### §3 线性方程组的解

设有 $ n $ 个未知数 $ m $ 个方程的线性方程组
$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m,
\end{cases}
$
(3)

(3) 式可以写成以向量 $ x $ 为未知元的向量方程
$
Ax = b,
$
(4)

第二章中已经说明，线性方程组 (3) 与向量方程 (4) 将混同使用而不加区分，解与解向量的名称亦不加区别。

### 第3章 矩阵的初等变换与线性方程组

线性方程组(3)如果有解,就称它是相容的;如果无解,就称它不相容.利用系数矩阵A和增广矩阵B=(A,b)的秩,可以方便地讨论线性方程组是否有解(即是否相容)以及有解时解是否惟一等问题,其结论是

**定理3** $ n $ 元线性方程组 $ Ax = b $

(i) 无解的充分必要条件是 $ R(A) < R(A, b) $;

(ii) 有惟一解的充分必要条件是 $ R(A) = R(A, b) = n $;

(iii) 有无穷多解的充分必要条件是 $ R(A) = R(A, b) < n $.

**证明** 只需证明条件的充分性,因为(i),(ii),(iii)中条件的必要性依次是(ii)(iii),(i)(iii),(i)(ii)中条件的充分性的逆否命题.

设 $ R(A) = r $,为叙述方便,无妨设 $ B = (A, b) $ 的行最简形矩阵为
$
B = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1,n-r} & d_1 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & b_{21} & \cdots & b_{2,n-r} & d_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & b_{r1} & \cdots & b_{r,n-r} & d_r \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & d_{r+1} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 
\end{pmatrix}
$

(i) 若 $ R(A) < R(B) $,则 $ B $ 中的 $ d_{r+1} = 1 $,于是 $ B $ 的第 $ r+1 $ 行对应矛盾方程 $ 0 = 1 $,故方程(4)无解.

(ii) 若 $ R(A) = R(B) $,则进一步把 $ B $ 化成行最简形矩阵,而对于齐次线性方程组,则把系数矩阵 $ A $ 化成行最简形矩阵.

(iii) 若 $ R(A) = R(B) = r $,把行最简形中 $ r $ 个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数,其余 $ n-r $ 个未知数取作自由未知数,并令自由未知数分别等于 $ c_1, \cdots, c_{n-r} $,由 $ B $ (或 $ A $)是行最简形矩阵,即可写出含 $ n-r $ 个参数的通解.

**例10** 求解齐次线性方程组
$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 2x_3 + x_4 = 0, \\
2x_1 + x_2 - 2x_3 - 2x_4 = 0, \\
x_1 - x_2 - 4x_3 - 3x_4 = 0.
\end{cases}
$

**解** 对系数矩阵 $ A $ 施行初等行变换变为行最简形矩阵
$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 1 & -2 & -2 \\
1 & -1 & -4 & -3
\end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 = r_1} \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -3 & -6 & -4 \\
0 & -3 & -6 & -4
\end{pmatrix}
$
$
\xrightarrow{r_2 = (-5)}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 2 & \frac{4}{3} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 = 2/3}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & -\frac{5}{3} \\
0 & 1 & 2 & \frac{4}{3} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
$

即得与原方程组同解的方程组
$
\begin{cases}
x_1 - 2x_3 - \frac{5}{3}x_4 = 0, \\
x_2 + 2x_3 + \frac{4}{3}x_4 = 0,
\end{cases}
$

由此即得
$
\begin{cases}
x_1 = 2x_3 + \frac{5}{3}x_4, \\
x_2 = -2x_3 - \frac{4}{3}x_4
\end{cases}
\quad (x_3, x_4 \text{ 可任意取值}).
$

令 $ x_3 = c_1, x_4 = c_2 $,把它写成通常的参数形式
$
\begin{cases}
x_1 = 2c_1 + \frac{5}{3}c_2, \\
x_2 = -2c_1 - \frac{4}{3}c_2, \\
x_3 = c_1, \\
x_4 = c_2,
\end{cases}
$

其中 $ c_1, c_2 $ 为任意实数,或写成向量形式

$
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
2c_1 + \frac{5}{3}c_2 \\
-2c_1 - \frac{4}{3}c_2 \\
c_1 \\
c_2
\end{pmatrix}
=c_1\begin{pmatrix}
2 \\
-2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
+c_2\begin{pmatrix}
\frac{5}{3} \\
-\frac{4}{3} \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
$

**例11** 求解非齐次线性方程组
$
\begin{cases}
x_1 - 2x_2 + 3x_3 - x_4 = 1, \\
3x_1 - x_2 + 5x_3 - 3x_4 = 2, \\
2x_1 + x_2 + 2x_3 - 2x_4 = 3.
\end{cases}
$

**解** 对增广矩阵 $ B $ 施行初等行变换
$
B = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 & -1 \\
3 & -1 & 5 & -3 \\
2 & 1 & 2 & -2 \\
\end{pmatrix}
$
$
\xrightarrow{r_2 = r_1}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 & -1 \\
0 & 5 & -4 & 0 \\
0 & 5 & -4 & 0 \\
\end{pmatrix}
$
$
\xrightarrow{r_2 = (-5)}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 & -1 \\
0 & 1 & -4/5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}
$

可见 $ R(A) = 2, R(B) = 3 $,故方程组无解.

