}^{\infty}x_kp_k\)。
例如求新生儿得分\(X\)的数学期望，已知其分布律，按照上述公式将每个得分值与其对应的概率相乘再求和，就能得到\(E(X)\)的值，它表示若考察很多新生儿，一个新生儿的平均得分情况。
连续型随机变量的数学期望：
设连续型随机变量\(X\)的概率密度为\(f(x)\)，若积分\(\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\)绝对收敛，则其值就是\(X\)的数学期望，记为\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\)。
如在求两个相互独立工作的电子装置串联组成整机的寿命\(N\)的数学期望时，先求出\(N\)的概率密度，再利用上述积分公式计算出\(E(N)\)。
（三）数学期望的性质
\(E(C)=C\)（\(C\)为常数），即常数的数学期望就是其本身。
\(E(CX)=CE(X)\)（\(C\)为常数，\(X\)为随机变量），表明随机变量乘以常数后的数学期望等于该常数乘以原随机变量的数学期望。
\(E(X + Y)=E(X)+E(Y)\)（\(X\)、\(Y\)为随机变量），此性质可推广到任意有限个随机变量之和的情况，通过对二维随机变量\((X,Y)\)的概率密度进行积分运算来证明。
\(E(XY)=E(X)E(Y)\)（\(X\)、\(Y\)为相互独立的随机变量），同样可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况，证明时利用了相互独立随机变量的概率密度关系。
（四）随机变量函数的数学期望
对于一维情况，设\(Y = g(X)\)（\(g\)是连续函数）：
若\(X\)是离散型随机变量，其分布律为\(P(X = x_k)=p_k\)，\(k = 1,2,\cdots\)，当\(\sum_{k = 1}^{\infty}g(x_k)p_k\)绝对收敛时，\(E(Y)=E[g(X)]=\sum_{k = 1}^{\infty}g(x_k)p_k\)。
若\(X\)是连续型随机变量，其概率密度为\(f(x)\)，当\(\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx\)绝对收敛时，\(E(Y)=E[g(X)]=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx\)。
例如求飞机机翼受到压力\(W = kV^2\)（\(V\)是风速，\(k>0\)是常数）的数学期望，已知风速\(V\)的分布，利用上述公式可求出\(E(W)\)。
对于二维情况，设\(Z = g(X,Y)\)（\(g\)是连续函数）：
若\((X,Y)\)是二维离散型随机变量，其分布律为\(P(X = x_i,Y = y_j)=p_{ij}\)，\(i,j = 1,2,\cdots\)，当\(\sum_{j = 1}^{\infty}\sum_{i = 1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}\)绝对收敛时，\(E(Z)=E[g(X,Y)]=\sum_{j = 1}^{\infty}\sum_{i = 1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}\)。
若\((X,Y)\)是二维连续型随机变量，其概率密度为\(f(x,y)\)，当\(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy\)绝对收敛时，\(E(Z)=E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy\)。
如求随机变量\((X,Y)\)的函数\(E(Y)\)、\(E(\frac{1}{XY})\)时，根据其概率密度，按照相应公式进行积分运算得出结果。
以下是按照四个选项后紧跟答案和解析的格式重新整理的内容：
（一）选择题
设离散型随机变量\(X\)的分布律为\(P(X = 1)=0.2\)，\(P(X = 2)=0.3\)，\(P(X = 3)=0.5\)，则\(E(X)\)的值为（ ） A. 2.1 B. 2.2 C. 2.3 D. 2.4
答案：C 解析：根据离散型随机变量数学期望的计算公式\(E(X)=\sum_{k}x_kp_k\)，这里\(x_1 = 1\)，\(p_1 = 0.2\)；\(x_2 = 2\)，\(p_2 = 0.3\)；\(x_3 = 3\)，\(p_3 = 0.5\)，则\(E(X)=1\times0.2 + 2\times0.3 + 3\times0.5 = 2.3\)。
已知连续型随机变量\(X\)的概率密度为\(f(x)=\begin{cases}2x, & 0\leq x\leq 1\\0, & \text{其他}\end{cases}\)，则\(E(X)\)的值为（ ） A. \(\frac{1}{3}\) B. \(\frac{2}{3}\) C. 1 D. \(\frac{4}{3}\)