**例12** 求解非齐次线性方程组
$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - 3x_3 - x_4 = 1, \\
3x_1 - x_2 - 3x_3 + 4x_4 = 4, \\
x_1 + 5x_2 - 9x_3 - 8x_4 = 0.
\end{cases}
$

**解** 对增广矩阵 $ B $ 施行初等行变换
$
B = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -3 & -1 \\
3 & -1 & -3 & 4 \\
1 & 5 & -9 & -8 \\
\end{pmatrix}
$
$
\xrightarrow{r_2 = r_1}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -3 & -1 \\
0 & -4 & 6 & 7 \\
0 & 4 & -6 & -7 \\
\end{pmatrix}
$
$
\xrightarrow{r_2 = (-5)}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -3 & -1 \\
0 & 1 & -3/2 & -7/4 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

即得
$
\begin{cases}
x_1 = \frac{3}{2}x_3 - \frac{3}{4}x_4 + \frac{5}{4}, \\
x_2 = \frac{3}{2}x_3 + \frac{7}{4}x_4 - \frac{1}{4}, \\
x_3 = x_3, \\
x_4 = x_4,
\end{cases}
$
亦即
$
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{pmatrix}
= c_1
\begin{pmatrix}
\frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
+ c_2
\begin{pmatrix}
\frac{3}{4} \\
\frac{7}{4} \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\frac{5}{4} \\
-\frac{1}{4} \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
(c_1, c_2 \in \mathbb{R}).
$

**例13** 设有线性方程组
$
\begin{cases}
(1 + \lambda)x_1 + x_2 + x_3 = 0, \\
x_1 + (1 + \lambda)x_2 + x_3 = 3, \\
x_1 + x_2 + (1 + \lambda)x_3 = \lambda,
\end{cases}
$
问 $\lambda$ 取何值时,此方程组 (1) 有惟一解; (2) 无解; (3) 有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.

**解法1** 对增广矩阵 $ B = (A, b) $ 作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵,有
$
B = \begin{pmatrix}
1 + \lambda & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 + \lambda & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 + \lambda & \lambda
\end{pmatrix}
$
$
\xrightarrow{\lambda \neq 0}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 + \lambda & \lambda \\
1 & 1 + \lambda & 1 & 3 \\
1 + \lambda & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$
$
\xrightarrow{\lambda \neq 0}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 + \lambda & \lambda \\
0 & \lambda & -\lambda & 3 - \lambda \\
0 & -\lambda & -\lambda(2 + \lambda) & -\lambda(1 + \lambda)
\end{pmatrix}
$
$
\xrightarrow{\lambda \neq 0}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 + \lambda & \lambda \\
0 & \lambda & -\lambda & 3 - \lambda \\
0 & 0 & -\lambda(3 + \lambda) & (1 - \lambda)(3 + \lambda)
\end{pmatrix}
$

(1) 当 $\lambda \neq 0$ 且 $\lambda \neq -3$ 时, $ R(A) = R(B) = 3 $,方程组有惟一解;
(2) 当 $\lambda = 0$ 时, $ R(A) = 1 $, $ R(B) = 2 $,方程组无解;
(3) 当 $\lambda = -3$ 时, $ R(A) = R(B) = 2 $,方程组有无限多个解,这时
$
B = \begin{pmatrix}
-2 & 1 & 1 & 0 \\
1 & -2 & 1 & 3 \\
1 & 1 & -2 & -3
\end{pmatrix}
$
$
\xrightarrow{\lambda = -3}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$
由此便得通解
$
\begin{cases}
x_1 = x_3 - 1, \\
x_2 = x_3 - 2
\end{cases}
$
($x_3$ 可任意取值),即
$
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix} = c \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
-1 \\
-2 \\
0
\end{pmatrix} (c \in \mathbb{R}).
$

**解法2** 因系数矩阵 $ A $ 为3阶方阵,故有 $ R(A) \leq R(A, b)_{3 \times 4} \leq 3 $.于是由定理3,知方程有唯一解的充分必要条件是 $ A $ 的秩 $ R(A) = 3 $,即 $ |A| \neq 0 $.而
$
|A| = \begin{vmatrix}
1 + \lambda & 1 & 1 \\
1 & 1 + \lambda & 1 \\
1 & 1 & 1 + \lambda
\end{vmatrix} = (3 + \lambda) \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 + \lambda & 1 \\
1 & 1 & 1 + \lambda
\end{vmatrix}
$
$
= (3 + \lambda) \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & \lambda
\end{vmatrix} = (3 + \lambda) \lambda^2,
$

因此,当 $\lambda \neq 0$ 且 $\lambda \neq -3$ 时,方程组有唯一解.当 $\lambda = 0$ 时
$
B = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
$
知 $ R(A) = 1 $, $ R(B) = 2 $,故方程组无解.当 $\lambda = -3$ 时
$
B = \begin{pmatrix}
-2 & 1 & 1 & 0 \\
1 & -2 & 1 & 3 \\
1 & 1 & -2 & -3
\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
$
知 $ R(A) = R(B) = 2 $,故方程组有无穷多个解,且通解为
$
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
-1 \\
-2 \\
0
\end{pmatrix} \quad (c \in \mathbb{R}).
$

比较解法1与解法2,显见解法2较简单.但解法2的方法只适用于系数矩阵为方阵的情形.

对含参数的矩阵作初等变换时,例如在本例中对矩阵 $ B $ 作初等变换时,由
$
r_3 = \frac{1}{\lambda + 1}r_1, r_2 \times (\lambda + 1),
$
$
r_3 = (\lambda + 3)
$
这样的变换.如果作了这种变换,则需对 $\lambda + 1 = 0$ (或 $\lambda + 3 = 0$) 的情形另作讨论.因此,对含参数的矩阵作初等变换较不方便.

由定理 3 容易得出线性方程组理论中两个最基本的定理,这就是

**定理 4** $ n $ 元齐次线性方程组 $ Ax = 0 $ 有非零解的充分必要条件是 $ R(A) < n $.

**定理 5** 线性方程组 $ Ax = b $ 有解的充分必要条件是 $ R(A) = R(A, b) $.

显然,定理 4 是定理 3 (iii) 的特殊情形,而定理 5 就是定理 3 (i).

为了下一章论述的需要,下面把定理 5 推广到矩阵方程.

**定理 6** 矩阵方程 $ AX = B $ 有解的充分必要条件是 $ R(A) = R(A, B) $.

**证明** 设 $ A $ 为 $ m \times n $ 矩阵, $ B $ 为 $ m \times l $ 矩阵,则 $ X $ 为 $ n \times l $ 矩阵.把 $ X $ 和 $ B $ 按列分块,记为
$
X = (x_1, x_2, \cdots, x_l), \, B = (b_1, b_2, \cdots, b_l),
$
则矩阵方程 $ AX = B $ 等价于 $ l $ 个向量方程
$
Ax_i = b_i \quad (i = 1, 2, \cdots, l).
$

又,设 $ R(A) = r $,且 $ A $ 的行最简形矩阵为 $\overline{A}$,则 $\overline{A}$ 有 $ r $ 个非零行,且 $\overline{A}$ 的后 $ m-r $ 行全为零行.再设
$
(A, B) = (A, b_1, b_2, \cdots, b_l) \sim (\overline{A}, \overline{b_1}, \overline{b_2}, \cdots, \overline{b_l}),
$
从而
$
(A, b_i) \sim (\overline{A}, \overline{b_i}) \quad (i = 1, 2, \cdots, l).
$

由上述讨论并根据定理 5,可得
$
AX = B \text{ 有解 } \Leftrightarrow Ax_i = b_i \text{ 有解 } (i = 1, 2, \cdots, l) \\
\Leftrightarrow R(A, b_i) = R(A) \quad (i = 1, 2, \cdots, l) \\
\Leftrightarrow b_i \text{ 的后 } m-r \text{ 个完全为零 } (i = 1, 2, \cdots, l) \\
\Leftrightarrow (\overline{b_1}, \overline{b_2}, \cdots, \overline{b_l}) \text{ 的后 } m-r \text{ 行全为零行} \\
\Leftrightarrow R(A, B) = r = R(A).
$

利用定理 6,容易得出矩阵的秩的性质7,即

**定理 7** 设 $ AB = C $,则 $ R(C) \leq \min\lbrace R(A), R(B)\rbrace $.

**证明** 因 $ AB = C $,知矩阵方程 $ AX = C $ 有解 $ X = B $,于是据定理 6 有 $ R(A) = R(A, C) $.而 $ R(C) \leq R(A, C) $,因此 $ R(C) \leq R(A) $.

又 $ B^T A^T = C^T $,由上段证明知有 $ R(C^T) \leq R(B^T) $,即 $ R(C) \leq R(B) $.

综合使得 $ R(C) \leq \min\lbrace R(A), R(B)\rbrace $.

定理 6 和定理 7 的应用,我们在下一章中讨论.