答案：B 解析：对于连续型随机变量\(X\)，其数学期望\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\)。在此题中，\(E(X)=\int_{0}^{1}x\times2xdx=\int_{0}^{1}2x^2dx=\frac{2}{3}x^3\big|_{0}^{1}=\frac{2}{3}\)。
设\(X\)是随机变量，\(C\)是常数，下列关于数学期望性质的表述正确的是（ ） A. \(E(X + C)=E(X)+C\) B. \(E(CX)=C + E(X)\) C. \(E(X - C)=E(X)-C\) D. \(E(C - X)=C - E(X)\)
答案：A 解析：根据数学期望的性质，\(E(X + C)=E(X)+C\)，这是因为常数的数学期望就是其本身，所以\(X\)加上一个常数后的数学期望等于\(X\)的数学期望加上这个常数。
设\(X\)、\(Y\)是两个相互独立的随机变量，且\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，则\(E(XY)\)的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
答案：B 解析：已知\(X\)、\(Y\)相互独立，根据\(E(XY)=E(X)E(Y)\)的性质，已知\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，所以\(E(XY)=2\times3 = 6\)。
设离散型随机变量\(X\)的分布律为\(P(X = k)=\frac{1}{k(k + 1)}\)，\(k = 1,2,\cdots\)，则\(E(X)\)的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 不存在
答案：D 解析：计算\(E(X)=\sum_{k = 1}^{\infty}x_kp_k=\sum_{k = 1}^{\infty}k\times\frac{1}{k(k + 1)}=\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k + 1}\)，此级数是调和级数，发散，所以\(E(X)\)不存在。
已知连续型随机变量\(X\)的概率密度为\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}e^{-x/2}, & x>0\\0, & \text{其他}\end{cases}\)，则\(E(X)\)的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：B 解析：由连续型随机变量数学期望公式\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\)，在此题中，\(E(X)=\int_{0}^{\infty}x\times\frac{1}{2}e^{-x/2}dx\)，通过分部积分法可计算出\(E(X)=2\)。
设\(X\)是随机变量，若\(E(X)=3\)，\(E(X^2)=10\)，则\(E[(X - 3)^2]\)的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：A 解析：首先\(E[(X - 3)^2]=E(X^2 - 6X + 9)=E(X^2)-6E(X)+9\)，已知\(E(X)=3\)，\(E(X^2)=10\)，代入可得\(10 - 6\times3 + 9 = 1\)。
设\(X\)、\(Y\)是两个随机变量，且\(E(X)=1\)，\(E(Y)=2\)，\(E(X + Y)=4\)，则\(E(XY)\)的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：C 解析：由\(E(X + Y)=E(X)+E(Y)\)可得\(E(X)+E(Y)=4\)，已知\(E(X)=1\)，\(E(Y)=2\)，所以\(E(XY)=E(X)+E(Y)-E(X + Y)+E(X)E(Y)=1 + 2 - 4 + 1×2 = 3\)。
已知离散型随机变量\(X\)的分布律为\(P(X = -1)=0.2\)，\(P(X = 0)=0.3\)，\(P(X = 1)=0.5\)，则\(E(X^2)\)的值为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6
答案：D 解析：根据公式\(E(X^2)=\sum_{k}x_k^2p_k\)，这里\(x_1=-1\)，\(p_1 = 0.2\)；\(x_2 = 0\)，\(p_2 = 0.3\)；\(x_3 = 1\)，\(p_3 = 0.5\)，则\(E(X^2)=(-1)^2×0.2 + 0^2×0.3 + 1^2×0.5 = 0.2 + 0 + 0.5 = 0.6\)。
设连续型随机变量\(X\)的概率密度为\(f(x)=\begin{cases}3x^2, & 0\leq x\leq 1\\0, & \text{其他}\end{cases}\)，则\(E(X^3)\)的值为（ ） A. \(\frac{1}{4}\) B. \(\frac{3}{4}\) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(\frac{3}{2}\)
答案：B 解析：对于连续型随机变量\(X\)，求\(E(X^3)=\int_{-\infty}^{\infty}x^3f(x)dx\)，在此题中，\(E(X^3)=\int_{0}^{1}x^3×3x^2dx=\int_{0}^{1}3x^5dx=\frac{1}{2}x^6\big|_{0}^{1}=\frac{3}{4}\)。
设\(X\)是随机变量，\(C\)是常数，若\(E(X)=5\)，则\(E(CX + 5)\)的值为（ ） A. \(5C + 5\) B. \(C + 5\) C. \(5C\) D. \(C\)
答案：A 解析：根据数学期望的性质，\(E(CX + 5)=E(CX)+E(5)\)，又因为\(E(CX)=CE(X)\)且\(E(5)=5\)，已知\(E(X)=5\)，所以\(E(CX + 5)=C×5 + 5 = 5C + 5\)。
已知离散型随机变量\(X\)的分布律为\(P(X = 0)=0.1\)，\(P(X = 1)=0.4\)，\(P(X = 2)=0.5\)，则\(E(2X + 1)\)的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案：C 解析：先根据离散型随机变量数学期望的计算公式求出\(E(X)\)，\(E(X)=0×0.1 + 1×0.4 + 2×0.5 = 1.4\)，那么\(E(2X + 1)=2E(X)+E(1)=2×1.4 + 1 = 4\)（因为\(E(1)=1\)）。
设\(X\)、\(Y\)是两个相互独立的随机变量，且\(E(X)=4\)，\(E(Y)=5\)，则\(E[(X + Y)^2]\)的值为（ ） A. 41 B. 42 C. 43 D. 44
答案：A 解析：首先展开\(E[(X + Y)^2]=E(X^2 + 2XY + Y^2)=E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)\)。因为\(X\)、\(Y\)相互独立，所以\(E(XY)=E(X)E(Y)\)。已知\(E(X)=4\)，\(E(Y)=5\)，则\(E(X^2)\)和\(E(Y^2)\)可根据公式\(E(X^2)=\sum_{k}x_k^2p_k\)（离散型）或\(E(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx\)（连续型）求出，但本题未给出具体分布情况求\(E(X^2)\)和\(E(Y^2)\)，我们可根据性质\(E(X^2)=[E(X)]^2 + Var(X)\)，\(E(Y^2)=[E(Y)]^2 + Var(Y)\)，而对于相互独立的随机变量\(X\)、\(Y\)，\(Var(X + Y)=Var(X)+Var(Y)\)，这里先假设\(Var(X)=0\)，\(Var(Y)=0\)（即认为\(X\)、\(Y\)为常数型随机变量，只是为了简便计算说明原理），那么\(E(X^2)=[E(X)]^2 = 4^2 = 16\)，\(E(Y^2)=[E(Y)]^2 = 5^2 = 25\)，所以\(E[(X + Y)^2]=16 + 2×4×5 + 25 = 41\)。
已知连续型随机变量\(X\)的概率密度为\(f(x)=\begin{cases}\frac{3}{4}x^2, & -1\leq x\leq 1\\0, & \text{其他}\end{cases}\)，则\(E(X)\)的值为（ ） A. 0 B. \(\frac{1}{2}\) C. \(\frac{1}{3}\) D. \(\frac{1}{4}\)
答案：A 解析：根据连续型随机变量数学期望公式\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\)，在此题中，\(E(X)=\int_{-1}^{1}x×\frac{3}{4}x^2dx=\frac{3}{4}\int_{-1}^{1}x^3dx = 0\)（因为\(\int_{-1}^{1}x^3dx = 0\)）。
设\(X\)是随机变量，若\(E(X)=2\)，\(E(X^2)=6\)，则\(E[(X - 1)^2]\)的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：C 解析：首先\(E[(X - 1)^2]=E(X^2 - 2X + 1)=E(X^2)-2E(X)+1\)，已知\(E(X)=2\)，\(E(X^2)=6\)，代入可得\(6 - 2×2 + 1 = 3\)。
已知离散型随机变量\(X\)的分布律为\(P(X = -2)=0.1\)，\(P(X = -1)=0.2\)，\(P(X = 0)=0.3\)，\(P(X = 1)=0.4\)，则\(E(X^3)\)的值为（ ） A. -0.1 B. -0.2 C. -0.3 D. -0.4
答案：A 解析：根据公式\(E(X^3)=\sum_{k}x_k^3p_k\)，这里\(x_1=-2\)，\(p_1 = 0.1\)；\(x_2 = -1\)，\(p_2 = 0.2\)；\(x_3 = 0\)，\(p_3 = 0.3\)；\(x_4 = 1\)，\(p_4 = 0.4\)，则\(E(X^3)=(-2)^3×0.1 + (-1)^3×0.2 + 0^3×0.3 + 1^3×0.4 = -0.8 - 0.2 + 0 + 0.4 = -0.6\)。
设\(X\)、\(Y\)是两个随机变量，且\(E(X)=3\)，\(E(Y)=4\)，\(E(X + Y)=7\)，则\(E(XY)\)的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
答案：A 解析：由\(E(X + Y)=E(X)+E(Y)\)可得\(E(X)+E(Y)=7\)，已知\(E(X)=3\)，\(E(Y)=4\)，所以\(E(XY)=E(X)+E(Y)-E(X + Y)+E(X)E(Y)=3 + 4 - 7 + 3×4 = 12\)。
已知连续型随机变量\(X\)的概率密度为\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{3}x^2, & 0\leq x\leq 2\\0, & \text{其他}\end{cases}\)，则\(E(X^2)\)的值为（ ） A. \(\frac{4}{3}\) B. \(\frac{8}{3}\) C. \(\frac{16}{3}\) D. \(\frac{32}{3}\)
答案：C 解析：根据连续型随机变量求\(E(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx\)，在此题中，\(E(X^2)=\int_{0}^{2}x^2×\frac{1}{3}x^2dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{2}x^4dx=\frac{1}{3}×\frac{1}{5}x^5\big|_{0}^{2}=\frac{1}{3}×\frac{32}{5}=\frac{32}{15}=\frac{16}{3}\)。
设\(X\)是随机变量，\(C\)是常数，若\(E(X)=4\)，则\(E[(C - X)^2]\)的值为（ ） A. \(C^2 - 8C + 16\) B. \(C^2 - 4C + 16\) C. \(C^2 - 8C + 8\) D. \(C^2 - 4C + 8\)
答案：B 解析：首先展开\(E[(C - X)^2]=E(C^2 - 2CX + X^2)=C^2 - 2CE(X)+E(X^2)，已知\)E(X)=4\(，则\)E(X^2)=[E(X)]^2 + Var(X)\(，这里假设\)Var(X)=0\(（只是为了简便计算说明原理），那么\)E(X^2)=[E(X)]^2 = 4^2 = 16\(，所以\)E[(C - X)^2]=C^2 - 2C×4 + 16 = C^2 - 8C + 16$。
已知离散型随机变量\(X\)的分布律为\(P(X = 1)=0.3\)，\(P(X = 2)=0.4\)，\(P(X = 3)=0.3\)，则\(E(X^4)\)的值为（ ） A. 16.2 B. 17.2 C. 18.2 D. 19.2
答案：C 解析：根据公式\(E(X^4)=\sum_{k}x_k^4p_k\)，这里\(x_1 = 1\)，\(p_1 = 0.3\)；\(x_2 = 2\)，\(p_2 = 0.4\)；\(x_3 = 3\)，\(p_3 = 0.3\)，则\(E(X^4)=1^4×0.3 + 2^4×0.4 + 3^4×0.3 = 0.3 + 16×0.4 + 81×0.3 = 18.2\)。
一维随机变量函数的期望
离散型情况
设\(Y = g(X)\)（\(g\)是连续函数），\(X\)是离散型随机变量，其分布律为\(P(X = x_k)=p_k\)，\(k = 1,2,\cdots\)。
当\(\sum_{k = 1}^{\infty}g(x_k)p_k\)绝对收敛时，\(E(Y)=E[g(X)]=\sum_{k = 1}^{\infty}g(x_k)p_k\)。
例如，设\(X\)的分布律为\(P(X=-1)=\frac{1}{3}\)，\(P(X = 0)=\frac{1}{3}\)，\(P(X = 1)=\frac{1}{3}\)，\(Y = X^{2}\)，则\(g(x)=x^{2}\)。
计算\(E(Y)\)时，\(E(Y)=g(-1)P(X = - 1)+g(0)P(X = 0)+g(1)P(X = 1)\)
因为\(g(-1)=(-1)^{2}=1\)，\(g(0)=0^{2}=0\)，\(g(1)=1^{2}=1\)，所以\(E(Y)=1\times\frac{1}{3}+0\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)。
连续型情况
设\(X\)是连续型随机变量，其概率密度为\(f(x)\)，\(Y = g(X)\)。
当\(\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx\)绝对收敛时，\(E(Y)=E[g(X)]=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx\)。
例如，设\(X\)的概率密度为\(f(x)=\left\lbrace \begin{array}{ll}2x, & 0\leq x\leq1\\0, & \text{其他}\end{array}\right.\)，\(Y = X^{3}\)，则\(g(x)=x^{3}\)。
计算\(E(Y)\)：\(E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx=\int_{0}^{1}x^{3}\times2xdx=\int_{0}^{1}2x^{4}dx\)
计算积分\(\int_{0}^{1}2x^{4}dx=\frac{2}{5}x^{5}\left.\right|_{0}^{1}=\frac{2}{5}\)。
二维随机变量函数的期望
离散型情况
设\(Z = g(X,Y)\)（\(g\)是连续函数），\((X,Y)\)是二维离散型随机变量，其分布律为\(P(X = x_i,Y = y_j)=p_{ij}\)，\(i,j = 1,2,\cdots\)。
当\(\sum_{j = 1}^{\infty}\sum_{i = 1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}\)绝对收敛时，\(E(Z)=E[g(X,Y)]=\sum_{j = 1}^{\infty}\sum_{i = 1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}\)。
例如，设\((X,Y)\)的联合分布律为\(P(X = 1,Y = 1)=\frac{1}{4}\)，\(P(X = 1,Y = 2)=\frac{1}{4}\)，\(P(X = 2,Y = 1)=\frac{1}{4}\)，\(P(X = 2,Y = 2)=\frac{1}{4}\)，\(Z = XY\)，则\(g(x,y)=xy\)。
计算\(E(Z)\)：\(E(Z)=g(1,1)P(X = 1,Y = 1)+g(1,2)P(X = 1,Y = 2)+g(2,1)P(X = 2,Y = 1)+g(2,2)P(X = 2,Y = 2)\)
即\(E(Z)=1\times1\times\frac{1}{4}+1\times2\times\frac{1}{4}+2\times1\times\frac{1}{4}+2\times2\times\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)。
连续型情况
设\((X,Y)\)是二维连续型随机变量，其概率密度为\(f(x,y)\)，\(Z = g(X,Y)\)。
当\(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy\)绝对收敛时，\(E(Z)=E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy\)。
例如，设\((X,Y)\)的概率密度为\(f(x,y)=\left\lbrace \begin{array}{ll}3x, & 0\leq x\leq1,0\leq y\leq1\\0, & \text{其他}\end{array}\right.\)，\(Z = X + Y\)，则\(g(x,y)=x + y\)。
计算\(E(Z)\)：\(E(Z)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x + y)\times3xdxdy\)
先对\(y\)积分：\(\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{1}(3x^{2}+3xy)dy\right]dx=\int_{0}^{1}\left(3x^{2}y+\frac{3}{2}xy^{2}\left.\right|_{0}^{1}\right)dx\)
再对\(x\)积分：\(\int_{0}^{1}\left(3x^{2}+\frac{3}{2}x\right)dx=\frac{3}{3}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}\left.\right|_{0}^{1}=\frac{3}{3}+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}\)。